Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

{{не плутати|Теорема Ляйбніца (геометрія)|теоремою Ляйбніца в геометрії}}
{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Теорема Лейбніца''' (''ознака Лейбніца'', ''правило Лейбніца'' або ''критерій Лейбніца'') &nbsp;— теорема у [[математичний аналіз|математичному аналізі]] доведена [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрідом Лейбніцем]], що дає достатні умови збіжності [[знакопереміжний ряд|знакопереміжнного ряду]] зі спадаючими членами за абсолютним значенням.

== Твердження ==
Якщо послідовність <math>\{|a_{n}|\}</math> спадає
[[Монотонна функція|монотонно]]{{ref|monotonic}} і <math>\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0</math>, тобто:
# <math>0<a_{n+1}<a_{n};</math>
# <math>\lim _{n\to \infty}a_{n}=0,</math>
то знакопереміжний ряд є збіжним.

== Доведення ==
Нехай задано ряд вигляду <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n</math>, де
<math>\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0</math> і <math>a_n\geq a_{n+1}</math> для усіх <math>n\in
\mathbb{N}</math>. (Випадок <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n</math> випливає з цього
доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)<ref>Доведення базується на роботі James Stewart (2012) “Calculus: Early Transcendentals, Seventh Edition” pp. 727–730. {{ISBN|0-538-49790-4}}</ref>

== Доведення збіжності ==
Доведемо, що обидві часткові суми <math>S_{2m+1}=\sum\limits_{n=1}^{2m+1} (-1)^{n-1} a_n</math>
з непарною кількістю елементів та <math>S_{2m}=\sum\limits_{n=1}^{2m} (-1)^{n-1} a_n</math>
з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення <math>L</math>.
Тоді звичайна часткова сума <math>S_{k}=\sum\limits_{n=1}^{k} (-1)^{n-1} a_n</math> також
збігається до <math>L</math>.

Непарні часткові суми спадають монотонно
:<math>S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3} \leq S_{2m+1},</math>
у той час як парні часткові суми зростають монотонно
:<math>S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2} \geq S_{2m}.</math>
Обидва випадки виконуються тому, що значення <math>a_n</math> зменшується монотонно із збільшенням <math>n</math>.

Запишемо часткову суму парного порядку так:
:<math>S_{2m}=\sum\limits_{n=1}^{2m} (-1)^{n-1} a_n= (a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\dots+(a_{2n-1}-a_{2n}).</math>
Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність <math>S_{2m}</math> є зростаючою.
З іншого боку можна записати:
:<math>S_{2m}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n},</math>
тобто <math>S_{2m}<a_{1}</math>.

Запишемо часткову суму парного порядку так:
: <math>S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} a_n = \left(a_1 - a_2\right) + \left(a_3 - a_4\right)+\ldots + \left(a_{2N-1} - a_{2N}\right),</math>
Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність <math>S_{2N}</math> є зростаючою. З іншого боку можна записати:
: <math>S_{2N}= a_1-\left(a_2 - a_3\right) - \left(a_4 - a_5\right)-\ldots - \left(a_{2N-2} - a_{2N-1}\right)-a_{2N},</math> 
тобто <math>S_{2N} < a_1</math>.

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною.
Для непарних часткових сум маємо: <math>S_{2m+1}=S_{mn}-a_{2n}</math> і оскільки <math>a_{2n}</math> збігається до нуля, границя <math>S_{2m+1}</math> існує і рівна границі <math>S_{2m}</math>. Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки <math>a_n</math> — додатні, то <math>S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2n+1}\geq 0</math>.
Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей
:<math>a_1-a_2=S_2\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_1=a_1.</math>
Зауважимо, що число <math>a_1-a_2</math> є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності <math>S_{2m+1}</math>.
Тоді з [[Теорема Леві про монотонну збіжність|теореми Леві про монотонну збіжність]] випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні <math>m</math> до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки
:<math>\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.</math>
Позначимо границю як <math>L</math>, тоді [[Теорема Леві про монотонну збіжність|теорема про монотонну збіжність]] додатково дає нам, що
:<math>S_{2m} \leq L \leq S_{2m+1}</math>
для будь-якого <math>m</math>.
Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються'' вище і нижче фінальної границі.
Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

== Доведення для оцінки залишку часткових сум ==
Покажемо, що <math>| S_k - L| \leq a_{k+1}</math>, розглянувши два випадки.

Якщо <math>k = 2m+1</math>, тобто непарне, то
:<math>|S_{2m+1} - L| = S_{2m+1} - L \leq S_{2m+1} - S_{2m+2} = a_{(2m+1)+1}.</math>
Якщо <math>k=2m</math>, тобто парне, то
:<math>|S_{2m} - L| = L - S_{2m} \leq S_{2m+1} - S_{2m} = a_{2m+1}.</math>

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують [[Ознака збіжності Коші|ознаку збіжності Коші]],  дивись [[Знакопереміжний ряд|знакопереміжний ряд]].

Для узагальнення дивися [[Ознака Діріхле|ознаку Діріхле]].

== Наслідок ==
З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:
:<math>S_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}.</math>
Залишок ряду <math>R_{n}=S-S_{n}</math> за модулем буде менше першого відкинутого доданку:
:<math>\left|R_{n}\right|<\left|a_{n+1}\right|.</math>

== Контрприклад ==
Усі умови ознаки, а саме збіжність до <math>0</math> і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд
:<math>\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots.</math>
Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку.
Насправді ряд є розбіжним.
Дійсно, для часткових сум <math>S_{2n}</math> маємо <math>S_{2n}=\frac {2}{1}+\frac {2}{2}+\frac {2}{3}+\cdots +\frac {2}{n-1}</math>, що є подвоєною частковою сумою [[Гармонічний ряд|гармонічного ряду]], який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

== Див. також ==
* [[Знакопереміжний ряд|Знакопереміжний ряд]]
* [[Ознака Діріхле|Ознака Діріхле]]

== Примітки ==
:{{note|monotonic}}На практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що <math>a_{n}\geq a_{n+1}</math> для усіх <math>n</math>, починаючи з деякого номера.<ref>{{cite web |last1=Dawkins |first1=Paul |title=Calculus II - Alternating Series Test |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/AlternatingSeries.aspx |website=Paul's Online Math Notes |publisher=Lamar University |access-date=1 листопада 2019}}</ref>

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* Konrad Knopp (1956) ''Infinite Sequences and Series'', § 3.4, Dover Publications {{ISBN|0-486-60153-6}}
* Konrad Knopp (1990) ''Theory and Application of Infinite Series'', § 15, Dover Publications {{ISBN|0-486-66165-2}}
* E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) ''A Course in Modern Analysis'', 4th edition, §2.3, Cambridge University Press {{ISBN|0-521-58807-3}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Ознака Лейбніца|сторінки=513}}
* {{MathWorld | title=Leibniz Criterion | urlname=LeibnizCriterion}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{math-stub}}
{{Ознаки збіжності рядів}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів]]
[[Категорія:Готфрід Вільгельм Лейбніц]]