Перегляд вихідного коду сторінки Стала простих чисел

{{unibox}}'''Ста́ла прости́х чи́сел'''&nbsp;— це [[дійсне число]] <math>\rho</math>, <math>n</math>-та двійкова цифра якого дорівнює 1, якщо <math>n</math> є [[Просте число|простим]], і 0, якщо ''n''&nbsp;— [[Складене число|складене]] або 1.

Іншими словами, <math>\rho</math> є просто числом, [[Двійкова система числення|двійковий розклад]] якого відповідає [[Характеристична функція|індикаторній функції]] множини [[Просте число|простих чисел]]. Тобто

: <math> \rho = \sum_{p} \frac{1}{2^p} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_{\mathbb{P}}(n)}{2^n}</math>

де <math>p</math> означає просте число, а <math>\chi_{\mathbb{P}}</math> є характеристичною функцією простих чисел.

Початкові знаки десяткового подання числа ''ρ'': <math> \rho = 0{,}414682509851111660248109622\ldots</math> ({{OEIS|A051006}})

Початкові знаки двійкового подання: <math> \rho = 0{,}011010100010100010100010000\ldots_2 </math> ({{OEIS|A010051}})

== Ірраціональність ==
Легко показати, що число <math>\rho</math> [[Ірраціональні числа|ірраціональне]]<ref>{{Cite book|last=Hardy|first=G. H.|url=https://www.worldcat.org/oclc/214305907|title=An introduction to the theory of numbers|date=2008|publisher=Oxford University Press|others=E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, Joseph H. Silverman|isbn=978-0-19-921985-8|edition=6th|location=Oxford|oclc=214305907}}</ref>. Щоб побачити це, припустимо, що воно раціональне.

Позначимо <math>k</math>-й знак двійкового подання <math>\rho</math> через <math>r_k</math>. Тоді, оскільки <math>\rho</math> за припущенням раціональне, повинні існувати додатні числа <math>N</math> і <math>k</math>, такі, що <math>r_n=r_{n+ik}</math> для всіх <math>n > N</math> і всіх <math>i \in \mathbb{N}</math>.

Оскільки простих чисел нескінченно багато, ми можемо вибрати просте <math>p > N</math>. За визначенням ми знаємо, що <math>r_p=1</math>. Як було зазначено вище, має виконуватися <math>r_p=r_{p+ik}</math> для будь-якого <math>i \in \mathbb{N}</math>. Розглянемо випадок <math>i=p</math>. Ми маємо <math>r_{p+i \cdot k}=r_{p+p \cdot k}=r_{p(k+1)}=0</math>, оскільки <math>p(k+1)</math> складене, бо <math>k+1 \geq 2</math>. Оскільки <math>r_p \neq r_{p(k+1)}</math>, ми маємо констатувати, що <math>\rho</math>&nbsp;— ірраціональне.

== Примітки ==
{{примітки}}

== Посилання ==
* {{Mathworld|urlname=PrimeConstant|title=Стала простих чисел}}
{{Ірраціональні числа}}
[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:Ірраціональні числа]]
[[Категорія:Прості числа]]