Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Наполеона

[[Файл:Теорема Наполеона.png|міні|354x354px|Зовнішній трикутник Наполеона]]
[[Файл:Теорема Наполеона 2.png|міні|347x347px|Внутрішній трикутник Наполеона]]'''Теорема [[Наполеон]]а'''&nbsp;— теорема в геометрії трикутника, яка стверджує, що:

{{Теорема|Якщо на кожній стороні довільного [[трикутник]]а побудувати [[рівносторонній трикутник]] (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.}}

Правильний трикутник, отриманий таким чином, називається ''трикутником Наполеона'' (зовнішнім чи внутрішнім).

Різниця площ внутрішнього та зовнішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Теорему часто приписують [[Наполеон|Наполеону Бонапа́рту]] (1769—1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда ''{{iw|The Ladies' Diary|The Ladies' Diary|en|The Ladies' Diary}}'' (1825) через чотири роки після смерті імператора.{{Sfn|Weisstein, Eric W.|Napoleon's Theorem, на сайті Wolfram}}{{Sfn|Grünbaum Branko|2012}}

== Доведення ==
[[Файл:Теорема Наполеона доведення.png|міні|306x306px|Теорема Наполеона доведення|ліворуч]]
Так як на сторонах трикутника △ABC побудовані рівносторонні трикутники, то їх внутрішні кути дорівнюють 60°, а

<math>\frac{|KB|}{|AB|} = \frac{|BM |}{|BC|} = \frac{|AL|}{|AC |} = \frac{\sqrt{3}}{3}.</math>

Отже, <math>\sphericalangle KBM = \sphericalangle ABY.</math>

Оскільки <math>\frac{|KB|}{|AB|} = \frac{|BM |}{|BC|},</math>

то <math>\triangle BKM</math> та <math>\triangle BAY</math> є подібними. З подібності трикутників, маємо:

: <math>|KM| = |AY| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}</math>



Аналогічно показуємо, що <math>\triangle CLM</math> та <math>\triangle CAY</math> також подібні, і <math>|LM| = |AY| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}</math>

Отже, <math>|KM|=|LM|.</math> Аналогічно доводиться, що <math>|LM|=|LK|,</math> значить <math>\triangle KLM</math> рівносторонній.

Існує багато інших способів доведення цієї теореми, в тому числі [[Синтетична геометрія|синтетичний метод (безкоординатний)]]{{Sfn|Coxeter and Greitzer|1967|с=60-63}}, [[Тригонометрія|тригонометричний]]<ref name="MathPages270">{{Cite web|title=Napoleon's Theorem|url=https://www.mathpages.com/home/kmath270/kmath270.htm|website=www.mathpages.com|accessdate=2023-07-17}}</ref>, способи з використанням [[Обертова симетрія|симетрії]]<ref>{{Cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon.shtml#second|title=Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs|last={{iw|Alexander_Bogomolny|Alexander Bogomolny|en|Alexander_Bogomolny}}|publisher=[[Cut-the-knot]]
|language=англ.}}
</ref> та [[Комплексне число|комплексних чисел]]<ref name="MathPages270"/>.

== Трикутники Наполеона ==
Нехай ''a'', ''b'', та ''c'' сторони початкового трикутника, а S&nbsp;— його площа. Тоді:

Площа внутрішнього трикутника Наполеона:<ref>{{Cite web|title=Inner Napoleon Triangle|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein}}</ref>
: <math>\text{Sвнутр}=\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2)-\frac{S}{2 } \ge 0,</math>

Рівність досягається лише у випадку, коли початковий трикутник правильний.

