Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Аусландера — Бухсбаума

У [[Комутативна алгебра|комутативній алгебрі]] '''теорема Аусландера — Бухсбаума''' стверджує, що кожне [[регулярне локальне кільце]] є [[Факторіальне кільце|факторіальним кільцем]].

Теорема була доведена у 1959 році американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом для регулярних локальних кілець розмірності 3. До того Масайоші Нагата довів, що з цього випливає твердження для всіх регулярних локальних кілець.

== Доведення ==

=== Лема 1 ===

Нехай ''R'' — [[Кільце Нетер|нетерова]] [[область цілісності]]. Тоді ''R'' є факторіальним кільцем якщо і тільки якщо кожний [[простий ідеал]] [[Висота (теорія кілець)|висоти]] 1 у ''R'' є [[Головний ідеал|головним]].

==== Доведення леми 1 ====
Припустимо, що ''R'' є факторіальним кільцем, <math>\mathfrak{p}</math> — простий ідеал висоти 1. Нехай <math>a \in \mathfrak{p}, a \neq 0,</math> і ''p'' є [[Незвідний елемент|незвідним]] дільником ''a''. Тоді <math>Rp \subset \mathfrak{p}</math> і з того що <math>\operatorname{ht} P = 1</math> і ''Rp'' є простим ідеалом, <math> Rp = \mathfrak{p},</math> тобто <math>\mathfrak{p}</math> є головним ідеалом. 

Навпаки припустимо, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним. Оскільки ''R'' є нетеровим кільцем, кожен елемент <math>a \in R,</math> що не є [[Оборотний елемент|оборотним]] можна записати як скінченний добуток незвідних елементів. Достатньо довести, що кожен незвідний елемент є [[Простий елемент|простим]]. Нехай <math>a \in R</math> є незвідним елементом і <math>\mathfrak{p}</math> — [[мінімальний простий ідеал]] над ''(a)''. Тоді <math>\operatorname{ht} \mathfrak{p} = 1</math> і, за припущенням, <math>\mathfrak{p}</math> є головним ідеалом. Тому <math>\mathfrak{p} = Rp,</math> де ''p'' є простим елементом. Також ''p'' ділить незвідний елемент ''a'', тому ''p = ua'', де ''u'' є оборотним елементом. Звідси також ''a'' є простим елементом.

=== Лема 2 ===
Нехай ''R'' — [[Кільце (алгебра)|кільце]] і ''M'' — [[Проективний модуль|проективний R-модуль]]. Якщо для ''M'' існує скінченна [[Резольвента (гомологічна алгебра)|вільна резольвента]]

: <math>0 \to M_n \to M_{n-1} \to \ldots \to F_0 \to M \to 0</math>

де всі <math>M_i</math> є [[Вільний модуль|вільними модулями]] скінченного рангу, то існує [[Скінченнопороджений модуль|скінченнопороджений]] вільний модуль ''F'', для якого <math>M \oplus F</math> є вільним модулем скінченного рангу.

==== Доведення леми 2 ====
Доведення індукцією по ''n''. Якщо ''n'' = 0 то <math>M \simeq F_0</math> є скінченнопородженим вільним модулем. Нехай <math>n</math> > 0 і <math>K = \operatorname{Ker} (F_0 \to M).</math> Оскільки ''M'' є проективним модулем, <math>F_0 = M \oplus K</math> і для ''K'' існує вільна резольвента довжини ''n'' - 1. За індукцією існує скінченнопороджений вільний модуль ''F' '' для якого <math>K \oplus F' = F</math> є скінченнопородженим вільним модулем. Тоді 
<math>M \oplus F = M \oplus K \oplus F' \simeq F_0 \oplus F',</math>
тож <math>M \oplus F</math> є скінченнопородженим вільним модулем.

=== Лема 3 ===
При тих же умовах, що і в попередній лемі, якщо <math>M \oplus R^n \simeq R^{n+1},</math> то <math>M \simeq R.</math>

==== Доведення леми 3 ====
Для кожного простого ідеалу <math>\mathfrak{p}</math> виконується <math>M_{\mathfrak{p} } \oplus R_{\mathfrak{p}}^n \simeq R_{\mathfrak{p}}^{n+1}</math> тому ''M'' є проективним модулем сталого рангу 1. 
Крім того для ''i'' > 1 маємо 

: <math>\left ( \bigwedge_R^i \right)_\mathfrak{p} \simeq  R_\mathfrak{p} \otimes \bigwedge_R^i M  \simeq \bigwedge_{R_\mathfrak{p}}^i \left ( R_\mathfrak{p} \otimes_R M \right ) \simeq \bigwedge_{R_\mathfrak{p}}^i M_\mathfrak{p}.</math>

Оскільки попереднє виконується для всіх простих ідеалів, то для ''i'' > 1 також <math>\bigwedge_R^i M = 0.</math>

Тому

: <math>
R = \bigwedge^{n+1} R^{n+1} \simeq \bigwedge^{n+1} (M \oplus R^n) \simeq \bigoplus_{i + j = n+1} \bigwedge^{i}M \otimes \bigwedge^{j} R^n \simeq \bigwedge^{0}M \otimes \bigwedge^{n+1} R^{n} \oplus \bigwedge^{1}M \otimes \bigwedge^{n} R^{n} \simeq M \otimes_R R \simeq M.</math>
 
=== Лема 4 ===
Нехай ''I'' — ненульовий проективний ідеал кільця ''R'' для якого існує скінченна вільна резольвента. Тоді ''I'' є головним ідеалом. 

