Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Бора-Молерупа

'''Теорема [[Гаральд Бор|Бора]] — {{не перекладено|Молеруп|Молерупа|en|Johannes Mollerup}}''' ствердує, що [[гамма-функція]], означена на {{math|''x'' > 0}} як

:<math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt</math>

це ''єдина'' функція {{mvar|&nbsp;f&nbsp;}} на проміжку {{math|''x'' > 0}}, яка одночасно має такі три властивості

* {{math|&nbsp;''f''&nbsp;(1) {{=}} 1}}, і
* {{math|&nbsp;''f''&nbsp;(''x'' + 1) {{=}} ''x''&nbsp;''f''&nbsp;(''x'')}} для {{math|''x'' > 0}} і
* {{mvar|&nbsp;f&nbsp;}} — [[логарифмічно опукла функція|логарифмічно опукла]].

==Доведення==
Нехай {{math|Γ(''x'')}} буде функцією з припущеними вище властивостями: {{math|Γ(''x'' + 1) {{=}} ''x''Γ(''x'')}} і {{math|log(Γ(''x''))}} опукла, і {{math|Γ(1) {{=}} 1}}. З того, що {{math|Γ(''x'' + 1) {{=}} ''x''Γ(''x'')}} ми можемо вивести

:<math>\Gamma(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x+1)x\Gamma(x)</math>

Це нам потрібно для того, щоб {{math|Γ(1) {{=}} 1}} змушувало {{math|Γ(''x'' + 1) {{=}} ''x''Γ(''x'')}} повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що {{math|Γ(''n'') {{=}} (''n'' − 1)!}} якщо {{math|''n'' ∈ '''N'''}} і якщо {{math|Γ(''x'')}} взагалі існує. З нашої формули для {{math|Γ(''x'' + ''n'')}} випливає, що якщо ми повністю розуміємо {{math|Γ(''x'')}} для {{math|0 < ''x'' ≤ 1,}} то ми розміємо {{math|Γ(''x'')}} для всіх значень {{mvar|x}}. 

Нахил лінії, що з'єднує дві точки: {{math|(''x''<sub>1</sub>, log(Γ&nbsp;(''x''<sub>1</sub>)))}} і {{math|(''x''<sub>2</sub>, log(Γ&nbsp;(''x''<sub>2</sub>)))}}, назвемо його {{math|''S''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>)}}, монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з {{math|''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub>,}} бо ми припустили, що {{math|log(Γ(''x''))}} опукла. Отже, ми знаємо, що

:<math>\begin{align}
S(n-1,n) &\leq S(n,n+x) \leq S(n,n+1) && 0< x\leq 1\\ [6pt]
\frac{\log(\Gamma(n))-\log(\Gamma(n-1))}{n-(n-1)} &\leq \frac{\log(\Gamma(n))-\log(\Gamma(n+x))}{n-(n+x)} \leq \frac{\log(\Gamma(n))-\log(\Gamma(n+1))}{n-(n+1)}\\ [6pt]
\frac{\log((n-1)!)-\log((n-2)!)}{1} &\leq \frac{\log(\Gamma(n+x))-\log((n-1)!)}{x}\leq \frac{\log(n!)-\log((n-1)!)}{1}\\ [6pt]
\log\left(\frac{(n-1)!}{(n-2)!}\right)&\leq \frac{\log(\Gamma(n+x))-\log((n-1)!)}{x}\leq \log\left(\frac{n!}{(n-1)!}\right)\\ [6pt]
\log(n-1) &\leq \frac{\log(\Gamma(n+x))-\log((n-1)!)}{x} \leq \log(n)\\
x\log(n-1) &\leq \log(\Gamma(n+x))-\log((n-1)!) \leq x \log (n) \\
\log \left ((n-1)^x \right )+\log((n-1)!) &\leq \log(\Gamma(n+x)) \leq \log \left (n^x \right ) +\log((n-1)!)\\
\log \left ((n-1)^x (n-1)! \right )&\leq \log(\Gamma(n+x)) \leq \log\left(n^x(n-1)!\right) \\
(n-1)^x(n-1)! &\leq \Gamma(n+x)\leq n^x(n-1)! && \text{(*)}\\ [6pt]
(n-1)^x(n-1)! &\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x\Gamma(x)\leq n^x(n-1)!\\ [6pt]
\frac{(n-1)^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x} &\leq \Gamma(x) \leq \frac{n^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x}\\ [6pt]
\frac{(n-1)^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x} &\leq \Gamma(x) \leq \frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right) \\ [6pt]
\end{align}</math>

