Перегляд вихідного коду сторінки Теорема синусів

{{Тригонометрія}}
'''Теорема синусів'''&nbsp;— наступне [[тригонометрія|тригонометричне]] твердження про властивості [[кут]]ів та сторін довільного [[трикутник]]а: нехай ''a'', ''b'' і ''c'' є сторонами трикутника, а ''A'', ''B'' і ''C''&nbsp;— кути протилежні вказаним сторонам, тоді

: <math>{\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}</math>

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто ''a''/sin(''A'')) дорівнює [[діаметр]]у ''D (або ж 2-ом радіусам)'' описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки ''A'', ''B'' і ''C''). Таким чином теорему можна переписати у розширеній формі

: <math>{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C }=D=2R</math>

'''Наслідком''' теореми синусів є наступне твердження:

* У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.

[[Файл:Law of sines (simple).svg|ліворуч|міні|Розв'язання трикутників]]
Теорему синусів використовують при [[Розв'язування трикутників|розв'язуванні трикутників]]:

# Якщо відомі сторона {{math|''a''}} та два прилеглі кути {{math|''β''}} і {{math|''γ''}} довільного трикутника, то інші дві сторони можемо знайти із співвідношення:

<math>b= a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha } = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \left ( \pi-\beta-\gamma \right ) }
</math>;

<math>c= a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha } = a \cdot \frac{\sin\gamma}{\sin \left ( \pi-\beta-\gamma \right ) }
</math>.

Це є типовою проблемою, що постає при [[Тріангуляція (геометрія)|тріангуляції]].

2. Якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами

Зазначена формула дає два можливих значення для [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішнього кута]]. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

== Доведення ==

<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[Файл:Law of sines proof.png]]</div>
Нехай дано трикутник зі сторонами ''a'', ''b'', і ''c'', з протилежними до них кутами ''A'', ''B'', і ''C''. Опустимо [[Перпендикулярність|перпендикуляр]] довжиною ''h'' з ''C'' на ''c''.

Бачимо, що, [[Тригонометричні функції#Геометричне визначення|за означенням]]:
: <math>\sin A = \frac{h}{b}</math> та <math>\; \sin B = \frac{h}{a}</math>

Звідси:
: <math>h = b\,\sin A = a\,\sin B</math>

також
: <math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}</math>

Повторимо операцію з кутом ''A'' і стороною ''a'', і дістанемо:
: <math>\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>.[[Символ завершення доведення|<span style="color:#000;">∎</span>]]

=== Доведення розширеної форми теореми синусів ===
[[Файл:Sinus-thm.png|right|300px]]
Достатньо довести, що
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.</math>
Проведемо [[діаметр]] <math>|BG|</math> [[Описане коло|описаного кола]].

За властивістю кутів, вписаних у коло, кут <math>GCB</math> прямий, а кут <math>CGB</math> дорівнює або <math>\alpha</math>, якщо точки <math>A</math> і <math>G</math> лежать по один бік від прямої <math>BC</math>, або <math>\pi-\alpha</math> в іншому разі.

Оскільки <math>\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha</math>, в обох випадках маємо
: <math>a=2R\sin\alpha</math>.
Повторивши ці міркування для двох інших сторін трикутника, маємо:
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.</math> [[Символ завершення доведення|<span style="color:#000;">∎</span>]]

{{Hider|
  title = Доведення через формули знаходження площі трикутника |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
[[Файл:Triangle with notations 2.svg|250px|праворуч]]

Візьмемо дві формули для знаходження [[Площа трикутника|площі трикутника]] <math>S = \frac{abc}{4R}</math> і <math>S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma.</math>

<math>\begin{cases} \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\ \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}ac \sin \beta \\ \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}bc \sin \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{c}{2R} = \sin \gamma \\ \frac{b}{2R} = \sin \beta \\ \frac{a}{2R} = \sin \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2R = \frac{c}{\sin \gamma} \\ 2R = \frac{b}{\sin \beta} \\ 2R = \frac{a}{\sin \alpha} \end{cases} \Leftrightarrow 2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.</math> [[Символ завершення доведення|<span style="color:#000;">∎</span>]]
}}

== Варіації та узагальнення ==
* У [[симплекс]]і
: <math>V_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{{V_{n-1}^i}{V_{n-1}^j}}{V_{n-2}^{i,j}}\cdot \sin {A_{i,j}},</math>
де <math> A_{i,j} </math>&nbsp;— кут між гранями <math> V_{n-1}^i </math> і <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_{n-2}^{i,j}</math>&nbsp;— спільна грань <math> V_{n-1}^i </math> і <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_n</math>&nbsp;— об'єм симплекса.

