Перегляд вихідного коду сторінки Супремум-норма

'''Супремум-норма'''&nbsp;— в [[математичний аналіз|математичному аналізі]], для дійснозначної чи комплекснозначної [[Обмежена функція|обмеженої функцій]] {{tmath|f}} визначеної на [[Множина|множині]] {{tmath|S}}, це [[Норма (математика)|норма]] означена як невід'ємне число:
: <math>\|f\|_\infty = \|f\|_{\infty,S} = \sup\left\{\,|f(s)| : s \in S\,\right\}.</math>

Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:
* '''[[Відстань Чебишова|нормою Чебишова]]''' для функцій або
* '''рівномірною нормою''', оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна [[Рівномірна збіжність|рівномірній збіжності]].

Якщо {{tmath|f}}&nbsp;— [[неперервна функція]] на [[Проміжок (математика)|замкненому й обмеженому проміжку]], або, загальніше на [[Компактний простір|компактній]] множині, то вона обмежена, й [[супремум]] у наведеному вище визначенні досягається за [[Друга теорема Веєрштрасса|другою теоремою Веєрштрасса]], тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають '''{{visible anchor|максимум-норма|максимум-нормою}}''' ({{lang-en|maximum norm}}).
Зокрема, якщо {{tmath|x}}&nbsp;— це деякий такий вектор, що <math>x = \left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) </math> у [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному просторі]] координат, вона набуває вигляду:
: <math>\|x\|_\infty := \max \left(\left|x_1\right| , \ldots , \left|x_n\right|\right).</math>
Це називають {{li|L-нескінченність|<math>\ell^\infty</math>-нормою|Q25109715}}.

== Пов'язані означення ==
'''Про́стір непере́рвних фу́нкцій'''&nbsp;— лінійний [[нормований простір]], елементами якого є [[Неперервна функція|неперервні]] на відрізку <math>[a,b]</math> функції (зазвичай позначають <math>{\mathrm C}[a,b]</math>, іноді <math>C^0[a,b]</math> або <math>C^{(0)}[a,b]</math> або <math>C(a,b)</math>) . [[Норма (математика)|Норма]] в цьому просторі визначається так:

: <math>||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</math>

== Властивості ==

* Якщо послідовність <math>x_n</math> елементів з <math> {\mathrm C}[a,b]</math> збігається в цьому просторі до деякої граничної функції <math>x(t)</math>, то <math> x_n \rightrightarrows x</math> при <math>n\to\infty</math>.
** Звідси: <math> {\mathrm C}[a,b]</math>&nbsp;— [[банахів простір]].
* Простір неперервних функцій [[Сепарабельний простір|сепарабельний]]: [[Зліченна множина|зліченну]] [[Щільна множина|всюди щільну множину]] в ньому утворює множина всіх [[многочлен]]ів з [[Раціональне число|раціональними]] коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок [[Теорема Веєрштрасса — Стоуна|апроксимаційної теореми Веєрштрасса]].
* В <math> {\mathrm C}[a,b]</math> не виконується [[Правило паралелограма|тотожність паралелограма]], тому норма в ньому не породжує ніякого [[скалярний добуток]].

== Варіації та узагальнення ==
Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх [[Замикання (топологія)|замиканнями]]. У разі некомпактної множини максимум треба замінити [[Точна верхня і нижня межі множин|точною верхньою гранню]].

Отже, простором неперервних обмежених функцій ([[Вектор-функція|вектор-функцій]]) <math>C(X,Y)</math> називають множину всіх неперервних обмежених функцій <math>x:X\to Y</math> зі введеною на ній нормою:

: <math>\|x\|_{C(X,Y)} = \sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.</math>

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

: <math>\|x\|=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt</math>

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює [[Банахів простір|повного лінійного простору]]. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність <math>x_n</math>

: <math>
x_n(t)=
\begin{cases}
 1, \quad t \geqslant \frac{1}{n} \\
 nt,\quad t \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \\
 -1,\quad t \leqslant -\frac{1}{n}
\end{cases}
</math>

Його [[Фундаментальна послідовність|поповненням]] є <math>L_1[a,b]</math>&nbsp;— [[Простір Lp|простір сумованих функцій]].

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
* {{Колмогоров.Фомин}}
* {{Книга
|автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Л. А. Люстерник]], В. И. Соболев
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Наука (видавництво)|Наука]]
|рік = [[1965]]
|сторінки =
|сторінок =
|ISBN =
|isbn2 =
|назва = Элементы функционального анализа
}}
* {{Книга
|автор = {{нп|Йосіда Косаку|Иосида К.||Kōsaku Yosida}}
|видання =
|місце = {{М.}}
|видавництво = Мир
|рік = [[1967]]
|сторінок =
|ISBN =
|назва = Функциональный анализ
}}
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Топологічні простори функцій]]