Перегляд вихідного коду сторінки Трапеція

{{Otheruses}}
{{Багатокутник
| name        = Трапеція
| image       = Trapezoid.svg
| caption     = Трапеція
| type        = [[Чотирикутник]]
| edges       = 4
| symmetry    = 
| area        = <math>\tfrac{a + b}{2} h</math>
| properties  = [[Опуклий многокутник]]}}
'''Трапе́ція''' ({{lang-la|trapezium}}, від {{lang-grc|τραπέζιον}}&nbsp;— «столик»)&nbsp;— це чотирикутник, дві протилежні сторони якого [[паралельні прямі|паралельні]], а інші дві сторони&nbsp;— не паралельні<ref name=":0">{{Cite web|url=http://formula.co.ua/uk/math-dictionary#uk_t|title=Математичний словник {{!}} Математика, логіка, інтелект|website=formula.co.ua|accessdate=2019-01-14|archive-date=15 січня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190115023348/http://formula.co.ua/uk/math-dictionary#uk_t}}</ref>. Паралельні сторони називаються ''основами'' трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються ''бічними сторонами'' (сторони AD та CB).

Виділяють два класи трапецій:
* ''Рівнобічна'' трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
* ''Прямокутна'' трапеція&nbsp;— це трапеція у якої два кута прямі.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається [[середня лінія|середньою лінією]] трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її [[довжина]] дорівнює їх півсумі:

: <math>l=\frac{a+b}{2}.</math>

Відстань ''h'' між основами трапеції називається ''висотою трапеції''.

== Етимологія ==
Термін ''трапеція'' походить від {{lang-grc|τραπέζιον}}, ''trapézion'', буквально «столик»&nbsp;— [[зменшувальна форма]] від {{lang-el2|τράπεζα}} («[[стіл]]», звідки й «[[трапеза]]»), утвореного з {{lang-el2|τετράς}} («чотири») + {{lang-el2|πέζα}} («нога, ребро»)<ref>Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, ''A Greek-English Lexicon'', Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/morph?l=peza&la=greek#lexicon πέζα] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210428091031/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/morph?l=peza&la=greek#lexicon |date=28 квітня 2021 }}, [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dtra%2Fpeza τράπεζα] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190413225956/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text%3Fdoc%3DPerseus:text:1999.04.0057:entry%253Dtra/peza |date=13 квітня 2019 }}</ref>. У США і Канаді використовується термін ''trapezoid'', що походить від {{lang-el2|τραπεζοειδή}} («столоподібний»); перше задокументоване вживання цього терміна трапляється у [[Прокл Діадох|Прокла]] (412—485 н.&nbsp;е.) у його коментарі до першої книги «[[Начала Евкліда|Начал]]» Евкліда<ref>Oxford English Dictionary entry at ''trapezoid''.</ref>.

== Основні види трапецій ==
[[Файл:Trapezoid special cases22.svg|міні|280x280пкс|Зображення до основних видів трапецій]]
Трапецію називають '''прямокутною''', якщо у неї два сусідніх кути дорівнюють 90°.

'''Гострою''' називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).

Трапецію називають '''[[Рівнобічна трапеція|рівнобічною]]''', якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симетрію.

'''Тупою''' називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).

Переважною є позиція, що окрім двох паралельних сторін, трапеція повинна мати дві непаралельні сторони<ref name=":0" />. Проте іноді до трапецій включають всі паралелограми ([[Ромб|ромби]], [[Прямокутник|прямокутники]] і [[Квадрат|квадрати]]), оскільки вони мають дві пари паралельних сторін. Прямокутники мають [[Відбиття (геометрія)|дзеркальну симетрію]] по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.

'''Дотичною''' називається трапеція, яка має [[Вписане коло|вписане коло]].

== Властивості ==
Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

* Сума двох кутів, прилеглих до бічних ребер, дорівнює 180°.
* Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
* Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
* Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
* Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
* Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
* Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
* [[Бісектриса]] будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
* Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
* Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
* Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
* В [[Рівнобічна трапеція|рівнобічній трапеції]]:
** кути при основі, а також [[діагональ|діагоналі]] рівні
** якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то висота такої трапеції дорівнює півсумі основ
* Навколо рівнобічної трапеції можна описати [[коло]].

== Висота трапеції ==
[[Файл:Висота трапеції.svg|thumb|Схематичні зображення до формул.]]
Висота&nbsp;— перпендикулярна відстань між основами.
У разі, коли дві основи мають різну довжину (''а ≠ b''), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:
: <math>h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}</math>,
де ''a'', ''b''&nbsp;— основи трапеції, а ''c'' і ''d''&nbsp;— бічні сторони.
Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:
: <math>h= c\cdot\sin\alpha=d\cdot\sin\beta</math>
Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:
: <math>h=\frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\alpha = \frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\beta</math>.
Формула висоти трапеції, виражена через площу:
: <math>h=\frac{2S}{a+b}=\frac{S}{m}</math>, де ''S''&nbsp;— площа трапеції, ''m''&nbsp;— середня лінія.

