Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Абеля — Руффіні

'''Теорема Абеля—Руффіні''' стверджує, що загальне рівняння [[рівняння п'ятого степеня|п'ятого]] та вищих степенів є [[Розв'язність в радикалах|нерозв'язним у радикалах]] — 
для [[корінь многочлена|коренів многочлена]] не існує формули, в якій застосовуються [[чотири арифметичні дії]] та добування [[корінь (математика)|коренів]] (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:
:<math>x^5 \pm x-1=0</math>

[[Основна теорема алгебри]] доводить, що рівняння <math>\ n</math>-го степеня має <math>\ n</math> [[комплексне число|комплексних коренів]], хоча над іншими [[поле (алгебра)|полями]] коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає [[теорія Галуа]].


== Історія ==
[[File:Ruffini - Teoria generale delle equazioni, 1799 - 1366896.jpg|thumb|[[Паоло Руффіні]], ''Teoria generale delle equazioni'', 1799]]

В [[1770]] році [[Жозеф-Луї Лагранж]] у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття [[група перестановок|групи перестановок]] коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи [[теорія Галуа|теорії Галуа]], що була виявлена в паперах [[Еварист Галуа|Евариста Галуа]] після його смерті.

Першу версію теореми довів [[Паоло Руффіні]] в [[1799]], але в його доведенні були прогалини. В [[1824]] [[Нільс Абель]] опублікував детальне доведення теореми.

== Теорія Галуа ==
Сучасне доведення використовує [[теорія Галуа|теорію Галуа]].

[[Група Галуа]] описує [[симетрична група|групи перестановок]] <math>\ S_n</math> [[корінь многочлена|коренів многочленів]].

При <math>n \geq 5</math> група перестановок <math>\ S_n</math> не є [[розв'язна група|розв'язною.]]

== Доведення теореми ==
Нехай
:<math>\ y_1</math>&nbsp;— [[дійсне число]] [[трансцендентне число|трансцендентне]] над [[поле (алгебра)|полем]] [[раціональні числа|раціональних чисел]] <math>\Q</math>,
:<math>\ y_2</math>&nbsp;— трансцендентне над [[розширення поля|розширенням]] <math>\Q(y_1)</math>, і так далі до
:<math>\ y_5</math>&nbsp;— трансцендентне над <math>\Q(y_1, y_2, y_3, y_4)</math>.

Позначимо <math>\ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5),</math> тоді:

: <math>f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].</math>

[[Теорема Вієта]]: 
відкривши дужки, отримаємо що <math>\ f(x)</math> є [[симетрична функція|симетричною функцією]] відносно <math>\ y_n,</math> оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

: <math>\ s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5</math>
: <math>\ s_2 = y_1y_2 + y_1y_3 + \cdots + y_4y_5</math>
і так далі до
: <math>\ s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.</math>

Кожна перестановка <math>\ \sigma</math> групи <math>\ S_5</math> означає автоморфізм <math>\ \sigma'</math> на <math>\ E</math> що залишає <math>\Q</math> нерухомим та переставляє <math>\ y_n.</math> Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже <math>\ E</math> також є нерухомим, отже утворює групу Галуа
: <math>\ |G(E/F)| = |S_5|=5!</math>

Єдиним розкладом <math>\ S_5</math> є
: <math>\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\}</math> (де <math>\ A_5</math>&nbsp;— [[альтернативна група]]).

[[Факторгрупа]] <math>\ A_5/\{e\}</math> (ізоморфна самій <math>\ A_5</math>) не є [[абелева група|абелевою групою]], тому <math>\ S_5</math> не є розв'язною.

== Розв'язувані типи рівнянь ==
* [[Абелеві рівняння (алгебраїчні)|Абелеві рівняння]]
* [[Зворотне рівняння]]

== Див. також ==
* [[Квадратне рівняння]]
* [[Кубічне рівняння]]
* [[Рівняння четвертого степеня]]
* [[Дискретне перетворення Абеля]]
* [[Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля]]

== Посилання == 
* {{cite journal |last=Rosen |first=Michael I. |date=1995 |title=Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/Rosen.pdf |journal=The American mathematical monthly |publisher= |volume=102 |issue=6 |pages=495-505 |doi=}} {{ref-en}}
* {{YouTube|id=RhpVSV6iCko|title=Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved}} {{ref-en}}

== Література ==
* {{книга
|автор        = Jean-Pierre Tignol
|заголовок    = Galois' Theory Of Algebraic Equations
|частина      = 
|оригінал     = 
|том          = 
|видавництво  = World Scientific Publishing Company
|місто        = 
|рік          = 2001
|сторінок     = 348
|isbn         = 978-9810245412
}} {{ref-en}}
* {{книга
|автор        = Алексеев В. Б.
|заголовок    = Теорема Абеля в задачах и решениях.
|посилання      = http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf
|оригінал     = 
|том          = 
|видавництво  = МЦНМО
|місто        = 
|рік          = 2001
|сторінок     = 192
|isbn         = 5-900916-86-3
}} {{ref-ru}}
* {{Артін.Теорія Галуа}}
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}

[[Категорія:Теорія Галуа]]
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Теореми в алгебрі|Абеля—Руффіні]]
[[Категорія:1799 у науці]]
[[Категорія:1824 у науці]]