Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про метелика

[[Файл:Butterfly_theorem.svg|міні|{{Center|Теорема про метелика}}]]
'''Теорема про метелика'''&nbsp;— це класична теорема [[Евклідова геометрія|геометрії Евкліда]], яку можна сформулювати так<ref name="Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929).</ref>{{Rp|p. 78}}:

Нехай {{Math|''M''}}&nbsp;— [[Середня точка|середина]] [[Хорда (геометрія)|хорди]] {{Math|''PQ''}} [[Коло|кола]], через яку проведено дві інші хорди {{Math|''AB''}} і {{Math|''CD''}}; хорди {{Math|''AD''}} і {{Math|''BC''}} перетинають хорду {{Math|''PQ''}} у точках {{Math|''X''}} і {{Math|''Y''}} відповідно. Тоді {{Math|''M''}}&nbsp;— середина відрізка {{Math|''XY''}}.

== Доведення ==
[[Файл:Butterfly1.svg|міні|{{Center|Доведення теореми про метелика}}]]
Формальне доведення теореми таке:<br/>
Нехай з точки {{Math|''X''}} опущено [[Перпендикулярність|перпендикуляри]] {{Math|''XX′''}} і {{Math|''XX″''}} на прямі {{Math|''AM''}} і {{Math|''DM''}} відповідно. Аналогічно, нехай з точки {{Math|''Y''}} опущено перпендикуляри {{Math|''YY′''}} і {{Math|''YY″''}} на прямі {{Math|''BM''}} і {{Math|''CM''}} відповідно.

Оскільки має місце [[подібність трикутників]]
: <math> \triangle MXX' \sim \triangle MYY'</math> за трьома кутами, 
то
: <math> {MX \over MY} = {XX' \over YY'}. </math>
Аналогічно, будуть подібні трикутники
: <math> \triangle MXX'' \sim \triangle MYY'',</math>
тому виконується
: <math> {MX \over MY} = {XX'' \over YY''}. </math>
Також, будуть подібні трикутники
: <math> \triangle AXX' \sim \triangle CYY'',</math>
звідки
: <math> {XX' \over YY''} = {AX \over CY}. </math>
І, насамкінець, з подібності 
: <math> \triangle DXX'' \sim \triangle BYY',</math>
тому
: <math> {XX'' \over YY'} = {DX \over BY}. </math>
З попередніх рівнянь і [[теорема про перетин хорд|теореми про відрізки хорд]], що перетинаються, видно, що
: <math> \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''}= </math>
: <math> {} = {AX \cdot DX \over CY \cdot BY}= </math>
: <math> {} = {PX \cdot QX \over PY \cdot QY}= </math>
: <math> {} = {(PM-XM) \cdot (MQ+XM) \over (PM+MY) \cdot (QM-MY)}= </math>
: <math> {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}, </math>
оскільки {{Math|''PM'' {{=}} ''MQ''}}.<br/>
Тому
: <math> { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. </math>
Використавши основну властивість пропорції, маємо, що<br/>
: <math> {(MX)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} . </math>
Звівши подібні доданки<br/>
: <math> {(MX)^2 \cdot (MY)^2} </math><br/>
з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо
: <math> {(MX)^2 \cdot (PM)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2}.</math>
Отже, {{Math|''MX'' {{=}} ''MY''}}, оскільки довжини MX, MY та PM&nbsp;— це додатні дійсні числа.<br/>
Таким чином, {{Math|''M''}}&nbsp;— середина {{Math|''XY''}} .

Існують інші доведення<ref>Martin Celli, «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings», ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 337—338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180424054000/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf |date=24 квітня 2018 }}</ref>, зокрема той, що використовує методи проективної геометрії<ref>[http://www.imomath.com/index.php?options=628&lmm=0] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170706154445/http://imomath.com/index.php?options=628&lmm=0 |date=6 липня 2017 }}, problem 8.</ref>.

== Історія ==
Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі {{Нп|Вільям Воллес (математик)|Вільямом Воллесом||William Wallace (mathematician)}} у ''«The Gentlemen's Mathematical Companion»'' (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році [[Фрідріх Вільям Гершель|сер Вільям Гершель]] знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в ''Gentlemen's Diary or Mathematical Repository''<ref>[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/WallaceButterfly.shtml William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180825044433/https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/WallaceButterfly.shtml |date=25 серпня 2018 }}, [[cut-the-knot]], retrieved 2015-05-07.</ref>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
{{commonscat|Butterfly theorem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml Теорема про метелика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200810003318/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml |date=10 серпня 2020 }}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml Краща теорема про метелика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200611045942/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml |date=11 червня 2020 }}
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3613 Доведення теореми про метелика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20020825060438/http://planetmath.org/?op=getobj |date=25 серпня 2002 }} на [[PlanetMath]]
* [http://demonstrations.wolfram.com/TheButterflyTheorem/ Теорема про метелика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191223045439/https://demonstrations.wolfram.com/TheButterflyTheorem/ |date=23 грудня 2019 }} Джея Варендорфа
* {{MathWorld |title=Теорема про метелика|urlname=ButterflyTheorem}}

[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії]]