Перегляд вихідного коду сторінки Трикутник

{{Otheruses}}
[[Файл:Triangle illustration.svg|right|thumb|Трикутник]]
'''Трику́тник''' в [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]]&nbsp;— [[геометрична фігура]], яка складається з трьох [[точка|точок]], що не лежать на одній [[пряма|прямій]], і трьох [[відрізок|відрізків]], які їх сполучають. Трикутник з вершинами <math>A</math>, <math>B</math>, і <math>C</math> позначається <math>\triangle ABC</math>. Трикутник є [[многокутник]]ом і <math>2</math>-[[симплекс]]ом. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає [[площина|площину]]. Всі трикутники двовимірні.

Основні відомості про трикутники подано [[Евклід]]ом у праці «[[Начала Евкліда|Елементи»]] близько [[300 до н. е.]]

== Типи трикутників ==
[[Файл:Euler diagram of triangle types-uk.svg|міні|праворуч|400пкс|[[Кола Ейлера|Ейлерова діаграма]] видів трикутників.]]
Трикутники класифікують залежно від взаємних довжин їхніх сторін:
* '''Рівностороннім''' називають трикутник, в якого всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють <math>60^\circ</math>, а центри [[вписане коло|вписаного]] та [[описане коло|описаного кіл]] '''збігаються'''. Рівносторонній трикутник ще називають ''[[правильний трикутник|правильним]]''.
* '''Рівнобедреним''' називають трикутник, в якого дві сторони мають однакову довжину. Ці сторони називають '''бічними''', третю сторону називають '''основою''' трикутника. У рівнобедреному трикутнику кути при його основі рівні.
* '''Різностороннім''' називають трикутник, в якого всі сторони мають різну довжину. Внутрішні кути різностороннього трикутника також різні за величиною.

{{center|<gallery>
Зображення:Triangle.Equilateral.svg|Рівносторонній
Зображення:Triangle.Isosceles.svg|Рівнобедрений
Зображення:Triangle.Scalene.svg|Різносторонній 

</gallery>}}

Трикутники класифікують також залежно від їхніх внутрішніх кутів:
* Якщо один із внутрішніх кутів рівний <math>90^\circ</math> ([[прямий кут]]), то трикутник називають '''[[прямокутний трикутник|прямокутним]]'''. Сторону, протилежну до прямого кута, називають '''[[гіпотенуза|гіпотенузою]]''', а інші дві сторони&nbsp;— '''[[катет]]ами'''.
* Якщо один із внутрішніх кутів більший ніж <math>90^\circ</math>, то трикутник називають '''[[Гострий та тупий трикутники|тупокутним]]'''.
* Якщо всі кути трикутника менші від <math>90^\circ</math>, то трикутник називають '''гострокутним'''. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

{{center|<gallery>
Зображення:Triangle.Right.svg|Прямокутний
Зображення:Triangle.Obtuse.svg|Тупокутний
Зображення:Triangle.Acute.svg|Гострокутний
</gallery>}}

== Точки і лінії, пов'язані з трикутником ==

Є сотні різноманітних побудов для визначення особливих точок всередині трикутника, які задовольняють деякі унікальні умови (див. у списку посилань перелік статей). Часто необхідно побудувати три прямі, пов'язані аналогічно з трьома сторонами (вершинами, кутами) трикутника, і тоді переконатись, що вони перетинаються в одній точці. Важливим інструментом для перевірки цього є [[теорема Чеви]], яка дає критерії для визначення [[конкурентні прямі|конкурентності прямих]]. Подібно до цього лінії, пов'язані з трикутником, часто будують після перевірки, що три аналогічним чином отримані точки є [[Колінеарність|колінеарні]]&nbsp;— [[теорема Менелая]] дає для цього випадку загальний критерій. Тут подані тільки ті побудови, що найчастіше трапляються.

[[Файл:Triangle.Circumcenter.svg|frame|right|Центр описаного кола.]]
[[Серединний перпендикуляр]] трикутника&nbsp;— це [[перпендикулярність|перпендикуляр]], опущений на середину сторони трикутника. Три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яка є центром [[описане коло|описаного кола]]. [[Діаметр]] описаного кола можна визначити з [[теорема синусів|теореми синусів]].

