Перегляд вихідного коду сторінки Таблиця інтегралів

{{Числення|expanded=Інтегральне}}
[[Інтегрування]] є одною з двох основних операцій [[математичний аналіз|математичного аналізу]]. Тоді як [[Диференціювання (математика)|диференціювання]] має прості правила, за якими можна знайти [[похідна|похідну]] складних [[функція (математика)|функцій]] через диференціювання її складових функцій, для інтегралів це не так, і тому таблиці відомих [[первісна|первісних]] виявляються часто дуже корисними. На цій сторінці представлено список основних первісних.

''C'' вживається як довільна [[стала інтегрування]] інтегрування, яку можна визначити якщо відомо значення інтеграла в якій-небудь точці.

== Правила інтегрування функцій ==

: <math>\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx</math>
: <math>\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C</math>
: <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
: <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math>

: <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx</math> , або, що те ж саме:
: <math>\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx</math>

== Інтеграли простих функцій ==

=== [[Раціональні функції]] ===
{{main|Таблиця інтегралів раціональних функцій}}
: <math>\int \,dx = x + C</math>
: <math>\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,</math> якщо <math>n \ne -1</math>
: <math>\int \frac{dx}{x}\,= \ln{\left|x\right|} + C</math>
: <math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\operatorname{arctg} {x \over a} + C</math>
: <math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>

=== [[Логарифм]]ічні функції ===
{{main|Таблиця інтегралів логарифмічних функцій}}
: <math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
: <math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>

=== [[Показникові функції]] ===
{{main|Таблиця інтегралів експоненціальних функцій}}
: <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
: <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>

=== [[Ірраціональні функції]] ===
{{main|Таблиця інтегралів ірраціональних функцій}}
: <math>\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>
: <math>\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>
: <math>\int {dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|x| \over a} + C</math>
: <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2+a^2}}\right| + C</math>
: <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2-a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2-a^2}}\right| + C</math>

=== [[Тригонометричні функції]] ===
{{main|Таблиця інтегралів тригонометричних функцій}}
: <math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
: <math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
: <math>\int \operatorname{tg}x \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
: <math>\int \operatorname{ctg}x \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
: <math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}x\right|} + C</math>
: <math>\int \operatorname{cosec}x \, dx = -\ln{\left| \operatorname{cosec}x + \operatorname{ctg}x\right|} + C</math>
: <math>\int \sec^2 x \, dx = \operatorname{tg} x + C</math>
: <math>\int \operatorname{cosec}^2 x \, dx = -\operatorname{ctg} x + C</math>
: <math>\int \sec{x} \, \operatorname{tg}x \, dx = \sec{x} + C</math>
: <math>\int \operatorname{cosec}x \, \operatorname{ctg}x \, dx = - \operatorname{cosec}x + C</math>
: <math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C</math>
: <math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C</math>
: <math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \operatorname{tg} x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \operatorname{tg} x| + C</math>
: <math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>
: <math>\int \cos^n x \, dx = - \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>
: <math>\int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C</math>
: <math>\int\!{dx \over \sin^2 x} = - \operatorname{ctg}\,x + C</math>

=== Обернені тригонометричні функції ===
{{main|Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій}}
: <math>\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C</math>
: <math>\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arctg}x \, dx = x \, \operatorname{arctg}x - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>
: <math>\int \arcsec{x} \, dx = x \, \arcsec{x} + \frac{\sqrt{x^2 - 1}\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}}{x \, \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccosec}x \, dx = x \, \operatorname{arccosec}x + \frac{\sqrt{x^2 - 1}\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}}{x \, \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcctg}x \, dx = x \, \operatorname{arcctg}x + \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>

=== [[Гіперболічні функції]] ===
{{main|Таблиця інтегралів гіперболічних функцій}}
: <math>\int \operatorname{sh} x \, dx = \operatorname{ch} x + C</math>
: <math>\int \operatorname{ch} x \, dx = \operatorname{sh} x + C</math>
: <math>\int \operatorname{th} x \, dx = \ln |\operatorname{ch} x| + C</math>
: <math>\int \operatorname{csch}x \, dx = \ln\left| \operatorname{th} {x \over2}\right| + C</math>
: <math>\int \operatorname{sech}x \, dx = \operatorname{arctg}(\operatorname{sh} x) + C</math>
: <math>\int \operatorname{cth} x \, dx = \ln|\operatorname{sh} x| + C</math>
: <math>\int \operatorname{sech}^2 x\, dx = \operatorname{th} x + C</math>

