Перегляд вихідного коду сторінки Топологічна група

{{Теорія груп}}
'''Топологі́чна гру́па''' — [[Група (математика)|група]], яка одночасно є [[топологічний простір|топологічним простором]], при цьому множення елементів групи і обертання елемента є [[Неперервне відображення|неперервними]]. 

== Означення ==
Нехай на [[Множина|множині]] ''G'' задані структури групи і топологічного простору, так, що множення
:<math>G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy</math>
і операція взяття [[обернений елемент|оберненого елементу]] 
:<math>G\to G : x \mapsto x^{-1}</math>
— [[Неперервна функція|неперервні функції]]. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді ''G'' називається '''топологічною групою.'''

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:
:<math>G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy^{-1}</math>

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел <math>\Z</math> ввести топологію у якій відкритими множинами є <math>\varnothing,\; \Z</math> і інтервали виду <math>[n, \infty),</math> то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був [[гаусдорфів простір|гаусдорфовим]].

'''Гомоморфізмом топологічних груп''' називається [[гомоморфізм груп]] ''G'' → ''H'', що є також [[неперервне відображення|неперервним відображенням]] між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють [[Категорія (математика)|категорію]]. 

Аналогічно '''ізоморфізмом топологічних груп''' називають ізоморфізм груп, що є [[гомеоморфізм]]ом між топологічними просторами.

== Приклади ==
* Довільна [[Група (математика)|абстрактна група]] із [[дискретна топологія|дискретною топологією]] або [[антидискретна топологія|антидискретною топологією]].
* Векторна група <math>\R^n</math> — [[Прямий добуток груп|прямий добуток]] ''n'' екземплярів адитивної групи [[Дійсне число|дійсних чисел]] із стандартною топологією 
* Коло — [[факторгрупа]] <math>\R/\Z</math> групи <math>\R</math> по підгрупі цілих чисел <math>\Z</math> 
* Множина раціональних чисел <math>\Q</math> із топологією породженою стандартною [[метричний простір|метрикою]]
* Множина [[P-адичне число|''p''-адичних цілих чисел]] із топологією породженою ''p''-адичною нормою
* [[Група Лі|Групи Лі]] є топологічними групами із додатковою структурою [[Диференційовний многовид|диференційовного многовиду]]
* [[Топологічний векторний простір|Топологічні векторні простори]] є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір <math>\R^n</math> із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

== Властивості ==

* Операція множення на групі задає відображення <math>l_g : x \to gx</math> і <math>r_g : x \to xg.</math> Оскільки вони є [[Композиція функцій|композиціями]] [[Тотожне відображення|тотожного відображення]], константи <math>G \to g</math> і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки <math>l_{g^{-1}}</math> і <math>r_{g^{-1}}</math>є неперервними і оберененими до <math>l_{g}</math> і <math>r_{g}</math> то всі  <math>l_{g}</math> і <math>r_{g}</math> є [[Гомеоморфізм|гомеоморфізмами]].
* З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин <math>A, B \subset G</math> позначити <math>gA := l_g(A), \ Ag := r_g(A), \ AB = \cup_{a \in B} aB</math> то для відкритої (замкнутої) підмножини <math>A,</math> усі підмножини <math>gA</math> і <math>Ag</math> теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин <math>A, B</math> буде відкритою, то <math>AB</math> і <math>BA</math> будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — [[Скінченна множина|скінченною]],  то <math>AB</math> і <math>BA</math> будуть замкнутими підмножинами.
* У [[Абелева група|комутативній]] топологічній групі [[Компактний простір|компактної]] підмножини <math>K</math> і замкнутої множини <math>C</math> також <math>KC</math> буде замкнутою множиною.
* Якщо {{math|𝒩}} є [[База околів|базою околів]] одиничного елемента {{mvar|G}} то для кожного {{math|''g'' ∈ ''G''}},
*: {{math|''x''𝒩 :{{=}} { ''xN'' : ''N'' ∈ 𝒩}}}  є базою околів точки {{mvar|g}}. Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я <math>\mathcal{B}</math> підмножин групи {{mvar|G}}, що містять одиничний елемент задовільняє умови:
*# Для кожних <math>U, V \in \mathcal{B}</math> існує <math>W \in \mathcal{B}</math> для якої <math>W \subseteq U \cap V</math>
*# Для кожної <math>U \in \mathcal{B}</math> існує <math>V \in \mathcal{B}</math> для якої <math>V^{-1}V \subseteq U</math>
*# Для кожної <math>U \in \mathcal{B}</math> і {{math|''g'' ∈ ''U''}} існує <math>V \in \mathcal{B}</math> для якої <math>Vg \subseteq U</math>
*# Для кожної <math>U \in \mathcal{B}</math> і {{math|''g'' ∈ ''G''}} існує <math>V \in \mathcal{B}</math> для якої <math>gVg^{-1} \subseteq U</math>
:то існує єдина топологія на групі для якої <math>\mathcal{B}</math> є базою відкритих околів одиничного елемента.
* Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких <math>V^{-1} = V.</math>
*Топологічні групи є [[Регулярний простір|регулярними просторами]]. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
*# {{mvar|G}} є [[Простір T0|T<sub>0</sub>-простором]];
*# {{mvar|G}} є гаусдорфовим простором;
*# {{mvar|G}} є [[Цілком регулярний простір|цілком регулярним простором]];
*# Множина {{math|{ 1}}} є замкнутою у {{mvar|G}};
*# Для {{mvar|''g'' ∈ ''G''}}  і {{math|''g'' ≠ 1}} існує окіл {{mvar|U}} одиничного елемента у {{mvar|G}} для якого {{mvar|''g'' ∉ ''U''}}.