Площа зовнішнього трикутника Наполеона<ref>{{Cite web|title=Outer Napoleon Triangle|url=https://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein}}</ref>

<math>\text{Sзовн}=\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2)+\frac{S}{2 },</math>

Аналітично можна показати<ref name="MathPages270"/>, що кожна з трьох сторін зовнішнього трикутника Наполеона має довжину
: <math>\text{Aзовн}=\sqrt{{a^2+b^2+c^2  \over  6} + {\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}  \over  {2\sqrt{3}}}}.</math>
З цих рівностей видно, що різниця площ зовнішнього та внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

== Узагальнення ==
=== Для трикутників ===
[[Файл:Узагальнена теорема Наполеона1.png|міні]]

* Рівносторонні трикутники утворюються не лише центрами правильних трикутників, побудованих зовнішнім чином на сторонах довільного трикутника. Також рівносторонні трикутники утворюються будь-якими відповідними точками цих трикутників.{{Sfn|Wells, D.|1991|с=57}}




[[Файл:Узагальнена теорема Наполеона.png|міні|325x325пкс|Узагальнення на випадок подібних трикутників]]
* Теорема Наполеона має гарне узагальнення на випадок [[Подібність трикутників|подібних трикутників]] побудованих зовнішнім чином{{Sfn|Wells, D.|1991|с=157}}:
{{Теорема|Якщо [[Подібність трикутників|подібні трикутники]] будь-якої форми побудовані на сторонах [[Трикутник|трикутника]] зовнішнім чином так, що кожен повернутий відносно попереднього (тобто трикутники в цілому мають майже однакову оріентацію), і будь-які три відповідні точки цих трикутників з'єднані, то підсумковий трикутник буде подібний до цих зовнішніх трикутників.}}

=== Для чотирикутників ===
Аналогом теореми Наполеона для паралелограма є перша [[теорема Тебо]], яка узагальнюється до [[Теорема ван Обеля про чотирикутник|теореми ван Обеля]] для довільного [[чотирикутник]]а, яка в свою чергу є частинним випадком {{Не перекладено|Теорема Петра-Дугласа-Неймана|теореми Петра-Дугласа-Неймана|en|Petr–Douglas–Neumann theorem}}<ref name=":0" />.

=== Для багатокутників ===
Теорема Наполеона може бути узагальнена на випадок багатокутників.

==== Теорема Наполеона-Барлотті{{Sfn|A. Barlotti|1952|p=182-185}}: ====
Центри правильних n-кутників, побудованих над сторонами n-кутника P, утворюють правильний n-кутник [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли P є [[Афінне перетворення|афінним]] образом [[Правильний многокутник|правильного n-кутника]].

'''''Афінно-правильний n-кутник'''''&nbsp;— це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони та діагоналі, ніби він був би правильним.

Наприклад, для [[чотирикутник]]а&nbsp;— це [[паралелограм]], а для [[п'ятикутник]]а&nbsp;— такий п'ятикутник, у якому кожна [[діагональ]] паралельна відповідній (протилежній) стороні.
<gallery widths="200" heights="200" showfilename="yes">
Файл:Napoleon barlotti.svg|Приклад п'ятикутника
Файл:Napoleon barlotti2.svg|Приклад семикутника
Файл:Napoleon barlotti3.svg|Приклад одинадцятикутника
</gallery>
[[Файл:PDN Theorem For Pentagonfr.png|міні|324x324px|Теорему Петра–Дугласа–Неймана у застосуванні до п'ятикутника. П'ятикутник ''A''<sub>0</sub> дорівнює ''ABCDE''. ''A''<sub>1</sub> (= ''FGHIJ'') будується з кутом при вершині 72°, ''A''<sub>2</sub> (= ''KLMNO'') з кутом при вершині 144° і ''A''<sub>3</sub> (= ''PQRST'') з кутом при вершині 216°.]]

