Перегляд вихідного коду сторінки Стала Хінчина

{{unibox}}'''Стала Хінчина'''&nbsp;— [[Дійсне число|дійсна]] константа <math>K_0\approx2{,}685452</math>, що дорівнює [[Середнє геометричне|середньому геометричному]] елементів розкладу в [[ланцюговий дріб]] будь-якого з [[Майже скрізь|майже всіх]] дійсних чисел.

Сталу Хінчина назвали на честь {{Нп|Хінчин Олександр Якович|О. Я. Хінчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}}, який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року<ref>{{статья|автор=Хинчин А. Я.|заглавие=Metrische Kettenbruchprobleme|издание=Compositio Mathematica|год=1935|том=1|ссылка=https://eudml.org/doc/88580|страницы=361—382|язык=de}}{{MR|1556899}}</ref>. Позначення <math>K_0</math>{{sfn|Bailey, Borwein & Crandall|1997|name=bbc}} або <math>K</math><ref name="mw" /> відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

== Визначення ==
Для [[Майже скрізь|майже будь-якого]] дійсного числа <math>x</math> елементи <math>a_i</math> його розкладу в [[ланцюговий дріб]] мають скінченне [[середнє геометричне]], яке не залежить від <math>x</math>{{Sfn|Хинчин|1960}}. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

: <math>x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;</math> ,

де <math>a_0</math> ціле, а решта <math>a_i</math> натуральні, то для майже всіх <math>x</math> виконується

: <math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 a_2 ... a_n \right) ^{1/n} = K_0 = 2{,}6854520010\ldots </math> ({{OEIS|id=A002210}}).

При цьому сталу Хінчина <math>K_0</math> можна виразити у вигляді нескінченного добутку

: <math>K_0 = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r}</math> .

== Значимість ==
Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа&nbsp;— це послідовність [[Натуральні числа|натуральних чисел]], і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина&nbsp;— та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел,&nbsp;— це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб<ref>{{Cite web|url=http://homepages.umflint.edu/~mclemanc/Files/McLemanCoolestNumbers.pdf|title=The Ten Coolest Numbers|last=McLeman, Cam.|accessdate=2016-01-18|archiveurl=https://www.webcitation.org/65hRvSAzA?url=http://homepages.umflint.edu/~mclemanc/Files/McLemanCoolestNumbers.pdf|archivedate=2012-02-24|deadlink=no}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121203094336/http://homepages.umflint.edu/~mclemanc/Files/McLemanCoolestNumbers.pdf |date=2012-12-03 }}</ref>, витончений і глибокий результат<ref>{{статья|заглавие=Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения)|издание=УМН|год=1955|том=10|ссылка=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8011|выпуск=3(65)|страницы=197–212}}</ref>, один з найбільш вражаючих фактів у математиці<ref>{{книга-ру|автор=Finch, Steven R.|заглавие=Mathematical Constants|издательство=Cambridge University Press|год=2003|isbn=978-0521818056|pages=60|ссылка=https://books.google.ru/books?id=Pl5I2ZSI6uAC&pg=PA60|примечание=[https://arxiv.org/abs/2001.00578 Errata and Addenda]}}</ref>.

== Схема доведення ==
Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить {{Нп|Чеслав Риль-Нарджевський|Чеславу Риль-Нарджевському|pl|Czesław Ryll-Nardzewski}}<ref name="RyllNardzewski">{{статья|автор=Ryll-Nardzewski, Czesław.|заглавие=On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)|издание=Studia Mathematica|год=1951|язык=en|ссылка=https://eudml.org/doc/216533|volume=12|pages=74–79}} {{MR|13:757b}}.</ref>, яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував [[Ергодичність|ергодичної теорії]]<ref name="kac">{{книга-ру|автор=Kac, Marc.|заглавие=Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory|издательство=Math. Association of America, and John Wiley & Sons|год=1959|isbn=978-0883850121}}</ref>.

