Перегляд вихідного коду сторінки Спіраль Архімеда

[[Файл:Archimedean spiral.svg|thumb|right|300px|Три витки на 360° однієї гілки спіралі Архімеда]]

'''Спіраль Архімеда'''{{Sfn|Фіхтенгольц Г. Я. |2024}} {{rp|стор.586 ;}} {{Sfn|Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.|1977}} {{rp|стор.304 ; }} {{Sfn|Wells D.|1991}} {{rp|стор.8}} (також '''архімедова спіраль''' {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.119}}) &nbsp;— [[Плоска крива|плоска]] [[Трансцендентна крива|трансцендентна]] [[крива]], яку описує [[точка]] '''''M''''' під час її рівномірного руху з [[швидкість|лінійною швидкістю]] '''v''' уздовж [[пряма|прямої]], що рівномірно обертається у [[площина|площині]] навколо однієї зі своїх точок '''''О''''' зі сталою [[кутова швидкість|кутовою швидкістю]] '''ω'''.

Точку '''О''' називають '''полюсом''' спіралі Архімеда.

Спіраль названо ім'ям [[Архімед]]а, який вивчив її властивості.

== Рівняння кривої ==
* Рівняння спіралі Архімеда у [[полярні координати|полярній системі координат]].<br/>Якщо в початковий момент руху твірна точка '''М''' та полюс '''О''' збігаються, а ''полярна вісь'' збігається з початковим положенням рухомої прямої, то рівняння спіралі Архімеда у [[полярні координати|полярній системі координат]] має вигляд:
:<math display="block">\rho = a \cdot \varphi </math>
:де {{math|''a'' {{=}} {{sfrac|''k''|2 &pi;}} {{=}} {{sfrac|''v''|ω}} }} &nbsp;— параметр, що відповідає зміщенню точки <math>M</math> вздовж прямої, при її повороті на 1 [[радіан|рад]];<br/>
:{{math|''k'' {{=}} 2 &pi; · ''a ''}} &nbsp;— '''крок''' спіралі Архімеда, тобто відрізок <math>MM_1</math>, що дорівнює зміщенню точки <math>M</math> при повному оберті прямої;<br/>
:<math>\varphi = \omega \cdot t</math>&nbsp;— полярний кут твірної точки <math>M</math>, тобто кут повороту прямої від свого початкового положення за час <math>t</math>..
[[Файл:Archimedean-spiral-2.svg|міні|Права та ліва частини спіралі Архімеда]]
:Додатнім значенням кута <math>\varphi \quad (\varphi \geq 0)</math> відповідає права спіраль, тобто спіраль, закручена проти годинникової стрілки; а від'ємним значенням полярного кута <math>\varphi \quad (\varphi \le  0) </math> відповідає ліва спіраль (закручена за годинниковою стрілкою).{{Sfn|Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.|1977}} {{rp|стор.193}}
:Рівняння:{{Sfn|Фіхтенгольц Г. Я. |2024}} {{rp|стор.587}} 
:<math display="block">\rho = a \cdot \varphi + \ell </math>
:описує спіраль Архімеда з тими ж параметрами, що і у спіралі <math>\rho = a \cdot \varphi </math>, тільки повернуту відносно полюса на кут <math>\alpha = - \frac{\ell}{a}</math> [[радіан|рад]] за годинниковою стрілкою.
{{Clear}}
* Рівняння спіралі Архімеда в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] в неявному виді:{{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.192}}
:<math display="block">\sqrt{ x^2 +y^2} = a \cdot \operatorname{arctg}{\left ( \frac{y}{x} \right) } </math>
: Рівняння повернутої спіралі Архімеда:
:<math display="block">\sqrt{ x^2 +y^2} = a \cdot \operatorname{arctg}{\left ( \frac{y}{x} \right) } + \ell</math>
* Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в [[Параметричне рівняння|параметричному виді]]:
: <math>\begin{cases}
x(\varphi) = a \cdot \varphi \cdot \cos\varphi \\
y(\varphi) = a \cdot \varphi \cdot \sin\varphi
\end{cases} \qquad 0 \le \varphi <  + \infty</math>

== Метричні характеристики ==
Нехай спіраль Архімеда задано рівнянням <math>\rho = a \cdot \varphi </math>.

