Перегляд вихідного коду сторінки Трипелюсткова троянда

{{multiple image
 | header = Трипелюсткова троянда
 | align = 
 | image1 = Three-leaved clover.svg
 | width1 = 180
 | caption1 = <math>r= a \cdot \cos 3\varphi</math>
 | image2 = 3 Petal rose.svg
 | width2 = 200
 | caption2 = <math>r= a \cdot \sin 3\varphi</math>}}
'''Трипелюсткова троянда''' (також '''правильний трилисник'''{{Sfn|Loria, Gino|1902}}{{rp|стор.304}}, або '''трифолій''')&nbsp;— [[плоска крива| плоска]] [[алгебрична крива]] четвертого порядку, [[Троянда (плоска крива)|троянда]] з трьома пелюстками.

Крива вивчалася Лоншамом в 1885 р. та  [[Анрі Брокар|А.Брокаром]] в 1887 р.<ref name="mathcurve.com">{{cite web |title=Regular trifolium |url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/trifoliumregulier/trifoliumregulier.shtml |author=Robert Ferreol}} на сайті Mathcurve.com</ref>

Є окремим випадком сімейства [[Синусоїдальна спіраль|синусоїдальних спіралей]], а також [[Епітрохоїда|епі-]] та [[Гіпотрохоїда|гіпотрохоїд]].
==Рівняння==
{| class="wikitable"
|+
!Рівняння
![[Файл:Three-leaved clover.svg|150 пкс|]]
!
![[Файл:3 Petal rose.svg|150 пкс|]]
|-
|В [[Полярна система координат|полярній системі координат]]
|<math>\rho =a \cdot \cos 3\varphi \, , \quad 0 \le \varphi \le \pi</math>  ;  <br/>або<br/> <math>\rho =a \cdot \cos\varphi \cdot (1- 4 \sin^2\varphi) \, , \quad 0 \le \varphi \le \pi</math>
|
|<math>\rho = a \cdot \sin 3\varphi \, , \quad 0 \le \varphi \le \pi</math>  ;  <br/>або<br/> <math>\rho =a \cdot \sin\varphi \cdot (4 \cos^2\varphi - 1) \, , \quad 0 \le \varphi \le \pi</math>
|-
|В [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] в неявному виді
|<math>(x^2+y^2)^2 = a \cdot (x^3-3xy^2)</math>  ;<br/>або<br/><math>(x^2+y^2)\cdot (x^2-ax+y^2) = -4axy^2</math>
|
|<math>\left(x^2+y^2\right)^2=a \cdot \left(3x^2y-y^3\right)</math>
|-
|В декартовій стстемі координат в [[Параметричне рівняння|параметричному]] виді
|<math>\begin{cases}
x(t) = a \cdot \cos t \cdot \cos 3t \\
y(t) = a \cdot \sin t \cdot \cos 3t \end{cases} \, , \quad 0 \le t  \le \pi</math> ;<br/> Також:<br/><math>\begin{cases}
x(t) = \frac{a}{2} \cdot (\sin t - \cos 2t) \\
y(t) = \frac{a}{2} \cdot (\cos t - \sin 2t) \end{cases} \, , \quad -\frac{\pi}{2} \le t  \le \frac{3\pi}{2}</math>;<br/> Також:<br/>
<math>\begin{cases}
x(t) = -\frac{a\cdot(3t^2-1)}{(t^2+1)^2} \\
y(t) = \frac{at\cdot(3t^2-1)}{(t^2+1)^2} \end{cases} \, , \quad - 
\infty < t  < + \infty</math>

|
|<math>\begin{cases}
x(t) = a \cdot \cos t \cdot \sin 3t \\
y(t) = a \cdot \sin t \cdot \sin 3t \end{cases} \, ,\quad 0 \le t  \le \pi</math> ;<br/> Також:<br/><math>\begin{cases}
x(t) = \frac{a}{2} \cdot (\cos t + \sin 2t) \\
y(t) = \frac{a}{2} \cdot (\sin t + \cos 2t) \end{cases} \, , \quad -\frac{\pi}{2} \le t  \le \frac{3\pi}{2}</math>
|-
|
|[[Початок координат]] (полюс) <math>O (0, 0)</math>&nbsp;— трикратна вузлова точка;<br/> Крива симетрична віносно осі <math>Ox</math> (полярної осі).
|
|Початок координат (полюс) <math>O (0, 0)</math>&nbsp;— трикратна вузлова точка;<br/> Крива симетрична віносно осі <math>Oy</math> (oсі <math>\varphi = \frac{\pi}{2}</math>).
|}
==Метричні характеристики ==
Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:
* Довжина дуги троянди: <ref name= mathcurve.com> </ref> <ref name= mathworld.wolfram>
{{cite web |title=Trifolium |url=https://mathworld.wolfram.com/Trifolium.html |author=Eric W. Weisstein}} на сайті MathWorld</ref>
: <math>\ell = 2a \cdot \Epsilon \left ( 2\sqrt{2} \cdot i \right ) = 6a \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1- \frac{8}{9}\cdot \sin^2 t }\,dt \, \approx 6.6824466...\cdot a .</math>'
де <math>\Epsilon ( k )</math>&nbsp;— [[Еліптичні інтеграли|повний еліптичний інтеграл другого роду]].<br/>Послідовність {{oeis|A093728}} в [[Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей|ОЕIS]].

