Перегляд вихідного коду сторінки Трикутна потенційна яма

'''Трикутна квантова яма'''&nbsp;— одновимірна [[Потенціальна яма|потенційна яма]], обмежена з одного боку нескінченно високою потенційною стінкою, а з іншого&nbsp;— потенціалом, що лінійно зростає зі збільшенням координати. Один із простих профілів потенціалу у квантовій механіці, що допускають точне розв'язання задачі про знаходження рівнів енергії та хвильових функцій частки, що знаходиться в ямі.

Розглянемо потенціальну енергію <math>U(x)</math> в наступному вигляді:

<math>U(x) = \begin{cases} eEx, & x  \ge \; 0 \\ +\infty, & x < 0 \end{cases}</math>

де <math>x</math>&nbsp;— координата, <math>e</math>&nbsp;— заряд електрону, <math>E</math>&nbsp;— напруженість електричного поля, що визначає потенційну енергію, <math>eE>0</math>.

Рівняння Шредінгера в даному одномірному випадку можна записати у вигляді:

<math>\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar \;^2}(W - eEx)\psi = 0.</math>

Для спрощення подальшого розгляду введемо безрозмірну змінну у вигляді:

<math>\xi = (-x + \frac{W}{eE})(\frac{2meE}{\hbar \;^2})^{1/2}. </math>

Таким чином, отримаємо рівняння Шредінгера, яке не залежить від параметра енергії:

<math>\psi''(\xi) + \xi \psi (\xi)= 0.</math>

Розв'язок даного рівняння є

<math>\psi(\xi) = C\mathrm{Ai}(-\xi),</math>

де [[функція Ейрі|функції Ейрі]] визначені таким чином:

<math>\mathrm{Ai}(\xi) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty} \cos (\frac{u^3}{3} + u\xi) \, du</math>

Основна особливість даної задачі полягає в тому, що при <math>x = 0</math> потенційна енергія різко зростає, і тому ми повинні для зшивання хвильових функцій використати умову:

<math>\psi(\xi_j) = 0,</math>

де <math>-\xi_j</math>&nbsp;— від'ємні корені функції Ейрі. Можна привести перші 5 значень цих коренів:
<math>\xi_1 = 2,33810741</math>,
<math>\xi_2 = 4,08794944</math>,
<math>\xi_3 = 5,52055983</math>,
<math>\xi_4 = 6,78670809</math>,
<math>\xi_5 = 7,94413359</math>.

Таким чином, ми маємо дискретний спектр енергій для трикутної потенційної ями у вигляді:

<math>W_j = \xi_j \big[\frac{eE\hbar \;}{\sqrt{2m}} \big]^{2/3}.</math>

Константа <math>C</math> може бути визначена з умови нормування хвильової функції:

<math>\int\limits_{0}^{\infty }{dx}{{\left| \psi_j \left( x \right) \right|}^{2}}=1\,,</math>

звідки знаходимо, що

<math>{{C}_{j}}=\frac{{1}}{Ai'\left( -{{\xi}_{j}} \right)}\left(\frac{2meE}{\hbar \;^2}\right)^{1/6}\,,</math>

де <math>Ai'(\xi)</math>&nbsp;— похідна функції Ейрі.

Оскільки між потенційною енергією та дискретним спектром справедливе наступне співвідношення в точках, що обмежують класично доступну ділянку:

<math>U(x_j)  = eEx_j = W_j</math>

тому ми можемо знайти значення координати <math>x_j</math>:
<math>x_j = \xi_j \big(\frac{\hbar \;^2}{2meE}  \big)^{1/3}</math>

Широкого розповсюдження дана задача набула в дослідженнях 2D-систем електронного газу інверсних шарів на поверхні розділу діелектрик&nbsp;— напівпровідник.

== Література ==
* {{книга|автор=Olivier Vallee, Manuel Soares|заголовок=Airy functions and applications to physics|рік=2004|місто=London|видавництво=Imperial College Press|сторінок=194|isbn=1-86094-478-7|ref=Vallee, Soares}}
* {{книга
|автор        = Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. 
|заголовок    = Электронные свойства двумерных систем 
|рік          = 1985
|видавництво  = Мир
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 416
}}
* {{книга
|автор        = [[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лифшиц Е. М.]]
|заголовок    = Теоретическая физика
|частина      = Квантовая механика. Нерелятивистская теория
|том          = 3
|рік          = 2008
|видавництво  = Физматлит
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 800
}}

== Посилання ==
https://web.archive.org/web/20080516234045/http://www.wsi.tu-muenchen.de/nextnano3/tutorial/1Dtutorial_GaAs_triangular_well.htm

== Див. також ==
* [[Квантовий рух в електричному полі]]
* [[Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі]]
* [[Осциляції Зенера - Блоха]]
* [[Квантовий осцилятор]]
* [[Рівні Ландау]]

[[Категорія:Квантово-механічні потенціали]]