Перегляд вихідного коду сторінки Стала Апері

{{unibox}}'''Ста́ла Апері́''' ({{Lang-en|Apéry's constant}}, {{Lang-fr|Constante d'Apéry}})&nbsp;— [[дійсне число]], що позначається <math>\zeta(3)</math> (іноді <math>\zeta_3</math>), яке дорівнює сумі [[Обернене число|обернених]] до [[Куб (алгебра)|кубів]] цілих додатних чисел і, отже, є частковим значенням [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]]:

: <math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots</math>.

Чисельне значення сталої виражається нескінченним неперіодичним [[Десятковий дріб|десятковим дробом]]<ref name="Plouffe_digits">{{Citation|author=Simon Plouffe|author-link=|year=|title=Zeta(3) or Apery constant to 2000 places|journal=|volume=|pages=|url=http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html|language=English|doi=|format=HTML|access-date=2011-02-08|archive-date=2008-02-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20080205213257/http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/miscellaneousmathematicalconstants/chap97.html}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080205213257/http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/miscellaneousmathematicalconstants/chap97.html |date=2008-02-05 }}</ref>:

: <math>\displaystyle\zeta(3) = </math> 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа на честь [[Роже Апері]], який довів 1978 року, що <math>\zeta(3)</math> є [[Ірраціональні числа|ірраціональним числом]] ({{Не перекладено|теорема Апері||en|Apéry's theorem}}<ref name="Apery">{{Citation|author=Roger Apéry|author-link=|year=1979|title=Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)|journal=Astérisque|volume=61|pages=11–13|url=|language=French|format=|access-date=}}</ref><ref name="Poorten">{{Citation|author=A. van der Poorten|author-link=|year=1979|title=A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=1|pages=195–203|url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|language=English|doi=10.1007/BF03028234|format=PDF|access-date=2011-02-08|archive-date=6 липня 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf |date=2011-07-06 }}</ref>). Початкове доведення мало складний технічний характер, пізніше знайдено простий варіант доведення з використанням [[Поліноми Лежандра|многочленів Лежандра]]. Невідомо, чи є стала Апері [[Трансцендентне число|трансцендентним числом]].

Ця стала давно приваблювала математиків&nbsp;— ще 1735 році [[Леонард Ейлер]]<ref name="Euler0">{{Citation|author=Leonhard Euler|author-link=Леонард Ейлер|year=1741|title=Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735)|journal=Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|volume=8|pages=173–204|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf|language=Latin|format=PDF|access-date=2011-02-09}}</ref><ref name="Euler_Bell">{{Citation|author=Leonhard Euler|author-link=Леонард Ейлер|year=translation by Jordan Bell, 2008|title=Finding the sum of any series from a given general term|journal=arXiv:0806.4096|volume=|pages=|url=http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf|language=English|format=PDF|access-date=2011-02-09}}</ref> обчислив її з точністю до 16 значущих цифр (+1,202056903159594).

== Застосування в математиці і фізиці ==
[[Файл:Two_loop_diagram_producing_zeta3.png|праворуч|міні|250x250пкс| Двопетльова діаграма Фейнмана, результат для якої містить <math>\zeta(3)</math>]]
У математиці стала Апері зустрічається у багатьох застосуваннях. Зокрема, величина, обернена до <math>\zeta(3)</math>, дає ймовірність того, що будь-які три випадковим чином вибраних [[Натуральні числа|додатних цілих числа]] будуть [[Взаємно прості числа|взаємно простими]]&nbsp;— в тому сенсі, що при <math>N\to\infty</math> ймовірність того, що три додатних цілих числа, менших, ніж <math>{\textstyle{N}}</math> (і вибраних випадковим чином) будуть взаємно простими, прямує до <math>1/\zeta(3)</math>.

Стала Апері природним чином виникає в низці задач фізики, зокрема в поправках другого (і вище) порядків до [[Аномальний магнітний момент|аномального магнітного моменту]] [[електрон]]а в [[Квантова електродинаміка|квантовій електродинаміці]]. Наприклад, результат для двопетльової [[Діаграма Фейнмана|діаграми Фейнмана]], зображеної на малюнку, дає <math>6\zeta(3)</math> (тут мається на увазі 4-вимірне інтегрування за імпульсами внутрішніх петель, що містять тільки безмасові [[Віртуальна частинка|віртуальні частинки]], а також відповідне нормування, включно зі степенем імпульсу зовнішньої частки <math>k</math>). Інший приклад&nbsp;— двовимірна [[модель Дебая]].