Довжина довільної дуги трипелюсткової троянди, що відповідає параметру t: <ref name="mathworld.wolfram"> </ref>
: <math>\ell(t) = \frac{1}{3} a \cdot \Epsilon \left ( 3t, 2\sqrt{2} \cdot i \right )</math>
де <math>\Epsilon ( x, k )</math>&nbsp;— [[Еліптичні інтеграли|неповний еліптичний інтеграл другого роду]].
* [[Площа]] области, що обмежена трипелюстковою трояндою:
: <math>S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \int_{0}^{\pi}\cos^2 (3\varphi) d\varphi = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^2 (3\varphi) d\varphi = \frac{\pi a^2}{4}</math>
Ця площа дорівнює чверті площі описаного навколо троянди круга.


Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює {{math|{{sfrac|''π·a''<sup>2</sup>|12}}}}.
* [[Кривина (математика)|Кривина]] трипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру ''t'':<ref name="mathworld.wolfram"/>
: <math> \kappa (t)= \frac {14 -4 \cos (6t)} {a \cdot [5 -4 \cos (6t)]^{\tfrac{3}{2}}} </math>.
Зокрема, [[Кривина (математика)|радіус кривини]] у вершинах пелюсток троянди (параметр <math>t=0</math> в косинус- варіанті кривої) дорівнює:
: <math> \rho (t) = \frac{1}{\kappa (t)} = \frac {a}{10} </math>.

== Властивості та особливості форми ==
* Вся крива розташовується всередині [[Коло|кола]] радіуса <math>a</math> і сладається з трьох однакових за формою та розміром пелюсток.
Вершини пелюсток є вершинами [[Правильний трикутник|правильного трикутника]].
* Трипелюсткова троянда є [[Алгебрична крива|алгебричною]] [[Алгебрична крива#Раціональні криві|раціональною кривою]] 4-го порядку роду 0.<ref >[https://people.math.carleton.ca/~cingalls/studentProjects/Katie's%20Site/html/Trifolium.html Trifolium] на сайті  people.math.carleton.ca</ref>
* Крива має 3 осі симетрії, що проходять через вершину кожної пелюстки. Зокрема рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:
:<math>y = 0 \, ,  \quad \text{та} \quad y = \pm \sqrt{3} \cdot x</math>
[[Центральна симетрія|Центру симетрії]] не має. 

Прямі <math>x = 0 \, ,  \quad \text{та} \quad y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot x</math> є [[Дотична|дотичними]] у вузловій точці троянди. 
* [[Файл:HypotrochoidInThreeHalves.gif|праворуч|безрамки]]Трипелюсткова троянда <math>\quad \rho = a \cdot \cos 3\varphi</math> є [[Гіпотрохоїда|гіпотрохоїдою]], у якої [[радіус]] нерухомого кола дорівнює <math>R = \frac{3a}{4}</math>, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює <math>r = \frac{a}{4}</math>, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює <math>h = \frac{a}{2}
</math>. <ref>{{cite book | author= Robert C. Yates 
| title=A Handbook on Curves and their Properties 
| publisher=digital reprint by www.CircuitousRoot.com 
| year=1947 
| isbn=
| pages= 198
| url=https://archive.org/details/YatesHandbookCurves1947/page/n123/mode/1up }}</ref>{{rp|стор.235}} <ref name = Tartapelago> {{cite web |title=Tartapelago. Curve storiche, Rose di Grandi  |url=http://www.maecla.it/tartapelago/museo/curve/index.htm|author= Giorgio Pietrocola|date= 2005|website= Maecla}} </ref>

Трипелюсткова троянда є [[Епітрохоїда|епітрохоїдою]] при <math>R = 3r</math> та <math>h = R+r = \frac{4}{3} \cdot R</math>. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.166}}
{{Clear}}
* Трипелюсткова троянда є [[Подера|подерою]] [[Дельтоїда|дельтоїди]] (кривої Штейнера) відносно її центра. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.166}}

