Перегляд вихідного коду сторінки Стала Гаусса

{{confused|{{нп|Гравітаційна стала Гаусса|Гравітаційна стала Гаусса|en|Gaussian gravitational constant}}}}
{{more footnotes|date=December 2015}}
{{unibox}}В [[Математика|математиці]] '''стала Гаусса''' (позначається як <math>G</math>) визначається як [[Обернене число|обернене]] [[середнє арифметико-геометричне]] з 1 та [[Квадратний корінь з двох|квадратного кореня з 2]]:

:<math>{\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}8346268\dots.}</math>

[[Константа|Стала]] була названа на честь [[Карл Фрідріх Гаусс|Карла Фрідріха Гаусса]], який у 1799 році<ref>Nielsen, Mikkel Slot. (July 2016). Undergraduate convexity : problems and solutions. p. 162. ISBN 9789813146211. OCLC 951172848.</ref> довів, що

:<math>G={\frac  {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac  {{\rm d}x}{{\sqrt  {1-x^{4}}}}},</math>

а отже

:<math>G=\frac {1}{2\pi}\mathrm{B} \left (\frac {1}{4},\frac {1}{2}\right),</math>

де <math>B</math> позначає [[Бета-функція|бета-функцію]].

==Зв'язок з іншими сталими==
Стала Гаусса може бути використана для обчислення [[Гамма-функція|гамма-функції]] при значенні аргументу {{sfrac|1|4}}:

:<math>{\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}.</math>

Альтернативний варіант:

:<math>{\displaystyle G={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}{}^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}},</math>

і, оскільки <math>\pi</math> та <math>\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)</math> [[Алгебраїчна незалежність|алгебраїчно незалежні]], то стала Гаусса є [[Трансцендентне число|трансцендентною]].

==Лемніскатні сталі==
Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.

Гаусс та інші<ref>{{citation|title=Applications of generalized trigonometric functions with two parameters|last1=Kobayashi|first1=Hiroyuki|last2=Takeuchi|first2=Shingo|journal=Communications on Pure & Applied Analysis|arxiv=1903.07407|year=2019|volume=18|issue=3|pages=1509–1521|doi=10.3934/cpaa.2019072}}</ref><ref>{{citation|title=Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1|last1=Asai|first1=Tetsuya|arxiv=0707.3711|year=2007}}</ref> використовували еквівалентний запис:

:<math> \varpi = \pi G ,</math>

який є [[Лемніскатна еліптична функція|лемніскатною сталою]].

Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" <math>A</math> та <math>B</math>:<ref name="todd">{{Cite journal|url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/360569.360580|title=The lemniscate constants|last=Todd|first=John|date=1975|journal=Communications of the ACM|volume=18|pages=14–19|doi=10.1145/360569.360580}}</ref>

: <math>\begin{aligned}
A &= \tfrac12\pi G = \tfrac12\varpi = \tfrac14 \Beta \bigl(\tfrac14,\tfrac12\bigr), \\[3mu]
B &= \frac{1}{2G} =\tfrac14\Beta \bigl(\tfrac12,\tfrac34\bigr).
\end{aligned}</math>

Вони виникають при знаходженні [[Довжина кривої|довжини дуги]] [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]]. <math>A</math> та <math>B</math> є трансцендентними, що було доведено {{нп|Теодор Шнайдер|Теодором Шнайдером|en|Theodor Schneider}} відповідно у 1937 та 1941 роках.<ref name="todd" />

==Інші формули==
Формула для <math>G</math> у термінах [[Тета-функція|тета-функцій Якобі]] має наступний вигляд:

: <math>G = \vartheta_{01}^2\left({\rm e}^{-\pi}\right), </math>

а також у вигляді швидкозбіжного ряду:

: <math>G = \sqrt[4]{32}{\rm e}^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n {\rm e}^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.</math>

Стала також задається [[Нескінченний добуток|нескінченним добутком]]

:<math>G = \prod_{m = 1}^\infty \operatorname{th}^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).</math>

Аналогічно за [[Формула Валліса|формулою Валліса]]:<ref>{{cite journal |last1=Hyde |first1=Trevor |year=2014 |title=A Wallis product on clovers |journal=The American Mathematical Monthly |volume=121 |issue=3 |pages=237–243 |url=https://math.uchicago.edu/~tghyde/Hyde%20--%20A%20Wallis%20product%20on%20clovers.pdf |doi=10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 |access-date=2022-05-13 |archive-date=2021-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211016003137/https://math.uchicago.edu/~tghyde/Hyde%20--%20A%20Wallis%20product%20on%20clovers.pdf |url-status=dead }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211016003137/https://math.uchicago.edu/~tghyde/Hyde%20--%20A%20Wallis%20product%20on%20clovers.pdf |date=2021-10-16 }}</ref>

:<math>G = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n-1}{4n} \cdot \frac{4n+2}{4n+1}\right)
= \biggl(\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5}\biggr) \biggl(\frac{7}{8} \cdot \frac{10}{9}\biggr) \biggl(\frac{11}{12} \cdot \frac{14}{13}\biggr) \cdots
</math>

А також вона випливає з визначених інтегралів:

: <math> {\frac{1}{G}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin(x)}\,{\rm d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos(x)}\,{\rm d}x,</math>

: <math> G = \int_0^{\infty}{\frac{{\rm d}x}{\sqrt{\operatorname{ch}(\pi x)}}}.</math>

Стала Гаусса у вигляді [[Ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]] має вигляд  <math>[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, \dots]</math>. ({{OEIS|id=A053002}}).

==Див. також==
* [[Лемніскатна еліптична функція]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Примітки ==
{{примітки}}
*{{mathworld|urlname=GausssConstant|title=Gauss's Constant}}
* Sequences A014549 and A053002 in [[OEIS]]

== Зовнішні посилання ==
* {{Cite web|date=2021-10-17|title=Gauss's constant and where it occurs|url=https://www.johndcook.com/blog/2021/10/17/gauss-constant/|website=www.johndcook.com|language=en-US}}

{{Ірраціональні числа}}

[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:Трансцендентні числа]]