Стала простих чисел

Шаблон:UniboxСта́ла прости́х чи́сел — це дійсне число $ρ$ , $n$ -та двійкова цифра якого дорівнює 1, якщо $n$ є простим, і 0, якщо n — складене або 1.

Іншими словами, $ρ$ є просто числом, двійковий розклад якого відповідає індикаторній функції множини простих чисел. Тобто

ρ = \sum_{p} \frac{1}{2^{p}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{χ_{ℙ} (n)}{2^{n}}

де $p$ означає просте число, а $χ_{ℙ}$ є характеристичною функцією простих чисел.

Початкові знаки десяткового подання числа ρ: $ρ = 0, 414682509851111660248109622 \dots$ (Шаблон:OEIS)

Початкові знаки двійкового подання: $ρ = 0, 011010100010100010100010000 \dots_{2}$ (Шаблон:OEIS)

Ірраціональність

Легко показати, що число $ρ$ ірраціональне^[1]. Щоб побачити це, припустимо, що воно раціональне.

Позначимо $k$ -й знак двійкового подання $ρ$ через $r_{k}$ . Тоді, оскільки $ρ$ за припущенням раціональне, повинні існувати додатні числа $N$ і $k$ , такі, що $r_{n} = r_{n + i k}$ для всіх $n > N$ і всіх $i \in ℕ$ .

Оскільки простих чисел нескінченно багато, ми можемо вибрати просте $p > N$ . За визначенням ми знаємо, що $r_{p} = 1$ . Як було зазначено вище, має виконуватися $r_{p} = r_{p + i k}$ для будь-якого $i \in ℕ$ . Розглянемо випадок $i = p$ . Ми маємо $r_{p + i \cdot k} = r_{p + p \cdot k} = r_{p (k + 1)} = 0$ , оскільки $p (k + 1)$ складене, бо $k + 1 \geq 2$ . Оскільки $r_{p} \neq r_{p (k + 1)}$ , ми маємо констатувати, що $ρ$ — ірраціональне.