== Зв'язок з іншими функціями ==
Стала Апері пов'язана з частковим значенням [[Полігамма-функція|полігамма-функції]] другого порядку:

: <math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)</math>

і з'являється в розкладі [[Гамма-функція|гамма-функції]] в [[ряд Тейлора]]:

: <math> \Gamma(1+\varepsilon) 
= e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 
+O(\varepsilon^4) \right]</math> ,

де у вигляді <math>e^{-\gamma\varepsilon}</math> факторизуються внески, що містять [[Стала Ейлера — Маскероні|сталу Ейлера&nbsp;— Маскероні]] <math>{\textstyle{\gamma}}</math>.

Стала Апері також пов'язана зі значеннями [[трилогарифм]]а <math>\mathrm{Li}_3(z)</math> (частковий випадок [[полілогарифм]]а <math>\mathrm{Li}_n(z)</math>):

: <math>\mathrm{Li}_3(1) = \zeta(3)</math> ,
: <math>\mathrm{Li}_3\left(\tfrac12\right) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3)</math>.

== Подання у вигляді рядів ==
Деякі інші ряди, члени яких [[Обернене число|обернені]] кубів натуральних чисел, також виражаються через сталу Апері:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}
= \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right)</math>,

: <math>\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} 
= \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right)</math>.

Інші відомі результати&nbsp;— [[Ряд (математика)|сума ряду]], що містить [[Гармонічне число|гармонічні числа]] <math>{\textstyle{H_k}}</math>:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}</math> ,

а також подвійна сума:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)} </math>.

Для доведення [[Ірраціональні числа|ірраціональності]] <math>\zeta(3)</math> [[Роже Апері]]<ref name="Apery"/> користувався поданням:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}
= \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}}</math>,

де <math>{\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}}</math>&nbsp;— [[біноміальний коефіцієнт]].

1773 року [[Леонард Ейлер]]<ref name="Euler">{{Citation|author=Leonhard Euler|author-link=Леонард Ейлер|year=1773|title=Exercitationes analyticae|journal=Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|volume=17|pages=173–204|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf|language=Latin|format=PDF|access-date=2011-02-08}}</ref> навів подання у вигляді ряду (яке згодом було кілька разів заново відкрито в інших роботах):

: <math>\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]</math>,

у якому значення [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]] парних аргументів можна подати як <math>{\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}}</math>, де <math>{\textstyle{B_{2k}}}</math>&nbsp;— [[числа Бернуллі]].

[[Срініваса Рамануджан|Рамануджан]] дав кілька подань у вигляді рядів, які чудові тим, що вони забезпечують кілька нових значущих цифр на кожній ітерації. Серед них<ref name="Berndt">{{Citation|author=Bruce C. Berndt|year=1989|month=|title=Ramanujan's notebooks, Part II|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-96794-3|oclc=|url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3|format=|access-date=2011-02-08}}</ref>:

: <math>\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>

{{Не перекладено|Саймон Плафф||en|Simon Plouffe}} отримав ряди іншого типу:

: <math>\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\tfrac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\tfrac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; ,
</math>

а також аналогічні подання для інших сталих <math>\zeta(2n+1)</math>.

Отримано й інші подання у вигляді рядів, зокрема:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}</math>

: <math>\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
  \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
  {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
  \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}</math>

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5}</math>

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3}</math>

Деякі з цих подань використано для обчислення сталої Апері з багатьма мільйонами значущих цифр.

1998 року отримано подання у вигляді ряду<ref name="Broadhurst">{{Citation|author=D. J. Broadhurst|year=1998|month=|title=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=arXiv (math.CA/9803067)|issn=|oclc=|url=http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067|format=PDF|access-date=2011-02-08}}</ref>, яке дає можливість обчислити довільний [[біт]] сталої Апері.