=== Теорема синусів для сферичного трикутника ===
{{Докладніше|Сферична теорема синусів}}
Ця теорема справедлива для [[Сферичний трикутник|трикутників на сфері]], сторонами яких є дуги [[Велике коло|великих кіл]] [[Сфера|сфери]].

Нехай дано [[Сфера|сферу]] одиничного радіуса і трикутник на ній, утворений перетином трьох її великих кіл. Нехай {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}}&nbsp;— довжини дуг, які є сторонами трикутника. Оскільки сфера є одиничною, то {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}} виражають кути з вершиною у центрі сфери між двома її радіусами, стягнуті цими дугами в [[радіан]]ах.

Нехай {{math|''A''}}, {{math|''B''}} і {{math|''C''}}&nbsp;— кути, протилежні цим сторонам, тобто це [[Двогранний кут|двогранні кути]] між площинами трьох великих кіл.

Тоді, для [[Сферичний трикутник|сферичного трикутника]] справедливе твердження:
<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.</math>

[[Файл:Spherical trigonometry vectors.svg|thumb|right|200px]]

==== Доведення через вектори ====
Розглянемо сферу одиничного радіуса з центром О в [[Початок координат|початку координат]]. {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}} та {{math|'''OC'''}}&nbsp;— одиничні вектори, проведені від початку координат до вершин {{math|'''A'''}}, {{math|'''B'''}}, {{math|'''C'''}} трикутника. Отже, кути {{math|''α''}}, {{math|''β''}} і {{math|''γ''}} є кутами {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}} відповідно. Дуга {{math|BC}} утворює кут величиною {{math|''a''}} з вершиною у центрі сфери.
 
Введемо [[Декартова система координат|декартову систему координат]] так, щоб її вісь {{math|''z''}} проходила вздовж вектора {{math|'''OA'''}}. Вектор {{math|'''OB'''}} в площині {{math|''xz''}} утворює кут утворює кут {{math|''c''}} з віссю {{math|''z''}} та проектується на відрізок {{math|OМ}} у площині {{math|''xy''}}. Вектор {{math|'''OC'''}} утворює кут {{math|''b''}} з віссю {{math|''z''}} та проектується на {{math|ON}} у площині {{math|''xy''}}, а кут між {{math|ON}} та віссю {{math|''x''}} дорівнює {{math|''A''}}. Отже, три вектори мають координати:

<math display="block">\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.</math>

[[Мішаний добуток|Змішаний добуток трьох векторів]], {{math|'''OA''' ⋅ ('''OB''' × '''OC''')}}, дорівнює об'єму [[паралелепіпед]]а, побудованого на векторах {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}} та {{math|'''OC'''}}. Цей об'єм є інваріантним до конкретної системи координат, яка використовується для представлення {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}} і {{math|'''OC'''}}.

Значення змішаного добутку трьох векторів {{math|'''OA''' ⋅ ('''OB''' × '''OC''')}} є {{math|3 × 3}}&nbsp;— [[визначник]]ом, рядками якого є координати векторів {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}} і {{math|'''OC'''}}.

З віссю {{math|''z''}} вздовж {{math|'''OA'''}} квадрат цього визначника дорівнює

<math display="block">	\begin{align}
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2
& = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]
& =  \begin{vmatrix} 
0 & 0 & 1 \\ 	 	
\sin c & 0 & \cos c \\ 	
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b 	
\end{vmatrix} ^2
= \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}</math>
 
Якщо повторити це обчислення з віссю {{math|''z''}} вздовж {{math|'''OB'''}}, отримаємо {{math|(sin ''c'' sin ''a'' sin ''B'')<sup>2</sup>}}, а з віссю {{math|''z''}} вздовж {{math|'''OC'''}}&nbsp;— {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''C'')<sup>2</sup>}}.

Прирівнюємо ці вирази та ділимо їх на {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''c'')<sup>2</sup>}}:
<math display="block">
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}
= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}
= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}
= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},
</math>
де {{mvar|V}}&nbsp;— об'єм [[паралелепіпед]]а, побудованого на векторах {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}} та {{math|'''OC'''}}, що відповідають вершинам [[Сферичний трикутник|сферичного трикутника]].