Виходячи з [[Теорема Фалеса про три точки на колі|теореми Фалеса]], можна стверджувати: якщо центр описаного кола розміщений на одній зі сторін трикутника, то протилежний кут&nbsp;— прямий. До того ж, якщо центр описаного кола розміщений всередині трикутника, то трикутник гострокутний, а якщо назовні, то трикутник тупокутний.

[[Файл:Triangle.Orthocenter.svg|frame|left|Три висоти трикутника перетинаються в [[ортоцентр]]і.]]
[[Висота (трикутника)|Висота трикутника]]&nbsp;— це пряма, проведена з вершини перпендикулярно до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти&nbsp;— це відстань від вершини до основи трикутника. Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. [[Ортоцентр]] лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать всередині трикутника) [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], якщо трикутник не тупокутний (у ньому жоден з внутрішніх кутів не більший від прямого кута). Див. також [[ортоцентрична система]]

[[Файл:Triangle.Incircle.svg|frame|right|На перетині трьох бісектрис трикутника знаходиться центр [[вписане коло|вписаного кола]].]]
[[Бісектриса]] трикутника&nbsp;— це пряма, проведена через вершину трикутника, яка ділить відповідний кут на дві рівні частини. Три бісектриси перетинаються в одній точці, [[інцентр]]і, центрі [[вписане коло|вписаного]] в трикутник кола. Вписане коло&nbsp;— це коло, яке лежить всередині трикутника і дотикається до трьох його сторін. Окрім того, є ще три важливі кола&nbsp;— зовнішні вписані; вони лежать за межами трикутника і дотикаються до одної його сторони, а також до продовження двох інших. Центри внутрішнього і зовнішніх вписаних кіл утворюють [[ортоцентрична система|ортоцентричну систему]].

{{clear|left}}
[[Файл:Triangle.Centroid.svg|frame|left|[[Барицентр]]&nbsp;— центр мас трикутника.]]
[[Медіана]] трикутника&nbsp;— це пряма, проведена через вершину і середину протилежної сторони, вона ділить трикутник на два трикутники однакової площі. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається [[центроїд]]ом трикутника. Ця точка є також [[центр мас|центром мас]] трикутника: якби трикутник був зроблений з твердого матеріалу, то можна було б тримати рівновагу, тримаючи за центроїд. Центроїд ділить кожну медіану у співвідношенні <math>2:1</math>, наприклад відстань між вершиною і центроїдом вдвічі більша ніж між центроїдом і протилежною стороною.

[[Файл:Triangle.NinePointCircle.svg|frame|right|[[Коло дев'яти точок]].]]
Середні точки трьох сторін і основи трьох висот лежать на одному колі, яке називається [[коло дев'яти точок|колом дев'яти точок]] трикутника. Решта три точки, через які коло отримало свою назву,&nbsp;— це середини тієї частини висоти, що лежить між [[ортоцентр]]ом і вершиною. [[Радіус]] кола дев'яти точок дорівнює половині [[описане коло|описаного кола]]. Воно дотикається до вписаного кола (в [[точка Феєрбаха|точці Феєрбаха]]) та до трьох зовнішніх вписаних кіл.

{{clear|left}}
[[Файл:Triangle.EulerLine.svg|thumb|left|Лінія Ейлера.]]
Центроїд (жовтий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) і [[центр кола дев'яти точок]] (червона точка)&nbsp;— всі лежать на одній лінії, яка називається [[лінія Ейлера]] (червона лінія). Центр кола дев'яти точок лежить на середині між ортоцентром і центром описаного кола, а відстань між центроїдом і центром описаного кола дорівнює половині відстані між центроїдом та ортоцентром.
{{clear}}

== Основні факти ==

[[Файл:Triangle inequality С.png|thumb|250px|right|Позначення]]
Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, кути при відповідних вершинах грецькими літерами <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, а довжини протилежних сторін&nbsp;— маленькими латинськими літерами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.