== Подання у вигляді інтегралів ==
Існує також багато різних інтегральних подань для сталої Апері, починаючи від тривіальних формул на зразок

: <math>
\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x-1}\, dx 
=\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx 
</math>

або

: <math>\zeta(3) =\int\limits_0^1 \! \frac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\, dx </math>,

які випливають із найпростіших інтегральних визначень [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]]<ref>Г.&nbsp;М.&nbsp;Фихтенгольц. ''Курс дифференциального и интегрального исчисления'' (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969</ref>, до досить складних, таких, як

: <math>
\zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! 
\frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\big(\frac{1}{2}\pi x\big)\big]^2}\, dx\qquad
</math> ({{Нп|Йоган Єнсен|3=ru|4=Йенсен, Иоган}}<ref>Johan Ludwig William Valdemar Jensen. ''Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver''. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.</ref>),
: <math>
\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1 \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy\qquad
</math> ({{Не перекладено|Фрітс Бекерс||en|Frits Beukers}}<ref>F. Beukers ''A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)''. Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.</ref>),
: <math>
\zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \qquad
</math> (Ярослав Благушин<ref name="iaroslav_06">[https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 Iaroslav V. Blagouchine ''Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results.'' The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014.] [https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results PDF]</ref>).

== Ланцюгові дроби ==
[[Ланцюговий дріб]] для сталої Апері ({{OEIS|A013631}}) має такий вигляд:

: <math>\zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] =</math>
: <math>= 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\;</math>

Перший [[Ланцюговий дріб|узагальнений ланцюговий дріб]] для сталої Апері, що має закономірність, відкрили незалежно [[Томас Йоанес Стілтьєс (молодший)|Стілтьєс]] і [[Срініваса Рамануджан|Рамануджан]]:

: <math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} </math>

Його можна перетворити до вигляду:

: <math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} </math>

Апері зміг прискорити збіжність ланцюгового дробу для сталої:

: <math>\zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} </math><ref name="Mathematical Constants">[https://kupdf.net/download/steven-r-finch-mathematical-constants-bookfi-org_58ea8468dc0d601d24da97f8_pdf/ Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6]</ref><ref>{{Citation|first=Alfred|last=van der Poorten|author-link=Альфред ван дер Пуртен|title=A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of {{math|''ζ''(3)}}|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|volume=1|issue=4|year=1979|pages=195–203|doi=10.1007/BF03028234|url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|accessdate=2021-06-22|archive-date=2011-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf |date=2011-07-06 }}</ref>

