Перегляд вихідного коду сторінки Трисхилий купол

[[Файл:Трисхилий купол.png|міні]]
У [[Геометрія|геометрії]] '''трисхилий купол'''&nbsp;— [[призматоїд]], що складається з [[Шестикутник|правильного шестикутника]] (нижня основа купола), [[Правильний трикутник|правильного трикутника]] (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: 3 [[прямокутник]]ів та 3 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]].

Належить до родини [[Купол (геометрія)|куполів]] і є підкласом [[призматоїд]]ів.

Два куполи можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи багатогранник {{Не перекладено|Бікупол (геометрія)|бікупол|en|Bicupola (geometry)}}, в прямій (якщо з'єднані однойменні грані) або повернутій (якщо з'єднані різнойменні грані) орієнтації.

{{Clear}}

== Багатогранник Джонсона {{math|''J''{{sub|3}}}} ==
{| border="2" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="400"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |Трисхилий купол
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Triangular cupola.png|280x280пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''||[[Правильногранний многогранник|Багатогранник Джонсона]] '''J<sub>3</sub>'''<br/> [[Призматоїд]], множина [[Купол (геометрія)|куполів]].
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''||[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній, [[Правильний многокутник|правильногранний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 8 граней ((3+1){3} + 3{4} + 1{6}) <br/>15 ребер<br/>9 вершин: 6 вершин (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]]) + 3(4-го)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''||
3+1 [[Правильний трикутник|Правильних трикутників]],<br/> 3 [[Квадрат]]а,<br/> 1 [[Правильний шестикутник]].
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''|| 6(3.4.6)<br/>3(3.4.3.4)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Вершинна фігура'''||3 [[прямокутник]]а з довжинами сторін 1 та <math>\sqrt{2}</math><br/>6 [[трикутник]]ів з довжинами сторін 1, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''||
• J<sub>3</sub> (в нотації {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}})<br/>• M<sub>4</sub> (в нотації Залгаллера{{Sfn|Залгаллер|1967}})<br/>• U<sub>3</sub> = Q<sub>3</sub> {{Sfn|Norman W. Johnson}} (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для багатогранників|3=en|4=Conway polyhedron notation|нотації Конвея}})<br/>• Q<sub>3</sub> (в [https://polytope.miraheze.org/wiki/Stewart_notation нотації Стюарта])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |[[Символ Шлефлі]]||{3} &#124;&#124; t{3}
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||
{{Не перекладено|Циклічна симетрія в тривімірному просторі|C<sub>3v</sub>|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}, [3], (*33), порядок 6<br/>(Циклічна симетрія 3-Піраміди)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група поворотів]]''' ||C<sub>3</sub>, [3]<sup>+</sup>, (33), порядок 3
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий багатогранник]]'''||
[https://polytope.miraheze.org/wiki/Semibisected_trigonal_trapezohedron Напіврозсічений трикутний трапецоедр]<br/>[[Файл:Dual triangular cupola.png|150px|]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''|| [[Файл:Johnson_solid_3_net.png|200px|]]
|}
Рівносторонній '''трисхилий купол''' є одним із [[Правильногранний многогранник|багатогранників Джонсона]] ({{math|''J''{{sub|3}}}} або {{math|''M''{{sub|4}}}} (за Залгаллером{{Sfn|Залгаллер|1967}}).

Трисхилий купол можна розглядати як половину [[кубооктаедр]]а.

Багатогранник Джонсона&nbsp;— один із 92 строго [[Опуклий політоп|опуклих]] багатогранників, що мають [[Правильний многокутник|правильні]] грані, але не є [[Однорідний многогранник|однорідним]] (тобто він не є [[Правильний многогранник|правильним багатогранником]], [[Архімедове тіло|архімедовим тілом]], [[Призма (математика)|призмою]] або [[Антипризма|антипризмою]]). [[Правильногранний многогранник|Правильногранні багатогранники]] названі ім'ям {{Не перекладено|Норман Джонсон (математик)|Нормана Джонсона|en|Norman Johnson (mathematician)}}, який першим перелічив їх в 1966&nbsp;р. {{Sfn|Norman W. Johnson}}

Трисхилий купол складено з 8 граней: 3+1 = 4 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], 3 [[квадрат]]ів та 1 [[Шестикутник|правильного шестикутника]].

Одна трикутна грань оточена трьома квадратами; три трикутних граней оточені двома квадратними та однією шестикутною гранню; квадратні грані оточені трьома трикутними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена трьома трикутними та трьома квадратними гранями{{Джерело}}.

Має 15 ребер однакової довжини: 3+6 = 9 ребер розташовані між квадратною та трикутною гранями, 3 ребра&nbsp;— між трикутною та шестикутною гранями, решта 3&nbsp;— між квадратною та шестикутною гранями.