Сума внутрішніх кутів трикутника&nbsp;становить <math>180^\circ</math>. Зовнішній кут трикутника ([[суміжний кут|кут суміжний]] до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників, сума зовнішніх кутів трикутника <math>360^\circ</math>.
: <math>\alpha+ \beta+ \gamma\ = 180^\circ</math>
Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є [[нерівність трикутника]], або аксіома трикутника (в окремому випадку нерівності два кути зменшуються до нуля і трикутник перетворюється у відрізок).

Два трикутники називають [[Подібність (геометрія)|подібними]] тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін [[пропорційність|пропорційні]]. Так може бути, наприклад, коли у двох трикутників є спільний кут, а сторони протилежні цьому куту&nbsp;— паралельні. Ось кілька постулатів і теорем про подібні трикутники:

* Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідні кути рівні.
* Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні.
* Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні.

Два трикутники називають [[конгруентність (геометрія)|конгруентними]], якщо всі їхні відповідні сторони і кути рівні (6 елементів). Кілька головних постулатів і теорем про конгруентні трикутники:

* Постулат SAS (side-angle-side): якщо дві сторони і кут між ними в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
* Постулат SSS: якщо всі відповідні сторони в трикутників рівні, то трикутники конгруентні.
* Постулат ASA: якщо сторона і прилеглі до неї кути в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
* Постулат AAS: якщо два кути і будь-яка сторона в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
* Теорема Гіпотенуза-катет: якщо гіпотенуза і один катет в прямокутних трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.

== Обчислення площі трикутника ==
[[Файл:Triangle.GeometryArea.svg|300px|thumb| Площа трикутника може бути показана як половина площі [[паралелограм]]а, який має таку саму основу та висоту.]]
Обчислення площі трикутника є простою задачею, яку часто треба вирішити у багатьох галузях. Найвідоміша і найпростіша формула:
: <math>S=\frac{1}{2}bh</math>
де <math>S</math>&nbsp;— площа, <math>b</math>&nbsp;— довжина основи трикутника, <math>h</math>&nbsp;— висота трикутника, відносна до основи.
Хоча ця формула й проста, вона може бути використана тільки у разі, якщо можна легко знайти висоту. Наприклад, землемір ділянки трикутної форми вимірює довжину кожної сторони і може знайти площу без визначення довжини висоти. На практиці можна використовувати різні методи визначення площі, залежно від того, що відомо про трикутник. Нижче наведено добірку найуживаніших формул.

=== З використанням векторів ===
Площу [[паралелограм]]а можна обчислити за допомогою [[вектор]]ів. Нехай вектори <math>AB</math> і <math>AC</math> спрямовані відповідно від <math>A</math> до <math>B</math> і від <math>A</math> до <math>C</math>. Тоді площа паралелограма <math>ABCD</math> дорівнює <math>|AB\times AC|</math>, тобто числове значення [[векторний добуток|векторного добутку]] <math>AB</math> і <math>AC</math>. <math>|AB\times AC|</math> дорівнює <math>|h\times AC|</math>, де <math>h</math>&nbsp;— висота паралелограма як вектор.

Площа трикутника <math>ABC</math> дорівнює половині площі паралелограма <math>S=\tfrac{1}{2}|AB\times AC|</math>.

Площу трикутника <math>ABC</math> також можна обчислити як [[скалярний добуток]] векторів.
: <math>
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, 
</math>.

[[Файл:Triangle.TrigArea.svg|frame|left|Тригонометричний спосіб обчислення висоти ''h''.]]

=== Тригонометричний спосіб ===

Висоту трикутника можна визначити використовуючи [[тригонометрія|тригонометричні]] формули. Згідно з позначенням, як на малюнку зліва, висота дорівнює <math>h=a\sin\gamma</math>. Підставивши висоту в формулу <math>S=\tfrac{1}{2}bh</math>, яка наведена вище, отримаємо:
: <math>S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta</math>.
Крім того, <math>\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)=\sin(\beta+\gamma)</math>, що справедливо і для інших двох кутів:
: <math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha)</math>.
''Знаючи сторону і два кути, один з яких прилеглий'':

: <math>S =  \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta}</math>,

і аналогічно якщо відомі сторони ''a'' чи ''c''.