== Обчислення десяткових цифр ==
Число відомих значущих цифр сталої Апері <math>\zeta(3)</math> значно зросло за останні десятиліття завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів<ref name="gourdon_html">{{Citation|author=X. Gourdon & P. Sebah|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html|title=Constants and Records of Computation|format=HTML|publisher=numbers.computation.free.fr|access-date=2011-02-08}}</ref>.
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+'''Кількість відомих значущих цифр сталої Апері <math>\zeta(3)</math>'''
! Дата
! Кількість значущих цифр
! Автори обчислення
|-
| 1735
| 16
| [[Леонард Ейлер]]<ref name="Euler0"/><ref name="Euler_Bell"/>
|-
| 1887
| 32
| [[Томас Йоанес Стілтьєс (молодший)|Томас Йоанес Стілтьєс]]
|-
| 1996
| {{Number table sorting|520,000}}
| ''Greg J. Fee'' & ''Simon Plouffe''
|-
| 1997
| {{Number table sorting|1,000,000}}
| ''Bruno Haible'' & ''Thomas Papanikolaou''
|-
| 1997, травень
| {{Number table sorting|10,536,006}}
| ''Patrick Demichel''
|-
| 1998, лютий
| {{Number table sorting|14,000,074}}
| ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, березень
| {{Number table sorting|32,000,213}}
| ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, липень
| {{Number table sorting|64,000,091}}
| ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, грудень
| {{Number table sorting|128,000,026}}
| ''Sebastian Wedeniwski''<ref name="Wedeniwski">{{Citation|author=Sebastian Wedeniwski|year=2001|month=|title=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=Project Gutenberg|issn=|oclc=|url=|format=|access-date=2008-05-18}}</ref>
|-
| 2001, вересень
| {{Number table sorting|200,001,000}}
| ''Shigeru Kondo'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2002, лютий
| {{Number table sorting|600,001,000}}
| ''Shigeru Kondo'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2003, лютий
| {{Number table sorting|1,000,000,000}}
| ''Patrick Demichel'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2006, квітень
| {{Number table sorting|10,000,000,000}}
| ''Shigeru Kondo'' & ''Steve Pagliarulo''<ref name="Gourdon_Sebah">{{Citation|author=Xavier Gourdon & Pascal Sebah|year=2003|month=|title=The Apéry's constant: ζ(3)|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=|issn=|oclc=|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html|format=HTML|access-date=2011-02-08}}</ref>
|-
| 2009, січень
| {{Number table sorting|15,510,000,000}}
| ''Alexander J. Yee'' & ''Raymond Chan''<ref name="Yee_Chan">{{Citation|author=Alexander J. Yee & Raymond Chan|year=2009|month=|title=Large Computations|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=|issn=|oclc=|url=http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html|format=HTML|access-date=2011-02-08}}</ref>
|-
| 2009, березень
| {{Number table sorting|31,026,000,000}}
| ''Alexander J. Yee'' & ''Raymond Chan''
|-
| 2010, вересень
| {{Number table sorting|100,000,001,000}}
| ''Alexander J. Yee''<ref name="Yee">{{Citation|author=Alexander J. Yee|year=2015|month=|title=Zeta(3) — Apery's Constant|journal=|volume=|issue=|pages=|publisher=|issn=|oclc=|url=http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/|format=HTML|access-date=2018-11-24}}</ref>
|-
| 2013, вересень
| {{Число|200000001000}}
| ''Robert J. Setti''
|-
| 2015, серпень
| {{Число|250000000000}}
| ''Ron Watkins''
|-
| 2015, грудень
| {{Число|400000000000}}
| ''Dipanjan Nag''
|-
| 2017, серпень
| {{Число|500000000000}}
| ''Ron Watkins''
|-
| 2019, травень
| {{Число|1000000000000}}
| ''Ian Cutress''
|-
| 2020, липень
| {{Число|1200000000000}}
| ''Seungmin Kim''<ref>[https://ehfd.github.io/world-record/aperys-constant/ Apéry's Constant | Polymath Collector]</ref>
|}

== Інші значення дзета-функції в непарних точках ==
Існує багато досліджень, присвячених іншим значенням [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]] в непарних точках <math>\zeta(2n+1)</math> при <math>n>1</math>. Зокрема, в роботах {{Не перекладено|Зуділін Вадим Валентинович|Вадима Зуділіна|en|Wadim Zudilin}} і Тангая Рівоаля показано, що [[Ірраціональні числа|ірраціональними]] є нескінченна множина чисел <math>\zeta(2n+1)</math><ref name="Rivoal">{{Citation|author=T. Rivoal|title=La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs|journal=Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math.|volume=331|year=2000|pages=267–270}}</ref>, а також що принаймні одне з чисел <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, або <math>\zeta(11)</math> є ірраціональним<ref name="Zudilin">{{Стаття|author=В. В. Зудилин|title=Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально|видання=[[Успехи математических наук|УМН]]|date=2001|том=56|issue=4(340)|pages=149–150|url=http://mi.mathnet.ru/umn427}}</ref>.

== Примітки ==
{{Reflist|широкие}}

== Посилання ==

* {{Книга
|автор = Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин
|частина = I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3)
|заголовок = Введение в теорию чисел
|серія = Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».
|видавництво = ВИНИТИ
|рік = 1990
|том = 49
|сторінок = 341
|сторінки = 83—89
|посилання = http://mi.mathnet.ru/intf147
}}
* {{Citation|author=V. Ramaswami|title=Notes on Riemann's ζ-function|year=1934|journal=J. London Math. Soc.|volume=9|pages=165–169|url=http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf|doi=10.1112/jlms/s1-9.3.165}}
* {{mathworld|title=Стала Апері|urlname=AperysConstant}}
{{Ірраціональні числа}}
[[Категорія:Ірраціональні числа]]
[[Категорія:Числа з власними іменами]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Математичні константи]]