Стала Каталана

Шаблон:UniboxШаблон:Не плутати Стала Каталана (Шаблон:Lang-en) — число, що зустрічається в різних застосуваннях математики, зокрема, в комбінаториці. Найчастіше позначається літерою G, рідше — K або C. Може бути визначена як сума нескінченного знакозмінного ряду:

$G=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

Її числове значення наближено дорівнює:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (Шаблон:OEIS)

Невідомо, чи є G раціональним, чи ірраціональним числом.

Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика Шаблон:Нп.

Зв'язок з іншими функціями

Стала Каталана є частковим випадком Шаблон:Нп:

$G=\beta (2).$

Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму

$G={\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\pi /2)=\mathrm{I}\mathrm{m}({\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(e^{\mathrm{i}\pi /2}))=\mathrm{I}\mathrm{m}({\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(\mathrm{i})).$

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції) дробових аргументів

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G,$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G,$

так що

$G=\frac{1}{16}[{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)-{\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)].$

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією ${\psi }_1$, ${\pi }^2$ і сталою Каталана G.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення Шаблон:Нп і гамма-функції:

$G=4\pi \ln \left(\frac{G(\frac{3}{8})G(\frac{7}{8})}{G(\frac{1}{8})G(\frac{5}{8})}\right)+4\pi \ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{8})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{8})}\right)+\frac{\pi }{2}\ln \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}\right).$

Інтегральні подання

Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt,$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy,$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt,$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan x}{x}dx,$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\cosh x}dx.$

Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтеграла першого роду K(x),

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(x)dx.$

Швидко збіжні ряди

Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

$G=\frac{\pi }{8}\ln (\sqrt{3}+2)+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}.$

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формули і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формули. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. Карацуба.

Ланцюгові дроби

Ланцюговий дріб сталої Каталана (Шаблон:OEIS) має такий вигляд:

$G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=$

$=0+\frac{1}{1+\frac{1}{10+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\dots }}}}$

Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:

$2G=2-\frac{1}{3+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{3+\frac{4^2}{1+\frac{4^2}{3+\frac{6^2}{1+\frac{6^2}{3+\frac{\dots }{\dots +\frac{4n^2}{1+\frac{4n^2}{3+\dots }}}}}}}}}}$

$2G=1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1^2}{\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2}{\frac{1}{2}+\frac{2^2}{\frac{1}{2}+\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{2}+\frac{3^2}{\frac{1}{2}+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^2}{\frac{1}{2}+\frac{n\cdot (n+1)}{\frac{1}{2}+\dots }}}}}}}}}$

Обчислення десяткових цифр

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів.

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G

Дата	Число значущих цифр	Автори обчислення
1865	14	Ежен Шарль Каталан
1877	20	Шаблон:Нп
1913	32	Джеймс Вітбред Лі Глейшер
1990	Шаблон:Nts	Грег Фі (Greg J. Fee)
1996	Шаблон:Nts	Грег Фі
1996, 14 серпня	Шаблон:Nts	Грег Фі і Шаблон:Нп
1996, 29 вересня	Шаблон:Nts	Томас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)
1996	Шаблон:Nts	Томас Папаніколау
1997	Шаблон:Nts	Патрік Демішель (Patrick Demichel)
1998, 4 січня	Шаблон:Nts	Ксав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)
2001	Шаблон:Nts	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)
2002	Шаблон:Nts	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа
2006, жовтень	Шаблон:Nts	Шиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)
2008, серпень	Шаблон:Nts	Шиґеру Кондо і Стів Пальяруло
2009, 31 січня	Шаблон:Nts	Александер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)
2009, 16 квітня	Шаблон:Nts	Александер Йї і Реймонд Чен

Див. також

• Дзета-функція Рімана
• Бета-функція Діріхле

Посилання

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant
• Шаблон:Статья
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi², (1999)
• Шаблон:MathWorld
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite arxiv