У трисхилого купола 9 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною, квадратною та шестикутною гранями.
[[Файл:Cuboctahedron 3 planes.png|ліворуч|безрамки|179x179пкс]]
[[Файл:Розсічення кубооктаедра.png|безрамки|242x242пкс]]



Трисхилий купол може бути отриманий шляхом поділу навпіл [[кубооктаедр]]а по шестикутному перерізу між двома протилежними трикутними гранями.

Навпаки, два трисхилих куполи можна поєднати у поверненій орієнтації по шестикутній грані, і отримати кубооктаедр.

Трисхилий купол має вісь поворотної симертії 3-го порядку, що проходить через центри основ; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи{{Джерело}}.

== Формули ==

=== Діагоналі ===
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math> , де В&nbsp;— кількість вершин, Р&nbsp;— кількість ребер багатогранника. Для трисхилого купола:

<math>\binom{9}{2} - 15 = \frac{9}{2} \cdot \frac{8}{1} -15 = 21</math> діагоналі (15 граневих та 6 просторових).
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |<big>Діагоналі трисхилого купола з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |[[Файл:Діагоналі трисхилого купола.png|безрамки|224x224пкс]]
|Граневі діагоналі
|<math>AB=\sqrt{2}\cdot a \approx 1.41421356237 \cdot a</math> <br/><math>AC=\sqrt{3}\cdot a \approx 1.73205080756 \cdot a</math> <br/> <math> AD=2 \cdot a </math>
|-
|Просторові діагоналі
|<math>FC=\sqrt{3}\cdot a \approx 1.73205080756 \cdot a</math>
|}

=== Метричні характеристики ===
[[Файл:Описана сфера трисхилого купола.png|міні|224x224пкс|Описана сфера трисхилого купола]]
[[Файл:Середньовписана сфера трисхилого купола.png|міні|209x209пкс|Середньовписана сфера трисхилого купола]]
{| border="2"
! colspan="4" bgcolor="#c0c0ff" |<big>Для трисхилого купола з довжиною ребра <math>a</math>:</big>
|-
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]'''
(проходить через всі вершини)
|<math>R= a </math>
|
|-
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]'''
(дотикається до всіх ребер)
|<math>\rho = \frac {\sqrt{3}}{2} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.8660254 \cdot a </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#DC DC DC" |'''Вписаної сфери трисхилий купол не має'''
|-
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H</big>'''
(Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)
|<math>H= \frac {\sqrt{6}}{3} \cdot a </math>
|<math>\approx 0.81649658 \cdot a </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S =  \left ( 3+\frac{5 \sqrt{3}}{2} \right )  \cdot a^2 </math>
|<math>\approx 7.33012701 \cdot a^2 </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{5}{6} \sqrt{2} \cdot a^3</math>
|<math>\approx 1.1785113 \cdot a^3 </math>
|}

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°, 120°.
{|border="2"
! colspan="3" width="500" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути багатогранника</big>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи'''
|<math> \varphi = \arccos \left (- \frac{1}{2} \right ) </math>
|<math> = \frac{2 \pi}{3}  </math> '''rad'''
= '''120°'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {4}'''
|<math> \alpha= \arccos \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3}  \right ) = \arcsec \left ( -\sqrt{3} \right ) </math>
|'''≈''' '''2.1862760354 rad'''
'''≈''' '''125°15′ 51.8028′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {3} та {6}'''
|<math> \beta= \arccos \left ( \frac{1}{3}  \right ) = \arcsec \left ( 3 \right ) </math>
|'''≈''' '''1.2309594173 rad'''
'''≈''' '''70° 31′ 43.60571′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Двогранний кут]] між гранями {4} та {6}'''
|<math> \gamma= \arccos \left ( \frac{\sqrt{3}}{3}  \right ) = \arcsec \left ( \sqrt{3} \right ) </math>
|'''≈''' '''0.9553166181 rad'''
'''≈''' '''54°44′ 8.197142′′'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині нижньої основи (шестикутної)'''
|<math> \Omega_1 = \frac{1}{2} \arccos \left( -\frac{7}{9} \right) = 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = </math>

<math> = 4 \arctan \left(\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) </math>
|<math> \Omega \thickapprox 1.2309594  </math> '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]] при вершині верхньої основи (трикутної)'''
|<math> \Omega_2 =  \arccos \left( -\frac{7}{9} \right) = 4 \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = </math>

<math> = 8 \arctan \left(\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) </math>
|<math> \Omega_2 \thickapprox 2.4619188 </math> '''ср'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="background:#ececec" |'''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi =  \frac{2 \sqrt [3] {50 \pi }} {6+5\sqrt{3}} </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.7360858 </math>
|}
Центр тяжіння трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані <math>\frac{\sqrt{6}}{8} \cdot a</math> від нижньої основи<ref>{{Cite web|title=triangular cupola centroid - Wolfram{{!}}Alpha|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=triangular+cupola+centroid|website=www.wolframalpha.com|language=en}}</ref>.