''Знаючи сторону і два прилеглі кути'':<ref>{{MathWorld |title=Triangle |urlname=Triangle}}</ref>

: <math>S =  \frac{a^{2}}{2(\cot \beta + \cot \gamma)} = \frac{a^{2} (\sin \beta)(\sin \gamma)}{2\sin(\beta + \gamma)}</math>,

і аналогічно якщо відомі сторони <math>b</math> чи <math>c</math>.

=== Використання координат ===

Якщо точка <math>A</math> розташована в точці відліку <math>(0,0)</math> [[Декартова система координат|Декартової координатної системи]], а координати інших двох точок <math>B=(x_B,y_B)</math> і <math>C=(x_C,y_C)</math>, тоді площа <math>S</math> може бути обчислена як <math>\tfrac{1}{2}</math> [[абсолютна величина|абсолютного значення]] [[детермінант]]у:
: <math>S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B| </math>.
В загальнішому випадку:
: <math>S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big| </math>.
В тривимірному просторі площа трикутника {<math>A=(x_A,y_A,z_A)</math>, <math>B=(x_B,y_B,z_B)</math> і <math>C=(x_C,y_C,z_C)</math>} дорівнює [[Піфагорова сума|Піфагоровій сумі]] відповідних проєкцій на три головні площини (для яких <math>x=0</math> або <math>y=0</math> або <math>z=0</math>):
: <math>S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 } </math>.

=== Формула Герона ===

Форма трикутника однозначно визначається трьома сторонами. Відповідно для того, щоб порахувати площу, достатньо знати довжину сторін. За [[Формула Герона|формулою Герона]]:
: <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
де <math>p = (a+b+c)/2</math>&nbsp;— '''півпериметр'''<br/>
Інші способи запису формули Герона:
: <math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>

: <math> S =  \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>

: <math> S =  \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}</math>

=== Формули, схожі на формулу Герона ===

Є три формули, що схожі на формулу Герона, але записані через інші величини. Позначивши медіани для сторін <math>a</math>, <math>b</math>, і <math>c</math> відповідно як <math>m_a, m_b,</math> і <math>m_c</math>, а їхню півсуму <math>(m_a + m_b + m_c)/2</math> як <math>\sigma</math>, маємо<ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, «''Mathematical Gazette''» ''87, July 2003, 324—326''.</ref>

: <math> S =  \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.</math>

Тоді, позначивши висоти на сторони <math>a</math>, <math>b</math>, і <math>c</math> відповідно як <math>h_a</math>, <math>h_b</math>, і <math> h_c</math>, і позначивши півсуму величин, обернених до висот, як <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math>, матимемо<ref>Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle», ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>

: <math>\mathrm{S}^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.</math>

Позначивши півсуму синусів кутів як <math>P=[(\sin \ \ \alpha)+(\sin \ \ \beta)+(\sin \ \ \gamma)]/2</math>, матимемо<ref>Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines», ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108—109.</ref>

: <math> S =  D^{2} \sqrt{P(P-\sin \alpha)(P-\sin \beta)(P-\sin \gamma)}</math>

де <math>D</math>&nbsp;— діаметр описаного кола: <math>D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.</math>

=== За допомогою теореми Піка ===
Див. [[Теорема Піка|теорему Піка]] для пояснень, як знайти площу довільного цілочислового многокутника.

Теорема стверджує, що
: <math>\mathrm{S} =  I + \frac{1}{2}B - 1</math>

де <math>I</math>&nbsp;— кількість цілочислових точок усередині многокутника, <math>B</math>&nbsp;— кількість цілочислових точок на межі многокутника.

=== Інші формули обчислення площі ===

Існують також інші формули для обчислення площі, наприклад,

: <math> S =  r \cdot p,</math>

де <math>r</math>&nbsp;— радіус вписаного кола, і <math>p=(a+b+c)/2</math>&nbsp;- '''(півпериметр)''';

: <math> S =  \frac{1}{2}D^{2}(\sin  \alpha)(\sin  \beta)(\sin  \gamma)</math>

Для діаметра описаного кола <math>D</math>; і<ref>Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 306—309.</ref>

: <math> S =  \frac{\tan \alpha}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})</math>

для кута <math>\alpha \ne90^\circ</math>.

