Перегляд вихідного коду сторінки Стала Каталана

{{unibox}}{{не плутати|Число Каталана}}
'''Стала Каталана''' ({{lang-en|Catalan's constant}})&nbsp;— число, що зустрічається в різних застосуваннях [[Математика|математики]], зокрема, в [[Комбінаторика|комбінаториці]]. Найчастіше позначається літерою ''G'', рідше&nbsp;— ''K'' або ''C''. Може бути визначена як сума нескінченного [[Знакозмінний ряд|знакозмінного ряду]]:

: <math>G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots</math>

Її числове значення наближено дорівнює<ref name="gutenberg">{{Cite web|url=http://www.gutenberg.org/etext/812|title=Catalan's Constant to 1,500,000 Places|format=HTML|website=|publisher=gutenberg.org|date=|accessdate=2011-02-05}}</ref>:

: ''G'' = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … ({{OEIS|A006752}})

Невідомо, чи є ''G'' [[Раціональні числа|раціональним]], чи [[Ірраціональні числа|ірраціональним]] числом.

Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика {{Нп|Ежен Шарль Каталан|Ежена Шарля Каталана|ru|Каталан, Эжен Шарль}}.

== Зв'язок з іншими функціями ==
Стала Каталана є частковим випадком {{Нп|Бета-функція Діріхле|бета-функції Діріхле|ru|Бета-функция Дирихле}}:

: <math> G = \beta(2) \; . </math>

Вона також відповідає частковому значенню [[Функція Клаузена|функції Клаузена]], пов'язаної з уявною частиною [[Дилогарифм|дилогарифму]]

: <math> G = \mathrm{Cl}_2(\pi/2) \; = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2(e^{\mathrm{i}\pi/2}) \right) = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2({\mathrm{i}}) \right)\; . </math>

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями [[Тригама-функція|тригама-функції]]) дробових аргументів

: <math> \psi_{1}\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G \; ,</math>

: <math> \psi_{1}\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G \; ,</math>

так що

: <math> G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_{1}\left(\tfrac14\right) - \psi_{1}\left(\tfrac34\right)\right] \; .</math>

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> і сталою Каталана ''G''.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення {{Нп|G-функція Барнса|G-функції Барнса|ru|G-функция Барнса}} і [[Гамма-функція|гамма-функції]]:

: <math>G=4\pi \ln\left( \frac{ G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8}) }{ G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8}) } \right) +4 \pi \ln \left( \frac{ \Gamma(\tfrac{3}{8}) }{ \Gamma(\tfrac{1}{8}) } \right) +\frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \, (2-\sqrt{2})} \right) .</math>

== Інтегральні подання ==
Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана ''G'' через інтеграли від [[Елементарні функції|елементарних функцій]]:

: <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \; ,</math>

: <math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \; ,</math>

: <math>G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt \; ,</math>

: <math> G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\,dx \; ,</math>

: <math> G = \tfrac12 \int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}\,dx \; .</math>

Вона також може бути подана через інтеграл від повного [[Еліптичні інтеграли|еліптичного інтеграла]] першого роду K(''x''),

: <math> G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \; .</math>

== Швидко збіжні ряди ==
Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

: <math>G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.</math>

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали [[Срініваса Рамануджан]] для першої формули<ref>B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)</ref> і Девід Бродгерст (''David J. Broadhurst'') для другої формули<ref>D. J. Broadhurst, «[http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067 Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)]», (1998) ''arXiv'' math.CA/9803067</ref>. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала [[Карацуба Катерина Анатоліївна|К.&nbsp;А.&nbsp;Карацуба]]<ref>{{Стаття|author=E. A. Карацуба|title=Быстрое вычисление трансцендентных функций|видання=Проблемы передачи информации|том=27|номер=4|pages=87—110|date=1991}}</ref><ref>E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)</ref>.