=== Обернені гіперболічні функції ===
{{main|Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій}}
: <math>\int \operatorname{arsh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arsh}\, x - \sqrt{x^2+1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arch}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arch}\, x - \sqrt{x^2-1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arth}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arth}\, x + \frac{1}{2}\ln{(1-x^2)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcsch}\, x+ \ln{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x\, \operatorname{arsech}\, x- \operatorname{arctg}{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcth}\,x \, dx  = x\, \operatorname{arcth}\, x+ \frac{1}{2}\ln{(x^2-1)} + C</math>

=== Композитні функції ===
: <math>\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C</math>
: <math>\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C</math>
: <math>\int \cos ax\, \operatorname{ch} bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \operatorname{ch} bx+ b\cos ax\, \operatorname{sh} bx \right) + C</math>
: <math>\int \sin ax\, \operatorname{ch} bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \operatorname{sh} bx- a\cos ax\, \operatorname{ch} bx \right) + C</math>

=== Функції абсолютних величин ===
: <math>\int \left| (ax + b)^n \right|\,dx = {(ax + b)^{n+2} \over a(n+1) \left| ax + b \right|} + C \,\, [\,n\text{ is odd, and } n \neq -1\,]</math>
: <math>\int \left| \sin{ax} \right|\,dx = {-1 \over a} \left| \sin{ax} \right| \operatorname{ctg}{ax} + C</math>
: <math>\int \left| \cos{ax} \right|\,dx = {1 \over a} \left| \cos{ax} \right| \operatorname{tg}{ax} + C</math>
: <math>\int \left| \operatorname{tg}{ax} \right|\,dx = {\operatorname{tg}{ax}[-\ln\left|\cos{ax}\right|] \over a \left| \operatorname{tg}{ax} \right|} + C</math>
: <math>\int \left| \operatorname{cosec}{ax} \right|\,dx = {-\ln \left| \operatorname{cosec}{ax} + \operatorname{ctg}{ax} \right|\sin{ax} \over a \left| \sin{ax} \right|} + C </math>
: <math>\int \left| \sec{ax} \right|\,dx = {\ln \left| \sec{ax} + \operatorname{tg}{ax} \right| \cos{ax} \over a \left| \cos{ax} \right|} + C </math>
: <math>\int \left| \operatorname{ctg}{ax} \right|\,dx = {\operatorname{tg}{ax}[\ln\left|\sin{ax}\right|] \over a \left| \operatorname{tg}{ax} \right|} + C </math>

=== Спеціальні функції ===
: <math>\int \operatorname{Ci}(x) dx = x\,\operatorname{Ci}(x) - \sin x</math>
: <math>\int \operatorname{Si}(x) dx = x\,\operatorname{Si}(x) + \cos x</math>
: <math>\int \operatorname{Ei}(x) dx = x\,\operatorname{Ei}(x) - e^x</math>
: <math>\int \operatorname{li}(x)dx = x\, \operatorname{li}(x)-\operatorname{Ei}(2 \ln x) </math>
: <math>\int \frac{\operatorname{li}(x)}{x}\,dx = \ln x\, \operatorname{li}(x) -x </math>
: <math>\int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\, \text{erf}(x)</math>

== Визначені інтеграли без явних первісних ==

{{main|Визначені інтеграли без явних первісних}}
Для деяких функцій, чиї [[первісна|первісні]] не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені. Тут перелічені деякі популярні інтеграли

: <math>\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (дивись також [[Гамма-функція]])

: <math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> ([[Гаусовий інтеграл]])

: <math>\int_0^\infty{x e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{1}{2a^2}</math>

