Перегляд вихідного коду сторінки Тригонометричний ряд

У математиці '''тригонометричний ряд'''&nbsp;— це [[Ряд (математика)|ряд]] вигляду:

: <math>\frac{A_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx}).</math>

Його називають [[Ряд Фур'є|рядом Фур'є,]] якщо доданки <math>A_{n}</math> і <math>B_{n}</math> мають вигляд:

: <math>A_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0\! f(x) \cos{nx} \,dx\qquad (n=0,1,2,3 \dots)</math>

: <math>B_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0\! f(x) \sin{nx}\, dx\qquad (n=1,2,3, \dots)</math>

де <math>f</math> є [[Інтеграл|інтегровною функцією]] .

== Нулі тригонометричного ряду ==
Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в [[Європа|Європі]] [[XIX століття]]. По-перше, [[Георг Кантор]] довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції <math>f(x)</math> на інтервалі <math>[0, 2\pi]</math>, яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.

Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина ''S'', на якій <math>f</math> відмінна від нуля, є нескінченною, але [[похідна множина]] ''S''' від ''S'' скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай ''S''<sub>''0''</sub> = ''S'' і ''S''<sub>''k+1''</sub>&nbsp;— похідна множина від ''S''<sub>''k''</sub>. Якщо існує скінченне число ''n'', для якого ''S''<sub>''n''</sub> скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний [[Порядкове число|ординал]] ''α'' такий, що ''S''<sub>''α''</sub> скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу [[Трансфінітне число|трансфінітних]] [[Порядкове число|порядкових чисел]], які з'явилися як індекси ''α'' в ''S''<sub>''α''</sub><ref>{{Citation|last=Cooke|first=Roger|title=Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=45|pages=281–334|year=1993|doi=10.1007/BF01886630|number=4|postscript=.}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Теорема Данжуа — Лузіна]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Бібліоінформація}}
{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Аналіз Фур'є]]
[[Категорія:Ряди та послідовності]]