==== Доведення леми 4 ====
Згідно леми 2 існує скінченнопороджений модуль ''F'' такий що <math>I \oplus F = F',</math> де <math>F'</math> є скінченнопородженим вільним модулем. Оскільки <math>I_\mathfrak{p} \oplus F_\mathfrak{p} \simeq F'_{\mathfrak{p}},</math> як модуль ''I'' має сталий ранг рівний <math>\operatorname{rank} F' - \operatorname{rank} F.</math> Оскільки ''I'' є ненульовим проективним ідеалом, то <math>\operatorname{rank} I = 1.</math> Тому з Леми 3  <math>I \simeq R.</math>

=== Доведення теореми Аусландера — Бухсбаума ===

Доведення індукцією по <math>d = \dim R.</math> Якщо ''d'' = 0, то ''R'' є полем. 

Припустимо ''d'' > 0. Оскільки ''R'' є [[Область цілісності|областю цілісності]], згідно леми 1 досить довести, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним. 

Нехай <math>\mathfrak{p}</math> буде таким ідеалом. Оскільки ''d'' > 0, то <math> \mathfrak{m} \neq \mathfrak{m}^2</math> і можна обрати елемент <math>a \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2.</math> З того що <math>\{a\}</math> є частиною регулярної системи параметрів ідеал ''Ra'' є простим ідеалом, тобто ''a'' є простим елементом. Якщо <math>a \in \mathfrak{p},</math> то <math>Ra \subset \mathfrak{p}</math> і оскільки <math>\mathfrak{p}</math> має висоту 1, то <math>\mathfrak{p} = Ra</math> є головним ідеалом. 

Нехай тепер <math>a \neq \mathfrak{p}</math> і розглянемо мультиплікативно замкнуту множину <math>S = \{a^n | n \geqslant 0 \}.</math> Якщо <math>R' = S^{-1}R,</math> то <math>\mathfrak{p}' = \mathfrak{p}R'</math> є простим ідеалом кільця ''R' '' з висотою 1. 

Ідеал ''P' '' є головним ідеалом. Для цього спершу доведемо, що ідеал ''P' '' є проективним ідеалом у кільці ''R' ''.

Нехай ''Q' '' = ''QR' '' — будь-який простий ідеал у кільці ''R' '', де ''Q'' є простим ідеалом кільця ''R''. Тоді <math>Q \neq \mathfrak{m},</math> тому що <math>a \not \in Q.</math> 

Маємо <math>R'_{Q'} \simeq R_Q</math> є регулярним локальним кільцем [[Розмірність Круля|розмірності]] меншої, ніж <math>\dim R.</math> Тому за припущенням індукції, <math>R'_{Q'}</math> є факторіальним кільцем. Із цього випливає також, що <math>\mathfrak{p}' R'_{Q'},</math> який є простим ідеалом висоти 1 є головним ідеалом. Оскільки головний ідеал у області цілісності є вільним модулем, то <math>\mathfrak{p}' R'_{Q'}</math>є вільним, а тому і проективним модулем. 

Оскільки [[Проективна розмірність#Розмірність модуля|проективна розмірність]] є рівною супремуму по всіх локалізаціях за простими ідеалами, то <math>pd_{R'} \mathfrak{p}' = \sup_{Q'} pd_{R'_{Q'}} \mathfrak{p}' R'_{Q'} = 0.</math> Тому <math>\mathfrak{p}'</math> є ''R' ''-проективним модулем. Також для <math>\mathfrak{p}'</math>існує скінченна вільна резольвента. Справді оскільки [[глобальна розмірність]] кільця ''R'' є скінченною то для <math>\mathfrak{p}</math> існує скінченна вільна ''R''-резольвента і тому для <math>\mathfrak{p}' = \mathfrak{p} R'</math> також існує скінченна вільна ''R' ''-резольвента.  

Згідно леми 4 <math>\mathfrak{p}'</math> є головним ідеалом у ''R' ''. Нехай <math>\mathfrak{p}' = R' p,</math> де <math>p \in \mathfrak{p}.</math> Без втрати загальності можна вважати, що ''a'' не ділить ''p''. Тоді <math>\mathfrak{p} = Rp.</math> Очевидно <math>Rp \subset \mathfrak{p}.</math> Нехай <math>x \in \mathfrak{p} = \mathfrak{p}' \cap R.</math> Можна записати <math>x = \frac{b}{a^m} p</math> або <math>a^mx = bp.</math> З того що ''a'' є [[Простий елемент|простим елементом]], що не ділить ''p'', випливає <math>a^m | b.</math> Тому <math>x \in Rp,</math> тобто <math>\mathfrak{p} = Rp.</math>

== Див. також ==

* [[Регулярне локальне кільце]]

== Література ==

* {{Citation|last1=Auslander|first1=Maurice|last2=Buchsbaum|first2=D. A.|title=Unique factorization in regular local rings|jstor=90213|mr=0103906|year=1959|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|issn=0027-8424|volume=45|pages=733–734|doi=10.1073/pnas.45.5.733|pmid=16590434|pmc=222624}}
* {{Citation|last1=Nagata|first1=Masayoshi|author1-link=Masayoshi Nagata|title=A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Separably generated extensions and regular local rings|jstor=2372791|mr=0094344|year=1958|journal=[[American Journal of Mathematics]]|issn=0002-9327|volume=80|pages=382–420|doi=10.2307/2372791}}

[[Категорія:Комутативна алгебра]]
[[Категорія:Теореми в абстрактній алгебрі]]