Оскільки перший елемент <math>a_0</math> розкладу числа <math>x</math> у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки [[міра Лебега]] раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку <math>(0,1)</math>, Тобто множиною <math>I=[0,1]\setminus\Q</math>. Ці числа мають [[Бієкція|взаємно-однозначну відповідність]] з ланцюговими дробами вигляду <math>[0;a_1,a_2,a_3\ldots]</math>. Введемо [[ перетворення Гауса |відображення Гаусса]] <math>T\colon I\to I</math> :

: <math>T([0;a_1,a_2,\ldots])=[0;a_2,a_3,\ldots]</math> .

Для кожної [[Борелівська сигма-алгебра|борелівської]] підмножини <math>E</math> множини <math>I</math> також визначимо [[Розподіл Ґауса — Кузьміна|міру Гаусса&nbsp;— Кузьміна]]:

: <math>\mu(E)=\frac{1}{\ln 2}\int_E\frac{dx}{1+x}</math> .

тоді <math>\mu</math>&nbsp;— [[Імовірність|імовірнісна міра]] на сигма-алгебрі борелівських підмножин <math>I</math>. Міра <math>\mu</math> еквівалентна мірі Лебега на <math>I</math>, але володіє додатковою властивістю: перетворення <math>T</math> зберігає міру <math>\mu</math>. Більше того, можна показати, що <math>T</math>&nbsp;— ергодичне перетворення вимірюваного простору <math>I</math>, забезпеченого мірою <math>\mu</math> (це найскладніший момент у доведенні). Тоді [[Теорема Біркгофа - Хінчина|ергодична теорема]] каже, що для будь-якої <math>\mu</math> -інтегровної функції <math>f</math> на <math>I</math> середнє значення <math>f \left( T^k x \right)</math>&nbsp;— однакове майже для всіх <math>x</math>:

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\int_I f\,d\mu</math> для майже всіх <math>x\in I</math> за мірою <math>\mu</math><ref name="kac"/>.

Вибираючи функцію <math>f([0;a_1,a_2,\ldots]) = \ln a_1</math>, отримуємо:

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\ln(a_k)=\int_I f \, d\mu = \sum_{r=1}^\infty\ln r\frac{\ln\bigl(1+\frac{1}{r(r+2)}\bigr)}{\ln 2}</math>

для майже всіх <math>[0;a_1,a_2,\ldots]</math> з <math>I</math>.

Беручи [[Показникова функція#Експонента|експоненту]] від обох частин рівності, отримуємо зліва [[середнє геометричне]] перших <math>n</math> елементів ланцюгового дробу при <math>n\to\infty</math>, а праворуч&nbsp;— постійну Хінчина<ref name="kac"/>.

== Розкладання в ряд ==
Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду<ref>{{Sfn0|Bailey, Borwein & Crandall|1997}}. В цій статті використано дещо відмінне від стандартного визначення дзета-функції Гурвіца.</ref>:

: <math>\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
</math> ,

або, розділяючи члени ряду,

: <math>\ln K_0 = \frac{1}{\ln 2} \left[
-\sum_{k=2}^N \ln \left(\frac{k-1}{k} \right) \ln \left(\frac{k+1}{k} \right)
+ \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n,N+1)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
\right]
</math> ,

де <math>N</math>&nbsp;— деяке фіксоване ціле число, <math>\zeta(s,q)</math>&nbsp;— [[дзета-функція Гурвіца]]. Обидва ряди швидко збігаються, тому що <math>\zeta(n)-1</math> швидко наближається до нуля зі зростанням <math>n</math>. Можна також дати розклад через [[дилогарифм]]{{sfn|Bailey, Borwein & Crandall|1997|name=bbc}}:

: <math>\ln K_0 = \ln 2 + \frac{1}{\ln 2} \left[
\mathrm{Li}_2 \left( \frac{-1}{2} \right) + 
\frac{1}{2}\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mathrm{Li}_2 \left( \frac{4}{k^2} \right)
\right]</math> .

== Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел ==
[[Файл:Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg|міні|320x320пкс| Середні геометричні від перших <math>n</math> елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел залежно від <math>n</math>. Зелений графік відповідає числу <math>\sin1</math>&nbsp;— схоже, що він збігається до сталої Хінчина, але це не доведено. Жовтий графік відповідає описаному в тексті числу, спеціально побудованому так, щоб графік сходився до сталої Хінчина. Червоний і синій графіки відповідають числу ''[[E (число)|e]]'' і числу <math>\sqrt{31}</math>, Відповідно; вони не збігаються до сталої Хінчина. ]]
Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює <math>K_0</math> для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа <math>x</math>, крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню<ref name="mw">{{MathWorld|urlname=KhinchinsConstant|title=Khinchin's constant}}</ref><ref>{{статья|автор=Wieting T. |заглавие=A Khinchin Sequence|издание=Proc. of the American Mathematical Society|год=2008|volume=136, no. 3|pages=815—824|doi=10.1090/S0002-9939-07-09202-7}} {{MR|2361853}}. См. {{OEIS|A089618}}.</ref>. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується [[Розподіл Ґауса — Кузьміна|статистика Гаусса&nbsp;— Кузьміна]].

До чисел <math>x</math>, про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться [[раціональні числа]], [[Квадратична ірраціональність|квадратичні ірраціональності]] (корені всіх [[Квадратне рівняння|квадратних рівнянь]] з цілими коефіцієнтами) і [[E (число)|основа натурального логарифма]] <math>e</math>. Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють [[Міра множини|множину міри нуль]], і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих <math>n</math>), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться [[Число пі|число ''π'']], [[Стала Ейлера—Маскероні|стала Ейлера&nbsp;— Маскероні]], число <math>\sin1</math>, <math>\sqrt[3]{2}</math>, сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, [[Алгебраїчні числа|алгебраїчним]] чи [[Трансцендентне число|трансцендентним]] числом<ref name="mw"/>.

== Середні степеневі ==
Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок [[Середнє степеневе|середнього степеневого]] елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності <math>\{a_n\}</math> середнє степеня <math>p</math> дорівнює

: <math>K_p=\lim_{n\to\infty} \left[\frac{1}{n} 
\sum_{k=1}^n a_k^p \right]^{1/p}</math> .

Якщо <math>\{a_n\}</math>&nbsp;— елементи розкладу числа <math>x</math> у ланцюговий дріб, то <math>K_p</math> для будь-якого <math>p<1</math> і майже всіх <math>x</math> задаються формулою

: <math>K_p=\left[\sum_{k=1}^\infty -k^p 
\log_2\left( 1-\frac{1}{(k+1)^2} \right)
\right]^{1/p}</math> .

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за [[Розподіл Ґауса — Кузьміна|статистикою Гаусса&nbsp;— Кузьміна]] і відповідає вибору функції <math>f([0;a_1,a_2,\ldots]) = a_1^p</math> у вищевикладеному доведенні{{sfn|Bailey, Borwein & Crandall|1997|name=bbc}}<ref name="RyllNardzewski"/>. Можна показати, що значення <math>K_0</math> виходить в границі <math>p\to0</math>.

Зокрема, можна отримати [[середнє гармонійне]] елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

: <math>K_{-1}=1{,}74540566240\ldots</math> ({{OEIS|A087491}})

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{книга-ру|автор=[[Хінчин Олександр Якович|Хинчин А. Я.]]|заглавие=Цепные дроби|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm|место=М.|издательство=Физматлит|год=1960|страниц=112|ref=Хинчин}}
* {{статья|автор=Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E.|заглавие=On the Khinchine constant|издание=Mathematics of Computation|год=1997|том=66|номер=217|страницы=417—431|язык=en|doi=10.1090/s0025-5718-97-00800-4|ref=Bailey, Borwein & Crandall}} {{MR|1377659}}.

== Посилання ==
* [http://www.maia.ub.es/dsg/khinchin/ 1000000 знаків сталої Хінчина після коми] на сайті факультету математики [[Барселонський університет|Барселонського університету]]
[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:Неперервні дроби]]