Перехід <math>\text{(*)}</math> можливий, бо <math>\log</math> монотонно висхідна. Останній рядок&nbsp;— це сильне твердження. Зокрема, ''воно виконується для всіх значень'' {{mvar|n}}. Тобто {{math|Γ(''x'')}} не більша ніж правий бік для будь-якого {{mvar|n}} і так само, {{math|Γ(''x'')}} не менша ніж лівий бік для будь-якого {{mvar|n}}. Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми ми вільні обирати різні значення {{mvar|n}} для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо {{mvar|n}} для правого боку і виберемо {{math|''n'' + 1}} для лівого, то:

:<math>\begin{align}
\frac{((n+1)-1)^x((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots(x+1)x}&\leq \Gamma(x)\leq\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\\
\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}&\leq \Gamma(x)\leq\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)
\end{align}</math>

З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай {{math|''n'' → ∞}}: 

:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{n+x}{n} = 1</math> 

тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x} = \Gamma (x).</math> 

У конетксті нашого доведення

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}</math> 

має три властивості {{math|Γ(''x'')}}. Також, доведення надає вираз для {{math|Γ(''x'')}}.  І остання критична частина доведення&nbsp;— це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору {{math|0 < ''x'' ≤ 1}} може існувати лише одне {{math|Γ(''x'')}}. Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними {{math|Γ(''x'')}}.

Залишилось покажати, що {{math|Γ(''x'')}} спрацьовує для всіх {{mvar|x}} для яких

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}</math>  

існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність

:<math>S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)</math>

з обмеженням {{math|0 < ''x'' ≤ 1}}. Якщо, скажімо, {{math|''x'' > 1}} тоді факт того, що {{mvar|S}} монотонно висхідна зробив би {{math|''S''(''n'' + 1, ''n'') < ''S''(''n'' + ''x'', ''n'')}}, що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що

:<math>\begin{align}
\Gamma(x+1)&= \lim_{n\to\infty}x\cdot\left(\frac{n^xn!}{(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x}\right)\frac{n}{n+x+1}\\
\Gamma(x)&=\left(\frac{1}{x}\right)\Gamma(x+1)
\end{align}</math>

що показує як розгорнути функцію {{math|Γ(''x'')}} для всіх значень {{mvar|x}} де границя має місце.

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Посилання ==
* {{springer|title=Bohr–Mollerup theorem|id=p/b120330}}
* {{MathWorld | urlname=Bohr-MollerupTheorem | title=Bohr–Mollerup Theorem}}
* {{planetmath reference|id=3808|title=Proof of Bohr–Mollerup theorem}}
* {{planetmath reference|id=6576|title=Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem}}
* {{cite book|last= Artin |first= Emil |title=  The Gamma Function|url= https://archive.org/details/gammafunction0000arti |year= 1964 |publisher= Holt, Rinehart, Winston }}
* {{cite book|last= Rosen |first= Michael |title=  Exposition by Emil Artin: A Selection|year= 2006 |publisher= American Mathematical Society}}
* {{cite book|first= Bohr, H.|last= Mollerup, J.|title= Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen|year=1922}} (''Textbook in Complex Analysis'')

[[Категорія:Теореми в комплексному аналізі]]