Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Лебега про мажоровану збіжність

'''Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність''' — теорема у [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]], [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі [[інтеграл Лебега|інтегралів Лебега]] від [[поточкова збіжність|збіжної послідовності функцій]] і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для [[інтеграл Рімана|інтеграла Рімана]] і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

== Формулювання ==

Нехай <math>(f_{n})_{n \in \N}</math> — [[вимірна функція|вимірні функції]] на [[простір з мірою|просторі з мірою]] <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math>, що приймають значення в <math>\R</math> чи <math>\Complex</math> і задовольняють умови :

* Послідовність функцій <math>(f_{n})_{n \in \N}</math> [[Збіжність за мірою|збігається за мірою]] до функції <math>f \;</math> на всій множині <math>X</math>.

* Існує функція <math>g \in L^1,</math>  така що : 
<center><math>\forall n \in \N, \forall x \in X, |f_{n}(x)|\leqslant g(x)</math></center>

Тоді  <math>f \in L^1</math> і 

<center><math>\lim_{n \to \infty} \int_X |f_n-f|d\mu= 0</math></center>
при чому виконується :
<center> <math>\lim_{n \to \infty}\, \int_{X}{\, f_{n}d\mu}= \int_{X}{\, \lim_{n \to \infty}\, f_{n}d\mu} =  \int_{X}{\, f}d\mu</math></center>

== Доведення ==
Доведемо, що <math> f \in L^1</math> :

оскільки <math>f\;</math> є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх <math>n\;</math> виконується <math>|f_{n}(x)|\leqslant g(x)</math>, то здійснивши граничний перехід одержуємо, <math>|f(x)|\leqslant g(x),  \forall x \in X</math> звідки <math>f \in L^1</math>.


Використавши <math>2g - |f_{n} - f| \geqslant 0</math> і застосувавши [[лема Фату|лему Фату]],

<center>
<math>
\begin{align}
\int_{X}2g  \ d\mu &\leqslant \liminf \int_{X} (2g - |f_{n} - f|) \ d\mu\\
 \ & = \int_{X} 2g  \ d\mu + \liminf \int_{X} - |f_{n} - f| \ d\mu\\
 \ & = \int_{X} 2g \ d\mu - \limsup \int_{X} |f_{n} - f|  \ d\mu\\
\end{align}
</math>
</center>
Оскільки <math>\int g \ d\mu < \infty \;</math>  то, <math> \limsup \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu \leqslant 0 </math>

звідки

<center> <math>\lim  \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu = 0 </math></center>

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

<center>
<math>
\begin{align}
\ & \left|\int_{X}(f_{n}-f)\  d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f| \ d\mu\\
\Rightarrow &  \left|\int_{X} f_{n}\  d\mu - \int_{X} f \ d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\
\Rightarrow & \int_{X} f_{n} \ d\mu  \rightarrow \int_{X} f \ d\mu 
\end{align}
</math>
</center>


== Зауваження ==
*Умова мажорованості послідовності <math>\{f_n\}</math> інтегрованою функцією <math>g</math> не може бути опущена, як показує наступний [[контрприклад]]. Нехай <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)</math>, де <math>\mathcal{B}</math> - [[Борелівська сигма-алгебра|борелівська <math>\sigma</math>-алгебра]] на <math>[0,\;1]</math>, а <math>m</math> - [[міра Лебега]] на тому ж просторі. Визначимо
: <math>f_n(x)=\begin{cases}
n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt]
0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}</math>
:Тоді послідовність <math>\{f_n\}</math> не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
: <math>\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).</math>
*В твердженні теореми достатньо вимагати [[Збіжність майже всюди|збіжності майже всюди]] і виконання нерівностей <math>|f_n(x)|\leqslant g(x)</math> майже всюди.
:Справді якщо позначити <math>N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x), \quad n \in \N \} </math> і <math>N_{0}</math> — множина на якій послідовність <math>f_{k}</math> не збігається до ''f'', то <math>\mu\left( N_{k}\right) = 0 </math> для всіх <math>k\;</math>. Позначивши <math>N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k}</math> маємо <math>\mu\left( N \right) = 0 </math> і перевизначивши <math>f_k = 0, f = 0 </math> на <math>N</math> маємо, що <math>f_k , f </math> задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

== Застосування до теорії ймовірностей ==

Оскільки [[математичне сподівання]] [[випадкова величина|випадкової величини]] визначається як її інтеграл Лебега по [[ймовірнісний простір|простору елементарних подій]] <math>\Omega</math>, вищенаведена теорема переноситься і в [[теорія ймовірностей|теорію ймовірностей]]. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться [[майже напевно]]: <math>X_n\to X</math> майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина <math>Y</math>, така що <math>\forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y</math> майже напевно. Тоді випадкові величини <math>X_n,\;X</math> інтегровні і
: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X.</math>

== Див. також ==
*[[Лема Фату]]
*[[Інтеграл Лебега]]
*[[Вимірна функція]]

== Література ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Дороговцев.Теорія міри}}
* {{Rudin.Functional Analysis}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

[[Категорія:Теорія міри]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Лебега про мажоровану збіжність]]