* '''Теорема Біркгофа — Какутані.''' Топологічна група є [[Метризовний простір|метризовною]] [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]] коли вона є гаусдорфовою і задовольняє [[Перша аксіома зліченності|першу аксіому зліченності]]. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує [[Зліченна множина|зліченна]] база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики <math>d_1, \ d_2</math> такі, що для всіх <math>x,y,g \in G</math> виконуються рівності <math>d_1(x,y) = d_1(gx, gy)</math> і <math>d_2(x,y) = d_2(xg, yg).</math>

==== Підгрупи і факторгрупи ====

* [[Підгрупа]] {{mvar|H}} топологічної групи {{mvar|G}} є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір {{math|''G''/''H''}} суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи {{mvar|G}} на {{math|''G''/''H''}}. Відображення {{math|''q'' : ''G'' → ''G''/''H''}} завжди є [[відкрите відображення|відкритим]]. 

* Якщо {{mvar|H}} є [[Нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] топологічної групи {{mvar|G}}, то [[факторгрупа]] {{math|''G''/''H''}} є топологічною групою щодо фактортопології.
* Компонента зв'язності одиничного елемента групи {{mvar|G}}<sub>0</sub> завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа {{math|''G''/''G''<sub>0</sub>}} є [[Цілком незв'язний простір|цілком незв'язаною]]. 
* Для будь якого елемента ''g'' ∈ ''{{mvar|G}}'' компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд {{mvar|gG}}<sub>0</sub> або еквівалентно {{mvar|G}}<sub>0</sub>{{mvar|g}}, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі {{mvar|G}}<sub>0.</sub>

* Кожна [[відкрита множина|відкрита]] підгрупа {{mvar|H}} є також [[замкнута множина|замкнутою]] у {{mvar|G}}, оскільки [[доповнення множини|доповнення]] {{mvar|H}} є об'єднанням відкритих множин  {{math|''gH''}} для {{math|''g'' ∈ ''G'' \ ''H''}}.  Якщо {{mvar|H}} є підгрупою {{mvar|G}} то і [[замикання (топологія)|замикання]] {{mvar|H}} є підгрупою. Зокрема якщо {{mvar|H}} є нормальною підгрупою, то і замикання {{mvar|H}} є нормальною підгрупою у {{mvar|G}}.

* Факторпростір {{math|''G''/''H''}} є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа {{mvar|H}} є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі {{mvar|G}}. Якщо підгрупа {{mvar|H}} і факторпростір {{math|''G''/''H''}} є гаусдорфовими, то і  група {{mvar|G}} є гаусдорфовою. Факторпростір {{math|''G''/''H''}} завжди є [[регулярний простір|регулярним]].