Тоді:
[[Файл:Archimedean spiral length.svg|right|thumb|200пкс|Ілюстрація до розрахунку довжини дуги спіралі Архімеда]]
* Довжина дуги спіралі Архімеда між двома її довільними точками <math>M_1 (\rho_1 \, , \, \varphi_1)</math> та <math>M_2 (\rho_2 \, , \, \varphi_2)</math>, що відповідають полярним кутам <math>\varphi_1</math> та <math>\varphi_2</math>: {{Sfn|Савелов А.А.|1960}} {{rp|стор.194}}
: <math display="block"> \begin{align} 
L &= \int\limits_{\varphi_1 }^ {\varphi_2} \ dl = \int\limits_{\varphi_1 }^ {\varphi_2} \sqrt{d \rho^2 + dh^2} = \int\limits_{\varphi_1 }^ {\varphi_2 }  \sqrt{ (a d \varphi)^2 + (\rho d \varphi )^2} = \\
&=  \int\limits_{\varphi_1 }^ {\varphi_2 } \sqrt{a^2 \cdot (d \varphi)^2 + a^2 \cdot \varphi^2 \cdot (d \varphi)^2} = a \cdot \int\limits_{\varphi_1 }^ {\varphi_2} \sqrt{1 + \varphi^2}  d \varphi =  \\
&= \frac{a}{2} \cdot \left[ \varphi \cdot \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right]_{\varphi_1}^{\varphi_2} =  \frac{a}{2} \cdot \left[ \varphi \cdot \sqrt{1 + \varphi^2} +\operatorname{arsinh}\varphi \right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}
\end{align}</math>