В 1885 році, Бейкер<ref>Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " ''Annals of Mathematics'', part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.</ref> дав підбірку з більш ніж сотні різних формул для обчислення площі трикутника (хоча варто попередити читача, що деякі з них неправильні). Наводимо тут #9, #39a, #39b, #42, і #49:

: <math> S =  \frac{1}{2}[abch_ah_bh_c]^{1/3}</math>,

: <math> S =  \frac{1}{2} \sqrt{abh_ah_b}</math>,

: <math> S =  \frac{a+b}{2(h_a^{-1} + h_b^{-1})}</math>,

: <math> S =  \frac{Rh_bh_c}{a}</math>

Для радіуса описаного кола <math>R</math>, і

: <math> S =  \frac{h_ah_b}{2 \sin \gamma}</math>.

=== Обчислення площі прямокутного трикутника ===
У прямокутному трикутнику можна взяти один із [[катет]]ів як основу, а інший&nbsp;— як його висоту. Звідси формула прямокутного трикутника

<math>S=\frac {cc'}{2}</math>

де <math>S</math>&nbsp;— площа, а <math>c</math> і <math>c'</math>&nbsp;— катети.

== Обчислення сторін та кутів ==
{{main|Розв'язування трикутників}}
Загалом, є різноманітні прийняті методи обчислення довжин сторін та кутів трикутника. Якщо певні методи можуть бути використані тільки в прямокутному трикутнику, то інші можуть виявитись потрібними для складніших випадків.

=== Тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках ===
{{main|Тригонометричні функції}}
[[Файл:Trigonometry triangle.svg|right|thumb|[[Прямокутний трикутник]] завжди має кут 90° (π/2 радіан), тут позначений C. Кути A і B можуть бути різними. Тригонометричні функції показують співвідношення між довжинами сторін і внутрішніми кутами в прямокутному трикутнику.]]

У прямокутних трикутниках тригонометричні співвідношення&nbsp;— синус, косинус і тангенс можуть використовуватись, щоб знайти невідомі кути чи невідомі довжини сторін. Сторони трикутника позначають так:
* ''[[Гіпотенуза]]''&nbsp;— сторона протилежна до прямого кута, або найдовша сторона в прямокутному трикутнику, в даному випадку <math>h</math>.
* ''Протилежний катет''&nbsp;— сторона протилежна до кута, що розглядається.
* ''Прилеглий катет''&nbsp;— та сторона, що прилягає до кута, що розглядається і до прямого. В даному випадку прилеглий катет <math>b</math>.

==== Синус, косинус і тангенс ====
'''Синус''' кута&nbsp;— це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку
: <math>\sin A = \frac {\text{протилежний}} {\text{гіпотенуза}} = \frac {a} {h}</math>.
Зверніть увагу, що це співвідношення не залежить від конкретного вибраного прямокутного трикутника, якщо в ньому є кут <math>A</math>, оскільки такі трикутники будуть [[Подібність (геометрія)|подібні]].

'''Косинус''' кута&nbsp;— це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку
: <math>\cos A = \frac {\text{прилеглий}} {\text{гіпотенуза}} = \frac {b} {h}\,.</math>

'''Тангенс''' кута&nbsp;— це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого. В нашому випадку
: <math>\tan A = \frac {\text{протилежний}} {\text{прилеглий}} = \frac {a} {b}\,.</math>

==== Обернені функції ====
Обернені тригонометричні функції використовують, щоб обчислити внутрішні кути прямокутного трикутника, якщо відомі довжини будь-яких двох сторін.