: <math>\int_0^\infty{x^2 e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{\sqrt \pi}{4a^3}</math>, де <math>a>0\!</math>

: <math>\int_0^\infty{x^{2i+1} e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{a!}{2a^{2i+2}}</math>, де <math>a>0;\;\;\! i=1,2,3 ...</math>

: <math>\int_0^\infty{x^{2i} e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{1*3*5*...*(2i-1)}{2^{i+1} a^{2i+1}}\sqrt \pi</math>, де <math>a>0;\;\;\! i=1,2,3 ...</math>

: <math>\int_0^\infty{x^n e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2a^{n+1}}</math>, де <math>a>0\!</math>; (дивись також [[Гамма-функція]])

: <math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math> (дивись також [[числа Бернуллі]])

: <math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}</math>

: <math>\int_0^\infty{\frac{1}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{\ln{2}}{a}</math> де <math>a>0\!</math>

: <math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{\pi^2}{12a^2}</math> де <math>a>0\!</math>

: <math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{7}{120}\frac{\pi^4}{a^4}</math> де <math>a>0\!</math>

: <math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

: <math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}</math> (якщо ''n'' парне число і <math>  \scriptstyle{n \ge 2}</math>)

: <math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}</math> (якщо <math> \scriptstyle{n} </math> непарне число і <math>  \scriptstyle{n \ge 3} </math>)

: <math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x)\cos^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
\frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & |\alpha|= |\beta (2m-n)| \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right .</math> (для цілих <math>\scriptstyle \alpha, \beta, m, n</math> з <math>\scriptstyle \beta \neq 0</math> і <math>\scriptstyle m, n \geq 0</math>, дивись також [[Біноміальний коефіцієнт]])

: <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \cos^n(\beta x) dx = 0</math> (для дійсних <math>\scriptstyle \alpha,\beta</math> і невід'ємного цілого <math>\scriptstyle n</math>, дивись також [[Симетрія]])

: <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
(-1)^{(n+1)/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ odd},\ \alpha = \beta (2m-n) \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right .</math> (для цілих <math>\scriptstyle \alpha, \beta, m, n</math> з <math>\scriptstyle \beta \neq 0</math> і <math>\scriptstyle m, n \geq 0</math>, дивись також [[Біноміальний коефіцієнт]])

: <math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
(-1)^{n/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ even},\ |\alpha| = |\beta (2m-n)| \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right .</math> (для цілих <math>\scriptstyle \alpha, \beta, m, n</math> з <math>\scriptstyle \beta \neq 0\!</math> та <math>\scriptstyle m,n \geq 0\!</math>, дивись також [[Біноміальний коефіцієнт]])

: <math>\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

: <math>\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)</math> (де <math>\Gamma(z)\!</math> [[Гамма-функція]])

: <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]</math> (де <math>\exp[u]\!</math> [[Показникова функція|експонента]] <math>e^u</math>, і <math>a>0\!</math>)

: <math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (де <math>I_{0}(x)\!</math> модифікована [[Функція Бесселя]] першого роду)

: <math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) </math>

: <math>\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,</math>, <math>\nu > 0\,</math>,&nbsp; стосується функція [[Густина імовірності|густини ймовірності]] для [[T-розподіл Стьюдента|T-розподілу Стьюдента]]

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується [[метод вичерпання]]:

: <math>\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^{2^n  - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).</math>

: <math>\int_0^1 [\ln(1/x)]^p\,dx = p!</math>

=== Випадково знайдені тотожності ===
: <math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}        &&(= 1.29128599706266\dots)\\
\int_0^1 x^x   \,dx &= -\sum_{n=1}^\infty (-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots)
\end{align}</math>

Обчислені [[Йоганн Бернуллі|Йоганном Бернуллі]].

== Див. також ==
* [[Методи інтегрування]]
* [[Таблиця похідних]]

== Джерела ==
* {{Двайт-таблиці}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Основні формули інтегрування|сторінки=369}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{Math-stub}}
{{Таблиці інтегралів}}
{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Інтеграли|!]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]
[[Категорія:Математичні списки]]
[[Категорія:Математичні таблиці|Інтегралів]]