* Як і кожна [[Група (алгебра)|абстрактна група]] топологічна група {{mvar|G}} задовольняє групові [[теореми про ізоморфізми]]. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп <math>\varphi\colon G\to H</math> є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то [[ізоморфізм груп]] <math>G\!\big/\! {\ker\varphi}</math> і образу гомоморфізма <math>\varphi</math> є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор <math>T = S^1 \times S^1</math> і неперервний гомоморфізм <math>\varphi_\lambda : \R \to T</math> заданий як <math>t \to (e^{2\pi i t},\,e^{2\pi i\lambda t})</math> для [[Ірраціональні числа|ірраціонального числа]] <math>\lambda</math>, то <math>\varphi_\lambda</math> є [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивним]] відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.
:Для третьої теореми про ізоморфізм якщо <math>N</math>, <math>K</math> — нормальні підгрупи в <math>G</math>, такі що <math>K\subseteq N</math>, тоді існує [[ізоморфізм груп]] <math>(G\!\big/\!K)\!\Big/\!(N\!\big/\!K)</math> і <math>G\!\big/\!N</math> і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.
: Для другої теореми про ізоморфізм для <math>S</math> — підгрупи в <math>G</math> і <math>N</math> — нормальної підгрупи в <math>G</math> ізоморфізм факторгруп <math>(SN)/N</math> і <math>S/(S\cap N)</math> може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай <math>G = \R,\! N = \Z</math> і <math>S = \lambda \Z,</math> де <math>\lambda</math> є деяким [[Ірраціональні числа|ірраціональним числом]] і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді <math>S\cap N = \{0\}</math> і тому <math>S/(S\cap N) = S,</math> тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість <math>N+S = \Z + \lambda \Z</math> є [[Щільна множина|щільною підмножиною]] дійсних чисел, а тому <math>(S+N)/N = (\Z + \lambda \Z)\!\big/\! \Z</math> є щільною підмножиною кола <math>S^1 = \R \!\big/\!\Z.</math> Відповідно <math>(S+N)/N</math> не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори <math>S/(S\cap N)</math> і <math>(S+N)/N</math> не є гомеоморфними.

==== Рівномірні структури ====
Топологічна група <math>G</math> є [[Рівномірний простір|рівномірним простором]] якщо прийняти, що підмножина <math> V \subset G \times G</math> є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину <math>\{ (x, y): xy^{-1} \in U\}</math> для деякого [[окіл|околу]] <math>U</math> [[одиничний елемент|одиничного елемента]] групи <math>G</math>. Ця рівномірна структура на <math>G</math> називається ''правою рівномірною структурою'' на <math>G</math>, оскільки для кожного елемента <math>a \in G</math>, праве множення <math>x \to xa</math> є [[рівномірна неперервність|рівномірно неперервним]] щодо цієї рівномірної структури. 

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на <math>G</math>, вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на <math>G</math>.

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття [[рівномірна неперервність|рівномірної неперервності]], [[Фундаментальна послідовність|послідовності Коші]], [[повний простір|повноти]] і поповнення.

==== Гомотопні властивості ====
Якщо <math>\ f_1, f_2 \colon [0,1] \to G</math> є петлями в одиничному елементі (тобто <math>\ f_1(0) = f_2 (0) =  f_1(1) = f_2 (1) =1_G</math>) то для фундаментальної групи <math>\pi_1(G,1_G)</math> множення визначається множенням у самій групі <math>G,</math> тобто <math>\ [f_1][f_2] = [f_1 * f_2] = [f_1f_2],</math> де <math>f_1f_2</math> є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто <math>(f_1f_2)(t) = f_1(t)f_2(t).</math> Аналогічно у фундаментальній групі <math>\ [f_1]^{-1} = [f_1^{-1}].</math>

[[Фундаментальна група]] топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля <math>\ f_1 \colon [0,1] \to G</math> у елементі <math>g \in G</math> є неперервним образом петлі <math>\ g^{-1}f_1 </math> при відображенні <math>l_g</math> і дві петлі <math>\ f_1, f_2 \colon [0,1] \to G</math> у елементі <math>g</math> є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі <math>\ g^{-1}f_1 </math> і <math>\ g^{-1}f_2 </math> то всі фундаментальні групи <math>\pi_1(G,g)</math> є ізоморфними <math>\pi_1(G,1_G)</math> і групу <math>\pi_1(G,1_G)</math> як правило просто позначають <math>\pi_1(G).</math>

== П'ята проблема Гільберта ==
Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла [[п'ята проблема Гільберта]]. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп. 

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також [[Многовид|топологічним многовидом]] [[Група Лі|групою Лі]]? 

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що [[Локально компактний простір|локально компактна]] група <math>G</math> є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у <math>G</math> існує окіл одиниці, який не містить [[Тривіальна група|нетривіальних підгруп]]. 

Було показано також, що [[локально компактна група]] <math>G</math> з компактною факторгрупою {{math|''G''/''G''<sub>0</sub>}} є [[Проєктивна границя|проективною границею]] груп Лі.

==Див. також==
* [[H-простір]]
* [[Група Лі]]
* [[Топологічний векторний простір]]

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г4-8}}
* {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}
* {{Citation | author1-first=Philip J.| author1-last=Higgins | title=An Introduction to Topological Groups | series = London Mathematical Society Lecture Note Series | volume = 15 | isbn=0-521-20527-1| publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1974}}
* {{Citation | author1-first=Deane | author1-last=Montgomery | author2-first=Leo | author2-last=Zippin | title=Topological Transformation Groups | mr=0073104 | publisher=Interscience Publishers | location=New York, London |year=1955}}


[[Категорія:Топологічні групи|*]]