''Arcsin'' використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжина протилежної сторони і довжина гіпотенузи
: <math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{протилежний}}{\text{гіпотенуза}} \right)</math>

''Arccos'' використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжина прилеглої сторони і довжина гіпотенузи
: <math>\theta = \arccos \left( \frac{\text{прилеглий}}{\text{гіпотенуза}} \right)</math>

''Arctan'' використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжини протилежної та прилеглої сторони
: <math>\theta = \arctan \left( \frac{\text{протилежний}}{\text{прилеглий}} \right)</math>

На вступній геометрії та уроках тригонометрії, часто використовують позначення <math>\sin^{-1}</math>, <math>\cos^{-1}</math>, та ін. замість <math>\arcsin</math>, <math>\arccos</math> тощо. Проте позначення <math>\arcsin</math>, <math>\arccos</math> та інші є стандартними для вищої математики, де тригонометричні функції часто підносять до степеня, щоб не плутати [[Обернене число|обернений степінь]] з [[Обернена функція|оберненою функцією]].

=== Теореми синусів, косинусів та тангенсів ===
{{main|Теорема синусів|Теорема косинусів|Теорема тангенсів}}
[[Файл:Triangle with notations 2.svg|thumb||left|Трикутник з сторонами довжиною a, b і c та кутами α, β і γ відповідно
.]]

[[Теорема синусів]], чи правило синусів,<ref>{{cite web|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/laws.html|title=The Laws of Cosines and Sines|author=Prof. David E. Joyce|publisher=Clark University|accessdate=2008-11-01|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HZLtpBv5?url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/laws.html|archivedate=2013-06-22|deadurl=no}}</ref> стверджує що відношення довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів є величина стала, отже

: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.

Це відношення дорівнює діаметру описаного кола даного трикутника. Інша інтерпретація теореми твердить, що кожен трикутник з кутами <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> і <math>\gamma</math> подібний до трикутника довжина сторін якого дорівнює <math>\sin\alpha</math>, <math>\sin\beta</math> і <math>\sin\gamma</math>. Цей трикутник може бути побудований, якщо накреслити коло діаметром <math>1</math> і вписати в нього два кути вказаного трикутника. Довжина сторін трикутника буде <math>\sin\alpha</math>, <math>\sin\beta</math> і <math>\sin\gamma</math>. Сторона чия довжина <math>\sin\alpha</math> протилежна до кута чия величина <math>\alpha</math>, і&nbsp;т.&nbsp;д.

[[Теорема косинусів]], чи правило косинусів, поєднує довжину невідомої сторони трикутника з довжиною інших сторін і з кутом протилежним до невідомої сторони. Згідно з теоремою:

Для трикутника з довжинами сторін <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> і кутами <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> відповідно, для двох відомих довжин трикутника <math>a</math> і <math>b</math>, і кута між двома відомими сторонами <math>\gamma</math> (чи кута протилежного до невідомої сторони <math>c</math>), щоб розрахувати довжину третьої сторони можна використати наступну формулу:
: <math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)</math>
: <math>b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)</math>
: <math>a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)</math>

Якщо довжина всіх трьох сторін трикутника відома, тоді кути можна розрахувати за формулами:
: <math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math>
: <math>\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)</math>
: <math>\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)</math>

[[Теорема тангенсів]], чи правило тангенсів, менш відома ніж два попередні. Вона стверджує:
: <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.</math>

Воно не дуже часто використовується, але може бути корисним коли потрібно знайти сторону чи кут, коли відомі дві сторони і кут чи два кути і сторона.

== Ще формули для трикутників Евклідової геометрії ==

Для всіх трикутників Евклідової геометрії також справедливі такі формули:

: <math>\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_a^{2}+m_b^{2}+m_c^{2}</math>

і

: <math>m_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}= \sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})- \frac{3}{4}a^{2}}</math>,

і еквівалентно для <math>m_b</math> і <math>m_c</math>, з відповідними медіанами і сторонами;

: <math>\text{Довжина внутрішньої бісектриси} \ \ \alpha = \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c} = \sqrt{bc[1- \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}]}</math>

для півпериметра <math>s</math>, а довжина бісектриси вимірюється з вершини кута до точки перетину з протилежною стороною; в наступних формулах використовується радіус описаного кола <math>R</math> та радіус вписаного кола <math>r</math>:

: <math>\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}</math>

якщо записати через висоти,

: <math>\frac{r}{R} = \frac{4 \cdot  S^{2}}{sabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1</math>,

і

: <math>2Rr = \frac{abc}{a+b+c}</math>.

