Перегляд вихідного коду сторінки Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці

'''Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці''' — [[теорія збурень]], де [[гамільтоніан]] не залежить від часу. Теорія запропонована [[Ервін Шредінгер|Шредінгером]] в 1926 році. Теорія може бути застосована для досить слабких збурень: <math> H = H_0 + \lambda H_1 </math>, при цьому параметр <math> \lambda </math> повинен бути настільки маленьким, щоб збурення не дуже спотворювало незбурений [[енергетичний спектр|спектр]] <math> H^0 </math>.

==Невироджений спектр==
В теорії збурень рішення представляється у вигляді розкладання

: <math>|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,</math>

: <math>E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...</math>

Звичайно, має бути вірне [[Рівняння Шредінгера]]:

: <math> H|n\rangle = E_n|n\rangle.</math>

Підставляючи розкладання в це рівняння, отримаємо

: <math>(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) = </math>
: <math> (E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle + ...)</math>

Збираючи складові однакового порядку по <math>\lambda</math>, отримаємо послідовності рівнянь

: <math> H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle, </math>

: <math>H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle, </math>

: <math>H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.</math>

і т.&nbsp;д. Ці рівняння повинні вирішуватися послідовно для отримання <math> E^k_n </math> и <math> n^k </math>. Доданок з індексом <math> k = 0 </math> — це рішення для незбуреного рівняння Шредінгера, тому й говорять також про «наближення нульового порядку». Аналогічно кажуть про «наближення k-го порядку», якщо розраховують рішення до доданків <math> E^k_n </math> і <math> n^k </math>.

З другого рівняння отримуємо, що можна визначати однозначно рішення для <math> n^1 </math> тільки з додатковими умовами, так як кожна [[лінійна комбінація]] <math> n^1 </math> і <math> n^0 </math> є рішенням. Виникає питання про нормалізацію. Ми можемо припустити, що <math>\langle n^0|n^0\rangle = 1</math>, але в той же час з нормування точного рішення слід <math>\langle n|n\rangle = 1</math>. Тоді в першому порядку (по параметру λ) для умови нормування потрібно покласти <math>\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0</math>. Оскільки вибір фази в квантовій механіці довільний, можна без втрати спільності сказати, що число <math>\langle n^0|n\rangle</math> дійсне. Тому <math>\langle n^0|n^1\rangle = -\langle n^0|n^1\rangle </math>, і, як наслідок, накладається додаткова умова що набуде вигляду:

: <math>\langle n^0|n^1\rangle = 0.</math>

Так як необурений стан <math> n^0 </math> повинен бути [[Норма (математика)|нормований]], відразу слід

: <math>\lambda\langle n^0|n^1\rangle + \lambda^2\langle n^0|n^2\rangle + \lambda^3\langle n^0|n^3\rangle + \ldots = 0</math>

і з цього

<math>\langle n^0|n^k\rangle = \delta_{0k}.</math>

Отримуємо поправку в першому порядку

: <math>E^1_n = \langle n^0| H_1|n^0\rangle,</math>

: <math>|n^1\rangle = \sum_{m\neq n} \frac{\langle m^0|H_1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}|m^0\rangle,</math>

і для поправки енергії в другому порядку

: <math>E^2_n = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m^0|H_1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}.</math>

== Джерела ==
{{книга
 |автор         = Landau L. D., Lifschitz E. M.
 |заголовок      = Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory
 |издание       = 3rd
 |isbn          = 0-08-019012-X
}}

{{Ізольована стаття|сирота1}}
[[Категорія:Квантова механіка]]
[[Категорія:Теорія збурень]]