Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Ріса

'''Теорема Ріса''' (також теорема Ріса-Фреше) у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] стверджує, що кожен лінійний обмежений [[функціонал]] у [[гільбертів простір|гільбертовому просторі]] може бути представлений через [[скалярний добуток]] за допомогою деякого елементу.

== Твердження ==
Нехай маємо:
* Гільбертів простір ''H''
* Лінійний обмежений функціонал <math>f \in H'</math> у просторі <math>H</math>
Тоді існує єдиний елемент <math>y</math> простору <math>H</math> такий, що для довільного <math>x \in H</math> виконується <math>f(x)=\langle y,x\rangle</math>.

Також виконується рівність
:<math>\|y\|=\|f\|</math>

== Доведення ==
<math>\ker(f)</math> ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором <math>H</math>.

=== Існування <math>y</math> ===

Якщо <math>f\equiv 0</math>, достатньо взяти <math>y=0</math>.

Якщо ж <math>f\ne 0</math>, тоді <math>\ker(f)\ne H</math> .
Відповідно можна знайти елемент <math>b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\}</math>,
:<math>\forall x \in H</math>, позначимо <math>p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b</math>.

Оскільки очевидно <math>p_x \in \ker(f)</math> маємо за означенням ''b'', що <math>\langle b,p_x\rangle = 0</math>.
З лінійності скалярного добутку отримуємо:
:<math>\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2</math>

Звідси <math>f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}</math>.

Нарешті
:<math>f(x) = \langle y, x \rangle </math>
де позначено <math>y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b</math>.

=== Єдиність <math>y</math> ===

Припустимо <math>y</math> і <math>z</math> елементи <math>H</math> Що задовольняють <math>f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle</math>.

Для всіх <math>x \in H</math> справджується <math>\langle y-z, x \rangle = 0</math> зокрема <math>\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0</math> звідки й отримується рівність <math>y = z</math>.

=== Рівність норм ===
Для доведення <math>\|y\|=\|f\|</math> спершу з [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]] маємо: <math>f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|</math>. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: <math>\|f\|\leq\|y\|.</math> З іншого боку <math>f(y) = \langle y, y \rangle \leq \|y\|\|f\|</math> звідки <math>\|y\|\leq\|f\|</math>. Поєднуючи дві нерівності одержуємо <math>\|y\|=\|f\|</math>

== Див. також ==
* [[Теорема Лакса-Мільграма]]

== Джерела ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

{{Функційний аналіз}}

[[Категорія:Теореми функціонального аналізу]]
[[Категорія:Теорії двоїстості]]
[[Категорія:1907 у науці]]