Припустимо два суміжні трикутники, що не перетинаються, мають спільну сторону, довжина якої <math>f</math>, і мають спільне описане коло таким чином, що сторона довжиною <math>f</math> є хордою описаного кола; трикутники мають сторони з такими довжинами <math>(a,b,f)</math> і <math>(c,d,f)</math>, ці два трикутники разом утворюють [[вписаний чотирикутник]], а його сторони відповідно <math>(a,b,c,d)</math>. Тоді<ref name = "Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ. Co., 2007</ref>

: <math>f^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)} </math>.

Нехай <math>M</math>&nbsp;— [[центроїд]] трикутника з вершинами <math>A</math>, <math>B</math>, і <math>C</math>, і нехай <math>P</math>&nbsp;— будь-яка внутрішня точка. Тоді відстані між цими точками пов'язані<ref name="Johnson"/>

: <math> (PA)^2 + (PB)^2 +(PC)^2 =(MA)^2 + (MB)^2 + (MC)^2 +3(PM)^2 </math>.

Нехай <math>p_a</math>, <math>p_b</math>, і <math>p_c</math>&nbsp;— відстані від центроїда до сторін <math>a</math>, <math>b</math>, і <math>c</math>. Тоді<ref name = "Johnson" />

: <math> \frac{p_a}{p_b} = \frac{b}{a},  \ \ \ \  \frac{p_b}{p_c} = \frac{c}{b}, \ \  \ \ \frac{p_a}{p_c} = \frac{c}{a} \, </math>

і

: <math> p_a \cdot a = p_b \cdot b = p_c \cdot c = \frac{2}{3} \cdot S </math>.

== Неплощинні трикутники ==
[[Файл:Трикутник на сфері.svg|right|thumb|Трикутник на сфері.]]
Неплощинні трикутники&nbsp;— це трикутники, що розташовані не на (плоскій) площині. Прикладом такого трикутника в неевклідовій геометрії є [[сферичний трикутник]], який вивчають у [[сферична геометрія|сферичній геометрії]], та [[гіперболічний трикутник]] в [[гіперболічна геометрія|гіперболічній геометрії]].

Якщо сума внутрішніх кутів трикутника в площині завжди дорівнює <math>180^\circ</math>, то для гіперболічного трикутника сума кутів буде меншою від <math>180^\circ</math>, а для сферичного трикутника сума кутів буде більшою від <math>180^\circ</math>. Гіперболічний трикутник можна отримати на негативно вигнутій поверхні, наприклад [[гіперболоїд|гіперболічний параболоїд]], а сферичний трикутник можна отримати на позитивно вигнутій поверхні, наприклад [[сфера]]. Таким чином, якщо зобразити гігантський трикутник на поверхні Землі, то отримаємо суму кутів більшу ніж <math>180^\circ</math>; фактично сума буде лежати в проміжку <math>180^\circ</math> і <math>540^\circ</math><ref>Watkins, Matthew, ''Useful Mathematical and Physical Formulae'', Walker and Co., 2000.</ref> Зокрема, можна зобразити трикутник на сфері таким чином, що кожен внутрішній кут буде дорівнювати <math>90^\circ</math>, а сума всіх кутів <math>270^\circ</math>.