== Площа трапеції ==
[[Площа]] трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

: <math>S=\frac{a+b}{2}h=lh</math>

Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можемо використовувати іншу формулу визначення площі. Якщо позначити основи трапеції <math>a</math> та <math>b</math> (<math>b>a</math>), а бічні сторони <math>c</math> та <math>d</math>, то

: <math>S=\frac{1}{4}\frac{b+a}{b-a}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}</math>.

Або:

: <math>S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}</math>.

В 499 році н.&nbsp;е. [[Аріабхата I|Аріабхата]], великий математик-астроном з класичної епохи індійської математики та індійської астрономії, використовував окремий випадок добре відомої формули для площі трикутника, розглядаючи [[трикутник]] як вироджену трапецію, у якої одна з паралельних сторін стиснулася до точки. У такому випадку формула для находження площі зводиться до [[Формула Герона|формули Герона]] для площі трикутника.

Інша еквівалентна формула для площі, яка ближче нагадує формулу Герона, є:

: <math>S = \frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},</math> де <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)</math>&nbsp;— [[півпериметр]] трапеції.


Площа [[Рівнобічна трапеція|рівнобічної трапеції]] з радіусом вписаного кола <math>r</math> та кутом при основі <math>\alpha</math>:
: <math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}.</math>

== Діагоналі ==
[[Файл:Trapezium.svg|200px|right]]
Довжину діагоналей трапеції можна обчислити за формулами:
: <math>p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{b-a}},</math>
: <math>q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{b-a}},</math>
де ''a'', ''b''&nbsp;— основи трапеції, а ''c'' і ''d''&nbsp;— бічні сторони.
 
Якщо трапеція ділиться діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці О, на чотири трикутники (як показано праворуч), то площа трикутника ΔAOD дорівнює площі трикутника ΔBOC, і добуток площ трикутників ΔAOD і ΔBOC дорівнює добутку площ трикутників ΔАОВ і ΔCOD. Відношення площ кожної пари суміжних трикутників таке ж, що між довжинами паралельних сторін.

Діагоналі трапеції <math> d_1</math> та <math> d_2 </math> пов'язані зі сторонами співвідношенням:
: <math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>.
Їх можна знайти за формулами:
: <math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
: <math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
Також діагоналі можна знайти через висоту трапеції за наступними формулами:
: <math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
: <math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>

== Використовування в архітектурі ==
[[Файл:Temple of Dendur- night.jpg|right|250px|thumb|{{Нп|Храм Дендур|||Temple of Dendur}} у [[Музей мистецтва Метрополітен|музеї мистецтва Метрополітен]] у [[Нью-Йорк]]у]]
В архітектурі слово трапеція використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих ширше біля основи, звужених до вершини (в єгипетському стилі). Існує чимало будівель, що мають форму [[Рівнобічна трапеція|рівнобічної трапеції]]. Це був стандартний стиль для дверей і вікон у [[Інки|інків]].<ref>{{Cite web |url=http://gogeometry.com/MachuPicchu.htm |title=Архівована копія |accessdate=24 травня 2016 |archive-date=9 червня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160609060657/http://www.gogeometry.com/MachuPicchu.htm }}</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Рівнобічна трапеція]]
* [[Чотирикутник]]
* [[Квадрат (геометрична фігура)|Квадрат]]

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53410/22234.html Трапеція]}}
* http://easycalculation.com/area/trapezium.php {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100102020824/http://easycalculation.com/area/trapezium.php |date=2 січня 2010 }}
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trapezium ''Trapezium''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171012150723/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trapezium |date=12 жовтня 2017 }} at Encyclopedia of Mathematics.
* {{MathWorld |title=Right trapezoid |urlname=RightTrapezoid}}
* [http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Trapezoid definition] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180917082234/http://www.mathopenref.com/trapezoid.html |date=17 вересня 2018 }} &nbsp; [http://www.mathopenref.com/trapezoidarea.html Area of a trapezoid] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171013225514/http://www.mathopenref.com/trapezoidarea.html |date=13 жовтня 2017 }} &nbsp; [http://www.mathopenref.com/trapezoidmedian.html Median of a trapezoid] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171013045139/http://mathopenref.com/trapezoidmedian.html |date=13 жовтня 2017 }} With interactive animations
* [http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Trapezoid+%28North+America%29&status=public Trapezoid (North America)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081028170327/http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Trapezoid+%28North+America%29&status=public |date=28 жовтня 2008 }} at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/trapezoidal_rule.html Trapezoidal Rule] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090203200941/http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/trapezoidal_rule.html |date=3 лютого 2009 }} on ''Numerical Methods for Stem Undergraduate''
* Autar Kaw and E. Eric Kalu, ''[http://www.autarkaw.com/books/numericalmethods/index.html Numerical Methods with Applications] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200804172824/http://autarkaw.com/books/numericalmethods/index.html |date=4 серпня 2020 }}'', (2008)

[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Типи чотирикутників]]