Легко побачити, що для малих сферичних трикутників, коли [[радіус]] [[Сфера|сфери]] значно перевищує довжини сторін [[трикутник]]а, ця формула в граничному значенні переходить в формулу для плоского [[трикутник]]а, оскільки

<math display="block">\lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} = 1</math>
і так само для {{math|sin ''b''}} та {{math|sin ''c''}}.

[[Файл:Sine law spherical small.svg|thumb|378x378px]]

==== Доведення геометричне ====
Розглянемо сферу одиничного радіуса:
<math display="block">OA = OB = OC = 1</math>

Будуємо точку <math>D</math> та точку <math>E</math> так, що <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math>

Будуємо точку <math>A'</math> так, що <math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math>

Тому видно, що <math>\angle ADA' = B</math> та <math>\angle AEA' = C</math>

Точка <math>A'</math> є проекцією точки <math>A</math> на площину <math>OBC</math>. Тому <math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>

Згідно з основною [[Тригонометрія|тригонометрією]], маємо:
<math display="block">\begin{align}
  AD &= \sin c \\
  AE &= \sin b
\end{align}</math>

Але <math>AA' = AD \cdot \sin B = AE \cdot \sin C </math>

Поєднавши ці рівності, отримаємо:
<math display="block">\begin{align}
\sin c \cdot \sin B &= \sin b \cdot \sin C \\
\Rightarrow \frac{\sin B}{\sin b} &=\frac{\sin C}{\sin c}
\end{align}</math>

Проводячи аналогічні обчислення, отримуємо теорему синусів для [[Сферичний трикутник|сферичного трикутника]]:
<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>

Малюнок, використаний в геометричному доказі вище, використовується і також надається в<ref name="banerjee">{{Citation | last = Banerjee | first = Sudipto | date = 2004 | title = Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors | journal = The College Mathematics Journal | volume = 35 | issue = 5 | pages = 375–381 | publisher = Mathematical Association of America| doi = 10.1080/07468342.2004.11922099 | s2cid = 122277398 |postscript=[https://www.researchgate.net/publication/228849546_Revisiting_Spherical_Trigonometry_with_Orthogonal_Projectors Text online]}}</ref> (див. Малюнок 3 у цьому документі) для виведення теореми синусів за допомогою елементарної [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]] та проекційних матриць.

=== Теорема синусів для гіперболічного трикутника ===
У [[гіперболічна геометрія|гіперболічній геометрії]] з кривиною −1, теорема синусів для [[Гіперболічний трикутник|гіперболічного трикутника]] має вигляд:

<math display="block">\frac{\sin A}{\mathrm{sh}\,a} = \frac{\sin B}{\mathrm{sh}\,b} = \frac{\sin C}{\mathrm{sh}\,c},</math>

В окремому випадку, коли кут {{math|''B''}} прямий, отримаємо:
<math display="block">\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>

що є аналогом формули в [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]], яка виражає [[синус]] кута як частку від ділення протилежної сторони [[Прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] на його гіпотенузу.

=== Теорема синусів для поверхонь постійної кривини ===

Визначимо узагальнену функцію синусів, що залежить також від дійсного параметра {{math|''K''}}:
<math display="block">\sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.</math>

Теорема синусів при постійній [[Кривина (математика)|кривині]] {{math|''K''}} має вигляд<ref name=mathworld>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html|website=mathworld|title=Generalized law of sines}}</ref>
<math display="block">\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.</math>

Підставивши {{math|1=''K'' = 0}}, {{math|1=''K'' = 1}}, або {{math|1=''K'' = −1}}, Отримаємо відповідно евклідовий, сферичний та гіперболічний випадки теореми синусів, описані вище.

Нехай {{math|''p''<sub>''K''</sub>(''r'')}} позначає довжину кола радіуса {{math|''r''}} у просторі постійної кривини {{math|''K''}}.

Тоді {{math|1=''p''<sub>''K''</sub>(''r'') = 2''π''  sin<sub>''K''</sub> ''r''}}.