Зокрема, на сфері сума кутів трикутника дорівнює

: <math>180^\circ\times(1+4f)</math>,

де <math>f</math>&nbsp;— це відношення площі сфери до площі обмеженої трикутником. Наприклад, припустимо ми зобразимо трикутник на поверхні Землі (будемо вважати, що Земля це сфера, що насправді [[Референц-еліпсоїд|не зовсім так]]) з вершинами на Північному полюсі, на точці екватора з широтою <math>0^\circ</math>, і точка на екваторі <math>90^\circ</math> західної довготи. Лінія [[велике коло|великого кола]] між згаданими двома точками буде екватор, а лінія великого кола між кожною з цих двох точок і Північним полюсом буде лінією меридіану; отже отримаємо прямі кути на екваторі. Більш того, кут на Північному полюсі також <math>90^\circ</math> тому що попередні дві вершини різняться на <math>90^\circ</math> за довготою. Сума кутів в цьому трикутнику&nbsp;— <math>90^\circ+90^\circ+90^\circ=270^\circ</math>. Цей трикутник покриває <math>1/4</math> північної півкулі (<math>90^\circ/360^\circ</math> якщо дивитись з Північного полюса) і відповідно <math>1/8</math> земної поверхні, тоді підставляємо у формулу <math>f=1/8</math>; як бачимо, формула дає правильний результат <math>270^\circ</math>.

З формули вище ми також бачимо, що в певному наближенні поверхню землі можна вважати плоскою: якщо зобразити довільний малий трикутник на поверхні Землі, тоді частка <math>f</math> земної поверхні, яка обмежена даним трикутником буде близька до нуля. Наприклад, відомо що площа земної поверхні <math>510</math>&nbsp;млн&nbsp;км², тоді для трикутника площею <math>10\,000</math>&nbsp;км², отримаємо суму кутів <math>180.01^\circ</math>.

== Див. також ==
* [[Гострий та тупий трикутники]]
* [[Тригонометричні функції]]
* [[Список тем про трикутник]]
* [[Одна сьома площі трикутника]]

; Теореми та твердження про трикутники
* [[Теорема синусів]]
* [[Теорема косинусів]]
* [[Теорема тангенсів]]
* [[Теорема Піфагора]]
* [[Теорема Чеви]]
* [[Точка Ферма]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Площа трикутника|сторінки=82}}
{{Commons category|Triangles}}
{{Портал|Математика}}
* [http://formula.co.ua/triangle.php Трикутник] на сайті Formula.co.ua&nbsp;— математика для школи
* [http://ostriv.in.ua/index.php?option=com_content&task=view&id=4600&Itemid=-5 Геометрія, 7-9 класи. Трикутник] на сайті «Острів знань».
* [http://www.geometryatlas.com/categories/Triangles Формули для трикутника] на сайті ''Geometry Atlas''.{{ref-en}}
* Кларк Кімберлінґ: [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Енциклопедія центрів трикутника]. Список 3200 точок пов'язаних з трикутником.{{ref-en}}
* [http://www.mathopenref.com/tocs/triangletoc.html Різні визначення для трикутника] з інтерактивними додатками, які також можуть бути корисні для навчання в школі.{{ref-en}}
* [http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc.html Інтерактивні демонстрації] побудов трикутника з використанням циркуля та лінійки.{{ref-en}}
* [http://agutie.homestead.com/files/triangles_1.htm Трикутники: Теореми та проблеми.] Інтерактивні ілюстрації на сайті ''Geometry from the Land of the Incas''.{{ref-en}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=geo/triangle FIZMA.neT]&nbsp;— Математика онлайн (Трикутник та його елементи)
* {{УМЕ15|частина=Трикут, трикутник|сторінки=1931}}

== Література ==
* ''Г.&nbsp;П.&nbsp;Бевз''. Геометрія трикутника.&nbsp;— Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
* ''Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н.&nbsp;Г.''&nbsp;Геометрія: Підручник для 7-9 кл.&nbsp;— Київ: Вежа, 2004, ISBN 966-7091-66-Х.
* ''І.&nbsp;А.&nbsp;Кушнір''. Трикутник і тетраедр в задачах.&nbsp;— Київ: Радянська школа, 1991, ISBN 5-330-02081-6
* ''І.&nbsp;А.&nbsp;Кушнір''. Повернення втраченої геометрії.&nbsp;— Київ: Факт, 2000 ISBN 966-7274-75-5
* ''[[Погорєлов Олексій Васильович|Погорєлов О.&nbsp;В.]]''&nbsp;Геометрія. Підручник. для 7&nbsp;— 9 кл.&nbsp;— Київ: Школяр, 2004
{{Трикутник}}
{{Многокутники}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Трикутники| ]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]
[[Категорія:Кути]]