== Двоїстий багатогранник ==
Трисхилий купол не має ні топологічно-[[Дуальний многогранник|двоїстого багатогранника]] (вершини двоїстого знаходяться в центрах граней вихідного багатогранника), ні канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників збігаються).

Його двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані вихідного багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині вихідного&nbsp;— грань дуального, з дотриманням симетрії вихідного багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до вихідного трисхилого купола можуть різнитися.
Двоїстий до трисхилого купола має 9 граней: 6 [[трикутник]]ів + 3 [[дельтоїд]]а; 15 ребер, 8 вершин<ref>{{Cite web|title=Semibisected trigonal trapezohedron|url=https://polytope.miraheze.org/wiki/Semibisected_trigonal_trapezohedron|website=Polytope Wiki|date=2022-12-27|accessdate=2023-07-31|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=polyHédronisme|url=https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C1000dJ3|website=levskaya.github.io|accessdate=2023-07-31}}</ref>. [[Файл:Triangular cupola dual.gif|міні|327x327пкс|Обертання двоїстого до трисхилого купола багатогранника]]
{| class="wikitable" width="320"
|- valign="top"
!Двоїстий багатогранник
!Розгортка двоїстого
|- valign="top"
|[[Файл:Dual triangular cupola.png|258x258px]]
|[[Файл:Dual triangular cupola net.png|259x259px]]
|}

== Споріднені багатогранники ==
Трисхилий купол належить до родини [[Купол (геометрія)|куполів]]. Сімейство n-куполів з правильними гранями існує до ''n'' = 5 включно.{{Куполи}}
Два трисхилих куполи можуть бути з'єднані своїми шестикутними основами в прямій орієнтації (поєднуються однойменні бокові грані); отриманий багатогранник&nbsp;— {{Не перекладено|Триcхилий прямий бікупол|триcхилий прямий бікупол|en|Triangular orthobicupola}} (J<sub>27</sub>). Якщо один з куполів повернути на 60º, то отримаємо триcхилий повернутий бікупол, більш відомий як [[Кубооктаедр|кубоктаедр{{Джерело}}]].
{| class="wikitable"
|+
!Трисхилий прямий бікупол
!Трисхилий повернутий бікупол (кубооктаедр)
|-
|[[Файл:Triangular orthobicupola.png|200пкс]]
|[[Файл:Cuboctahedron.svg|200пкс]]
|}
[[Файл:Augmented triangular cupola.png|міні|Нарощений трисхилий купол, [[майже-багатогранник Джонсона]] з компланарними гранями]]
Трисхилий купол можна наростити трьома [[Квадратна піраміда|квадратними пірамідами]], залишаючи суміжні копланарні грані без змін. Отриманий багатогранник, нарощений трисхилий купол, належить до родини {{Не перекладено|Майже багатогранник Джонсона|майже багатогранників Джонсона|en|Near-miss Johnson solid}} з компланарними гранями.

Якщо об'єднати ці копланарні трикутники в єдині грані, отримаємо топологічно ще один трисхилий купол, бічні грані якого є рівнобедреними трапеціями. Якщо всі трикутні грані зберегти без змін, а шестикутник в основі розбити на 6 трикутників, вийде копланарний [[Дельтаедри|дельтаедр]] з 22 гранями{{Джерело}}.

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
* {{Стаття
|автор = {{не переведено 5|Норман Джонсон|Norman W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}.
|ref = Norman W. Johnson
|заголовок = Convex Solids with Regular Faces
|рік = 1966
|том=18
|сторінок = 169—200
|issn=0008-414X
|doi=10.4153/CJM-1966-021-8
|журнал=Canadian Journal of Mathematics
|видання посилання=https://cms.math.ca/publications/cjm/
|мова=англ.}} (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
* {{Книга
|автор = Залгаллер&nbsp;В.&nbsp;А.
|ref = Залгаллер
|заголовок = Выпуклые многогранники с правильными гранями
|рік = 1967
|серія = Зап. научн. сем. ЛОМИ
|посилання = http://mi.mathnet.ru/znsl1408
|місце = М.—Л.
|видавництво = Наука
|том = 2
|тираж = 
|сторінок = 221
|ISBN = 
}} (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=TriangularCupola|title=Трисхилий купол}}
* Polytope Wiki.[https://polytope.miraheze.org/wiki/Triangular_cupola Triangular_cupola]
* McCooey, David.[http://dmccooey.com/polyhedra/TriangularCupola.html TriangularCupola.]
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/tricu.htm «tricu»]
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/J3 «The Triangular Cupola»]

{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники Джонсона]]