Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Віталі (комплексний аналіз)

'''Теорема Віталі''' — твердження у [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] про властивості [[Рівномірна обмеженість|рівномірно обмеженої]] послідовності [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]]. Теорема названа на честь італійського математика [[Джузеппе Віталі]]<ref>
{{Citation|last=Vitali|first=Giuseppe|title=Sopra la serie di funzioni analitiche|journal=Rend. Ist. Lombardo di Scie, et Lett.|year=1903|volume=36|pages=772–774|language=Italian}}
</ref>
<ref>
{{Citation|last=Vitali|first=Giuseppe|title=Sopra la serie di funzioni analitiche|journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata|year=1904|volume=10|pages=65-82|language=Italian}}
</ref>.

== Твердження теореми ==

Якщо послідовність функцій <math>f_n</math> голоморфних в області <math>\Omega</math> є рівномірно обмежена на [[Компактний простір|компактних підмножинах]] <math>\Omega</math> і для всіх <math>z,</math> що належить підмножині <math>E \subset \Omega,</math> що має [[Гранична точка|граничну точку]] всередині <math>\Omega</math> існує границя <math>\lim_{n\to \infty}f_n(z)</math> то <math>f_n</math> є [[Рівномірна збіжність|рівномірно збіжною]] на компактних підмножинах <math>\Omega</math> до функції <math>f,</math> що є голоморфною на <math>\Omega.</math>

: ''Зауваження''. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за <math>\Omega</math> — [[Полікруг|бікруг]] із змінними <math>z, w</math> і розглянути послідовність функцій <math>f_n(z,w) = (-1)^nz^n.</math>

== Доведення ==

Припустимо, що послідовність <math>f_n</math> не є збіжною в деякій точці <math>z_0 \in \Omega.</math> Тоді з послідовності чисел <math>f_n(z_0)</math>  можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел <math>w_1</math> і <math>w_2.</math> Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть <math>f_{n_k}</math> і <math>f_{n_l}.</math>

Послідовності <math>f_{n_k}</math> і <math>f_{n_l}</math> є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах <math>\Omega</math> і тому, згідно [[Теорема Монтеля|теореми Монтеля]] з них можна виділити нові підпослідовності <math>f_{n_s}</math> і <math>f_{n_t},</math> що рівномірно на компактних підмножинах <math>\Omega</math> збігаються до функцій <math>f^*_1 (z)</math> і <math>f^*_2 (z).</math> Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на <math>\Omega</math>. Оскільки <math>\lim_{s\to \infty}f_{n_s}(z_0) = w_1 \neq w_2 = \lim_{t\to \infty}f_{n_t}(z_0)</math> то також <math>f^*_1 (z) \neq f^*_2 (z).</math> Але послідовності <math>f_{n_s}(z)</math> і <math>f_{n_t}(z),</math> як підпослідовності з <math>f_n(z),</math> збігаються на всіх точках <math>z \in E</math> до однакових границь, тож <math> f^*_1 (z) = f^*_2 (z)</math> для всіх <math>z \in E.</math>  Але <math>E</math> має граничну точку всередині <math>\Omega</math> і тому, згідно [[Теорема про рівність голоморфних функцій|теореми про рівність]] <math>f^*_1 (z) = f^*_2 (z).</math> Одержане протиріччя доводить, що послідовність <math>f_n (z)</math> є збіжною в усій області <math>\Omega.</math> Рівномірна збіжність <math>f_n</math> на компактних підмножинах <math>\Omega</math> випливає із теореми Монтеля.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==

* [https://mathoverflow.net/questions/82787/vitalis-theorem-on-convergence-of-holomorphic-functions Vitali's Theorem on convergence of holomorphic functions] на сайті MathOverflow

== Див. також ==

* [[Теорема Монтеля]]

== Література ==

* ''Голузин Г. М.'' Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд.&nbsp;— М., 1966.&nbsp;— С. 56&nbsp;— 60.

[[Категорія:Комплексний аналіз]]