Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Діріхле про арифметичні прогресії

'''Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії'''&nbsp;— важлива теорема у аналітичній теорії чисел, вперше доведена німецьким математиком Йоганном Петером Густавом Лежен-Діріхле.

== Твердження теореми ==

Нехай <math> l, k> 0 </math>&nbsp;— [[цілі числа]], і <math> (l, k) = 1 </math> (тобто <math> l, k</math> є [[взаємно прості числа|взаємно простими]]).

Тоді існує нескінченна кількість [[просте число|простих чисел]] <math> p </math> таких, що <math> p \equiv l \pmod k </math>.

З цього випливає, що кожна нескінченна [[арифметична прогресія]], перший член і різниця якої&nbsp;— натуральні [[взаємно прості числа]], містить нескінченну кількість простих чисел.

== Історія доведень ==

Теорема в даному формулюванні була доведена [[Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле|Діріхле]] аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами<ref> {{книга | автор = Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд | назва = Элементарные методы в аналитической теории чисел| видавництво = Физматгиз | рік = +1962 | сторінка = 61}} </ref>. Різні такі доведення знайшли Мертенс, [[Атле Сельберг|Сельберг]] і Цассенхаус.

== Приклади ==
Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях

{| class = "wikitable"
|+
! Арифметична<br/>прогресія !! 10 найменших простих чисел !! Послідовність у [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]]
|-
|2''n'' + 1 || 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … || {{OEIS|id=A065091}}
|-
|4''n'' + 1 || 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … || {{OEIS|id=A002144}}
|-
|4''n'' + 3 || 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … || {{OEIS|id=A002145}}
|-
|6''n'' + 1 || 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … || {{OEIS|id=A002476}}
|-
|6''n'' + 5 || 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … || {{OEIS|id=A007528}}
|-
|8''n'' + 1 || 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … || {{OEIS|id=A007519}}
|-
|8''n'' + 3 || 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … || {{OEIS|id=A007520}}
|-
|8''n'' + 5 || 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … || {{OEIS|id=A007521}}
|-
|8''n'' + 7 || 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … || {{OEIS|id=A007522}}
|-
|10''n'' + 1 || 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … || {{OEIS|id=A030430}}
|-
|10''n'' + 3 || 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … || {{OEIS|id=A030431}}
|-
|10''n'' + 7 || 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … || {{OEIS|id=A030432}}
|-
|10''n'' + 9 || 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … || {{OEIS|id=A030433}}
|-
|12''n'' + 1 || 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … || {{OEIS|id=A068228}}
|-
|12''n'' + 5 || 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … || {{OEIS|id=A040117}}
|-
|12''n'' + 7 || 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … || {{OEIS|id=A068229}}
|-
|12''n'' + 11 || 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … || {{OEIS|id=A068231}}
|}

== Варіації ==

При розгляді простих <math> p \equiv l \pmod k </math> досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.

Наприклад, крім основного твердження теореми [[Діріхле]] довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел <math>l</math> і <math>k</math> :
: <math> \lim_ {s \to 1 +} \frac {\sum \limits_p \dfrac {1} {p^s}} {\ln \dfrac {1} {s-1}} = \frac {1 } {\varphi (k)}, </math>
де сума є по всіх простих числах <math> p </math> з умовою <math> p \equiv l \pmod k </math>, а <math> \varphi </math>&nbsp;— [[функція Ейлера]].

Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами
лишків <math> \mod k </math>, оскільки
: <math> \lim_ {s \to 1 +} \dfrac {\sum \limits_p \dfrac {1} {p^s}} {\ln \dfrac {1} {s-1}} = 1, </math>
якщо сума є по всіх простих числах.

Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел <math> l </math> і <math> k </math> ряд <math> \sum \limits_ {p} {\frac {1} {p}} </math>, де сума є по простих <math> p \equiv l \pmod k </math> є розбіжним.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Характер Діріхле]]

== Література ==
* {{ouvrage|lang=en|auteur=Tom M. Apostol|titre=Introduction to Analytic Number Theory|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1976|isbn=978-0-387-90163-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел}}

[[Категорія:Аналітична теорія чисел]]
[[Категорія:Прості числа]]
[[Категорія:1837 у науці]]
[[Категорія:Теореми]]