== Ланцюгові дроби ==
[[Ланцюговий дріб]] сталої Каталана ({{OEIS|A014538}}) має такий вигляд:

: <math>G = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots] =</math>
: <math>= 0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\ldots}}}}\;</math>

Відомі такі [[Ланцюговий дріб|узагальнені ланцюгові дроби]] для сталої Каталана:

: <math>2G = 2 - \cfrac{1}{3+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2^2}{3+\cfrac{4^2}{1 + \cfrac{4^2}{3+\cfrac{6^2}{1+\cfrac{6^2}{3+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{4n^2}{1+\cfrac{4n^2}{3+\dots}}}}}}}}}} </math>

: <math>2G = 1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{2} + \cfrac{1^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1\cdot2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2\cdot3}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{3^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{n\cdot (n+1)}{\cfrac{1}{2}+\dots}}}}}}}}} </math><ref name="Mathematical Constants">Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6</ref>

== Обчислення десяткових цифр ==
Число відомих значущих цифр сталої Каталана ''G'' значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів<ref>X. Gourdon, P. Sebah, [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]</ref>.
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+'''Число відомих значущих цифр сталої Каталана ''G'' '''
!Дата
!Число значущих цифр
!Автори обчислення
|-
|1865
|14
|[[Ежен Шарль Каталан]]
|-
|1877
|20
|{{Нп|Джеймс Вітбред Лі Глейшер||ru|Глейшер, Джеймс Уитбред Ли}}
|-
|1913
|32
|Джеймс Вітбред Лі Глейшер
|-
|1990
|{{Nts|20,000}}
|Грег Фі (Greg J. Fee)
|-
|1996
|{{Nts|50,000}}
|Грег Фі
|-
|1996, 14 серпня
|{{Nts|100,000}}
|Грег Фі і {{Нп|Симон Плуфф||en|Simon Plouffe}}
|-
|1996, 29 вересня
|{{Nts|300,000}}
|Томас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)
|-
|1996
|{{Nts|1,500,000}}
|Томас Папаніколау
|-
|1997
|{{Nts|3,379,957}}
|Патрік Демішель (Patrick Demichel)
|-
|1998, 4 січня
|{{Nts|12,500,000}}
|Ксав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)
|-
|2001
|{{Nts|100,000,500}}
|Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)
|-
|2002
|{{Nts|201,000,000}}
|Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа
|-
|2006, жовтень
|{{Nts|5,000,000,000}}
|Шиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)
|-
|2008, серпень
|{{Nts|10,000,000,000}}
|Шиґеру Кондо і Стів Пальяруло<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]</ref>
|-
|2009, 31 січня
|{{Nts|15,510,000,000}}
|Александер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)<ref name="yee_chan">[http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html Large Computations]</ref>
|-
|2009, 16 квітня
|{{Nts|31,026,000,000}}
|Александер Йї і Реймонд Чен
|}

== Див. також ==
* [[Дзета-функція Рімана]]
* [[Бета-функція Діріхле]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* Victor Adamchik, ''[http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant]''
* {{статья
|издание=Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA)
|том=21
|номер=3
|страницы=1—10
|ссылка=http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
|заглавие=A certain series associated with Catalan's constant
|id={{MathSciNet|1929434}}
|язык=en
|тип=journal
|автор=Victor Adamchik
|год=2002}}
* Simon Plouffe, ''[http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html A few identities (III) with Catalan]'', (1993) <!--''(Provides over one hundred different identities)''.-->
* Simon Plouffe, ''[http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html A few identities with Catalan constant and Pi²]'', (1999) <!--''(Provides a graphical interpretation of the relations)''-->
* {{MathWorld|title=Catalan's Constant|urlname=CatalansConstant}}
* [http://functions.wolfram.com/Constants/Catalan/06/01/ Catalan constant: Generalized power series] на сайте ''Wolfram Functions''
* Greg Fee, ''[http://www.gutenberg.org/etext/682 Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)]'' (1996) <!--''(Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.)''.-->
* {{статья
|заглавие=A class of series acceleration formulae for Catalan's constant
|doi=10.1023/A:1006945407723
|издание={{нп5|The Ramanujan Journal}}
|том=3
|номер=2
|страницы=159—173
|id={{MathSciNet|1703281}}
|язык=en
|тип=journal
|автор=David M. Bradley
|год=1999}}
* {{Cite arxiv
|author=David M. Bradley
|title=A class of series acceleration formulae for Catalan's constant
|eprint=0706.0356
|year=2007
}}
[[Категорія:Числа з власними іменами]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Математичні константи]]