Для дельтоїди
: <math>\begin{cases}
x(t) =2r\cos\frac{t}{3} + r\cos\frac{2t}{3} \\
y(t) =2r\sin\frac{t}{3} - r\sin\frac{2t}{3}
\end{cases}</math>, 
де <math>t</math>&nbsp;— кут повороту твірного (рухомого) кола;<br/>
<math>r</math>&nbsp;— радіус твірного (рухомого) кола.<br/>
рівняння [[Подера|подери]] відносно її центру (початку координат) буде:
:<math>\rho = r \cdot \cos 3\varphi</math>
або
:<math>(x^2+y^2)^2 = r \cdot (x^3-3xy^2)</math>
Ця троянда є вписаною в [[коло]], яке вписане в [[Дельтоїда|дельтоїду]]. Вершини троянди збігаються з вершинами дельтоїди.<ref name= mathcurve.com> </ref> {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.128-129; 166}}
== Кінематичне та механічне утворення трипелюсткової троянди==
* Нехай два рівних [[Відрізок|відрізка]] <math>OA</math> та <math>AM</math> довжиною <math>a</math> обертаються навколо точок <math>O</math> та <math>A</math> зі швидкостями, відношення яких дорівнює <math>\frac{\omega_{OA}}{\omega_{AM}}=3</math>. <br/> Тоді траєкторією точки <math>M</math> буде  трипелюсткова троянда.
* Нехай два радіуси <math>OA</math> та <math>OB</math> деякого [[Коло|кола]] обертаються навколо точки <math>O</math> зі швидкостями, відношення яких дорівнює <math>\frac{\omega_{OA}}{\omega_{OB}}=3</math>. <br/> Тоді, [[Геометричне місце точок|геометричним місцем]] підстав [[Перпендикулярність|перпендикулярів]], проведених з точки <math>A</math> на <math>OB</math> є  трипелюсткова троянда.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.165}}
{{multiple image
 | header = Трипелюсткова троянда
 | align = center
 | image1 = Tartapelago_RosaGrandi_06.gif
 | width1 = 220
 | caption1 = Траекторія точки, що здійснює [[гармонічні коливання]] вздовж прямої, що обертається зі сталою [[Кутова швидкість|кутовою швидкістю]] навколо нерухомої точки&nbsp;— центра коливань.<ref name = Tartapelago> </ref> {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.166}}.
 | image2 = Rose Curve animation with Gears n3 d1.gif
 | width2 = 160
 | caption2 = Утворення трипелюсткової троянди при обертанні зубчастих коліс.}}
{{Clear}}

==Деякі узагальнення кривої==
* '''Трилисник'''
Трипелюсткова троянда є окремим випадком сімейства кривих, що є подерами дельтоїди відносно точок, що знаходяться всередині дельтоїди&nbsp;— трипелюсткові криві, що мають рівняння в декартовій системі координат:<ref>{{cite web |title=Trifolium |url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/trifolium/trifolium.shtml |author=Robert Ferreol}} на сайті Mathcurve.com</ref>
:<math>(x^2+y^2)^2 = (x^2+y^2)(ax+by) +r\cdot (x^3-3xy^2)</math>
Тут: <math>A(a, b)</math>&nbsp;— центр дельтоїди;<br/>
<math>O(0, 0)</math>&nbsp;—  полюс подери.

Тобто дельтоїда має рівняння 
:<math>\begin{cases}
x(t) =a- r \cdot (\cos 2t + 2\cos t)  \\
y(t) =b + r \cdot (\sin 2t - 2\sin t) 
\end{cases}</math> 
Якщо <math> A </math> збігається з <math> O </math>, отримаємо трипелюсткову троянду.

==Див. також==
* [[Троянда (плоска крива)]]
* [[Чотирипелюсткова троянда]]

== Примітки ==
{{reflist}}
== Література ==
* {{Книга| автор= Савелов А.А.
| заголовок= Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство)
| видання= 
| видавництво= государственое издательство физико- математической литератури
| рік=1960
| isbn=
| місце= москва
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/52872
| ref=  Савелов А.А.}}
* {{Книга| автор= Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М.
| заголовок= Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник
| видання= 
| видавництво= фазис
| рік=1997
| сторінок= 336
| isbn= 5-7036-0027-8
| місце= москва
| посилання= https://ua.libcats.org/book/508929
| ref=  Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М.}}
* {{Книга
| автор= Loria, Gino
| заголовок= Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte
| частина= Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi
| видавництво= 
| рік=1902
| сторінок= 774
| сторінки= [https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n323 297]— 306
| isbn= 5-7036-0027-8
| місце= Leipzig
| посилання= https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog
| ref= Loria, Gino}}


==Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=Trifolium|title=Trifolium}}
* ''Ferréol Robert'' , [https://mathcurve.com/courbes2d.gb/trifoliumregulier/trifoliumregulier.shtml Regular trifolium], на сайті [https://mathcurve.com/ MATHCURVE.COM], 2017
* MacTutor History of Mathematics Archive. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Trifolium/ «Trifolium»]
* Jan Wassenaar, [https://www.2dcurves.com/roulette/rouletter.html Rhodonea], на сайті [https://www.2dcurves.com/ www.2dcurves.com].
* [https://web.archive.org/web/20070325231158/http://www25.brinkster.com/denshade/PolarFlower.html Аплет для створення троянд з параметром k ]

{{Криві}}
[[Категорія:Алгебричні криві|*]]