Тому теорему синусів також можна записати у вигляді:
<math display="block">\frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.</math>

Це формулювання було знайдене [[Янош Бояї|Яношом Бояї]].<ref>{{cite book|last=Katok|first=Svetlana| title=Fuchsian groups|url=https://archive.org/details/fuchsiangroups00kato|url-access=limited|year=1992|publisher=University of Chicago Press|location=Chicago|isbn=0-226-42583-5|page=[https://archive.org/details/fuchsiangroups00kato/page/n31 22]}}</ref>

=== У вищих розмірностях ===

* у [[Тривимірний простір|тривімірному просторі]] [[Чотиригранник|тетраедр]] має чотири трикутних граней. [[Модуль (математика)|Абсолютне значення]] {{Не перекладено|Полярний синус|полярних синусів|en|Polar sine}} (psin) [[Нормаль (геометрія)|нормальних векторів]] до трьох граней, що мають спільну вершину тетраедра, поділене на [[Площа|площу]] четвертої грані, не залежить від вибору вершини:
<math display="block">\begin{align}
& \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{S}_a} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{S}_b} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{S}_c} =
  \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})\right|}{\mathrm{S}_d} \\[4pt]
= {} & \frac{(3\operatorname{V}_\text{тетр.})^2}{2!~\mathrm{S}_a \cdot \mathrm{S}_b \cdot \mathrm{S}_c \cdot \mathrm{S}_d}\,.
\end{align}</math>

* Для {{math|''n''}}&nbsp;— вимірного [[симплекс]]а (тобто, [[трикутник]]а ({{math|1=''n'' = 2}}), [[Чотиригранник|тетраедра]] ({{math|1=''n'' = 3}}), [[п'ятикомірник]]а ({{math|1=''n'' = 4}}), тощо) в {{math|''n''}}&nbsp;— вимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]], [[Модуль (математика)|абсолютна величина]] {{Не перекладено|Полярний синус|полярних синусів|en|Polar sine}} [[Нормаль (геометрія)|нормальних векторів]] до [[Фасета (геометрія)|фасетів]], що мають спільну вершину, поділена на [[Гіпероб'єм|гіперплощу]] грані, протилежної до цієї вершини, не залежить від вибору вершини.

Позначимо {{math|''V''}}&nbsp;— [[гіпероб'єм]] {{math|''n''}}-вимірного симплекса і {{math|''P''}}&nbsp;— добуток [[Гіпероб'єм|гіперплощ]] його {{math|(''n'' - 1)}}-вимірних граней. Тоді загальне співвідношення має вигляд

<math display="block">\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \ldots, \mathbf{z})\right|}{\mathrm{S}_a} = \cdots = \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \ldots, \mathbf{y})\right|}{\mathrm{S}_z} = \frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.</math>

== Історія ==
У першій главі [[Альмагест]]а (бл. 140 року н.&nbsp;е.) теорему синусів використано, але явно не сформульовано<ref>{{книга-ру|автор=Florian Cajori|часть=|заглавие=A History of Mathematics|оригинал= |ссылка=|издание=5th edition|ответственный=|место=|издательство=|год=1991|том=|страницы=47|страниц=|isbn=|язык=en}}</ref>.

Найдавніше з доведень, що дійшли до нас, теореми синусів на площині описано в книзі [[Насир ад-Дін ат-Тусі|Насир ад-Діна ат-Тусі]] «Трактат про повний чотирибічник» написаній у XIII столітті<ref>{{книга-ру |заглавие=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook |часть=Mathematics in Medieval Islam |издательство=[[Princeton University Press]] |год=2007 |isbn=9780691114859 |страницы=518 |ref=Berggren |язык=en |автор=Berggren, J. Lennart}}</ref>.

[[Теорема синусів (сферична геометрія)|Теорему синусів для сферичного трикутника]] довели математики середньовічного Сходу ще в X столітті<ref name="Sesiano">Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137.&nbsp;— Page 157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1402002602}}</ref>. У праці {{нп|Ібн Муаз аль-Джайяні|аль-Джайяні|ru|Ибн Муаз аль-Джайяни}} [[XI століття]] «Книга про невідомі дуги сфери» наводилось загальне доведення теореми синусів на сфері<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html |title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani |accessdate=29 грудня 2021 |archive-date=29 травня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160529134432/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html }}</ref>.

== Див. також ==
* [[Тріангуляція (геометрія)|Тріангуляція]]
* [[Теорема косинусів]]
* [[Теорема тангенсів]]
* [[Теорема котангенсів]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53409/20547.html Синусів теорема]}}
* [https://www.mathros.net.ua/teorema-synusiv.html Теорема синусів: формулювання та доведення]
* {{MathWorld|urlname=LawofSines|title=Law of Sines}}
{{Бібліоінформація}}
{{Трикутник}}
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії]]
[[Категорія:Тригонометрія]]
[[Категорія:Геометрія трикутника]]
[[Категорія:Кути]]