==== Теорема Петра -Дугласа-Неймана ====
{{Не перекладено|Теорема Петра-Дугласа-Неймана|Теорема Петра-Дугласа-Неймана|en|Petr–Douglas–Neumann theorem}}<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/Petr-Neumann-DouglasTheorem.html|title=Petr-Neumann-Douglas Theorem|last=Weisstein, Eric W.|website=MathWorld|language=англ.}}</ref> стверджує, що:

Якщо на бічних сторонах довільного [[Многокутник|<big>n</big>-кутника]] <math>A_0</math> побудувати [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]] з кутами при вершинах <math>\frac{2k\pi}{n}</math>, і цей процес повторити з n-кутником, утвореним вільними вершинами трикутників, але з іншим значенням ''<big>k</big>'', і так далі, поки не будуть використані всі значення <math>1\leq k\leq n-2</math> (у довільному порядку), тоді формується правильний n-кутник <big>A<sub>''n-''2</sub></big>, [[центроїд]] якого збігається з центроїдом <math>A_0</math>.
[[Файл:Equilateral in hexagon 1.svg|ліворуч|міні|371x371пкс|Ще одна варіація Теореми Наполеона]]

{{-}}

== Див. також ==
* {{li|Задача Наполеона||Q2670506}}
* [[Теорема Тебо]]
* [[Точки Наполеона]]

== Примітки ==
<references responsive="" />

== Джерела ==
* {{Стаття
|автор = Grünbaum Branko
|ref = Grünbaum Branko
|заголовок = "Is Napoleon's Theorem ''Really'' Napoleon's Theorem?"
|рік = 2012
|журнал=American Mathematical Monthly 
|мова=англ.
| doi=10.4169/119.06.495 | zbl=1264.01010|видання посилання=https://www.tandfonline.com/toc/uamm20/119/6|випуск=6|номер=119|сторінки=495–501|url=https://www.tandfonline.com/toc/uamm20/119/6}}
* {{Стаття
| автор = H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer
| ref = Coxeter and Greitzer
| рік = 1967
| мова = англ.
| назва = Geometry Revisited
| том= 19
| видавництво= Mathematical Association of America
| сторінки= 193
| url= https://www.math.unipd.it/~legovini/Coxeter_Greitzer_Geometry_revisited.pdf}}
* {{Стаття
|автор = Wells, D.
|ref = Wells, D.
|назва = "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry"
|рік = 1991
|мова = англ.
|сторінки = 156-158
|isbn = 0-14-011813-6
|видавництво = London: Penguin
|url = https://ia801205.us.archive.org/16/items/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/The%20Penguin%20Dictionary%20of%20Curious%20and%20Interesting%20Geometry.pdf
}}
* {{Стаття
|автор = A. Barlotti
|ref = A. Barlotti
|назва = "Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo"
|рік = 1952
|мова = англ.
|сторінки = 182–185
|номер=3|випуск=7|журнал=Boll. Un. Mat. Ital.}}
* {{cite journal | last=Wetzel | first=John E. | title=Converses of Napoleon's Theorem | journal=The American Mathematical Monthly | date=April 1992 | volume=99 | issue=4 | pages=339–351 
| url=
http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/disk5/js/geometry/napoleon/9.pdf | doi=10.2307/2324901 | zbl=1264.01010 | url-status=dead | archiveurl=https://web.archive.org/web/20140429191842/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/disk5/js/geometry/napoleon/9.pdf | archivedate=2014-04-29 }}

== Посилання ==
* {{MathWorld|Napoleon'sTheorem|Теорема Наполеона}}
* {{iw|Alexander_Bogomolny|Alexander Bogomolny|en|Alexander_Bogomolny}}, [http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon.shtml#second Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs], cut-the-knot.org (англ.)
* [http://www.mathpages.com/home/kmath270/kmath270.htm Теорема Наполеона] на MathPages
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml Теорема та узагальнення]
* [http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=xml_triangle_napoleon2.xml Побудова]
* [http://demonstrations.wolfram.com/NapoleonsTheorem/ Теорема Наполеона] by Jay Warendorff, {{li|The Wolfram Demonstrations Project||Q2632017}}.

[[Категорія:Геометрія трикутника]]
[[Категорія:Теореми планіметрії]]