Зокрема, довжина дуги  спіралі Архімеда від її полюса <math>O   \quad (\varphi_1 = 0)</math> до довільної точки <math>M (\rho \, , \, \varphi) \quad  (\varphi_2 = \varphi)</math> дорівнює:
: <math>\ell =  \frac{a}{2} \cdot \left[ \varphi \cdot \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right] =  \frac{a}{2} \cdot \left[ \varphi \cdot \sqrt{1 + \varphi^2} +\operatorname{arsinh}\varphi \right]</math>
Також:{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.780}}
: <math> \begin{align} 
\ell &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{\rho \cdot \sqrt{\rho^2 + a^2}}{a} + \ln \left( \frac{\rho + \sqrt{\varphi^2 + a^2}}{a} \right) \right] =  \\ &= \frac{a}{2} \cdot \left[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \sec \alpha + \ln \left( \operatorname{tg} \alpha + \sec \alpha \right)\right]
\end{align}</math>
де <math>\alpha</math>&nbsp;— гострий кут між дотичною <math>MT</math> в точці <math>M</math> спіралі Архімеда та радіус-вектором <math>OM</math> цієї точки.
[[Файл:Archimedes spiral with sector SVG.svg|міні]]
* [[Площа]] сектора, що обмежений дугою {{overarc|<math>M_1M_2</math>|0.3em}} спіралі Архімеда та двома радіус-векторами <math>OM_1 = \rho_1</math> та <math>OM_2 = \rho_2</math>:
:<math>S_{\text{сект.}} = \frac{1}{a} \cdot \left( \rho_2^3 - \rho_1^3 \right) </math>
:Також:{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.779}}
:<math>S_{\text{сект.}} = \frac{\omega}{6} \cdot \left( \rho_1^2 + \rho_1 \cdot \rho_2 + \rho_2^2 \right)</math>.
де <math>\omega = \angle M_1OM_2</math>&nbsp;— кут між радіус-векторами точок <math>M_1</math> та <math>M_2</math>; центральний кут сектора.<br/>До того ж цей кут не мустить перевищувати <math>2 \pi</math> [[радіан]].
{{multiple image|
image1= Archimedean spiral area.svg|
wight1= 180пкс|
caption1= Перший виток спіралі Архімеда|
image2= Спіраль Архімеда.jpg|
wight2= 170пкс|
caption2= Другий виток спіралі Архімеда|
}}
* [[Площа]] витків спіралі Архімеда.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.779—780}}
#1 [[Площа]] ''першого витка'' спіралі Архімеда&nbsp;— фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від її полюса <math>O</math> до точки <math> A </math> (полярний кут якої <math>\varphi = 2 \pi</math>) та [[Відрізок|відрізком]] <math>OA</math> полярної осі:
:<math>S_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi k^2 =  \frac{4}{3} \cdot \pi ^3 a^2 = \frac{1}{3} \cdot S_{1\text{кр.}}</math>
де <math>S_{1\text{кр.}}</math>&nbsp;— площа [[Круг|круга]] з радіусом <math>OA</math>;<br/><math>k = 2 \pi \cdot a = OA</math>&nbsp;— крок спіралі Архімеда.
:Формулу можна отримати з формули площі сектора; стосовно цієї фігури: <math>\rho_1 = 0 \, ; \quad \rho_2 = k = 2 \pi a \, ; \quad \omega = 2 \pi</math>.
#2 [[Площа]] ''другого витка'' спіралі Архімеда&nbsp;— фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки <math> A </math>  (полярний кут якої <math>\varphi = 2 \pi</math>) до точки <math>A_1</math> (полярний кут якої <math>\varphi = 4 \pi</math>) та [[Відрізок|відрізком]] <math>AA_1</math> полярної осі:
:<math>S_2 = \frac{7}{3} \cdot \pi k^2 =
\frac{28}{3} \cdot \pi ^3 a^2 = \frac{7}{12} \cdot S_{2\text{кр.}}</math>
де <math>S_{2\text{кр.}}</math>&nbsp;— площа круга з радіусом <math>OA_1</math>.
#3 Площа ''n&nbsp;— го витка'' спіралі Архімеда&nbsp;— фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки <math> A_{n-1} </math>  (полярний кут якої <math>\varphi = 2 \pi</math>) до точки <math>A_n </math> (полярний кут якої <math>\varphi = 4 \pi</math>) та відрізком <math>A_{n-1}A_n</math> полярної осі:
:<math>S_n = \frac{n^3 - (n-1)^3}{3} \cdot \pi k ^2 = \frac{n^3 - (n-1)^3}{3n^2} \cdot S_{n\text{кр.}}</math>
де <math>S_{n\text{кр.}}</math>&nbsp;— площа круга з радіусом <math>OA_n</math>. 
{{multiple image|
image1= Archimedean spiral area.svg|
wight1= 180пкс|
caption1= Перший виток (нульове кільце) спіралі Архімеда|
image2= Archimedean spiral area2.svg|
wight2= 170пкс|
caption2= <math>n</math>&nbsp;—е кільце спіралі Архімеда|
}}
* [[Площа]] кілець спіралі Архімеда.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.780}}
#''Перше кільце'' спіралі Архімеда&nbsp;— фігура, що утворена [[Відрізок|відрізком]] <math>OA</math> полярної осі  між першим та другим витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут <math>2 \pi</math> [[радіан]]. Фігура обмежена: 1.[[Відрізок|Відрізком]] <math>OA</math>; 2. Першим витком; 3. [[Відрізок|відрізком]] <math>AA_1</math>; 4. Другим витком.
#''Друге кільце'' спіралі Архімеда&nbsp;— фігура, що утворена [[Відрізок|відрізком]] <math>AA_1</math> полярної осі  між другим та третім витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут <math>2 \pi</math> [[радіан]]. Фігура обмежена: 1.[[Відрізок|Відрізком]] <math>AA_1</math>; 2. Другим витком; 3. [[Відрізок|відрізком]] <math>A_1A_2</math>; 4. Третім витком.
Площа <math>n</math>&nbsp;—го кільця спіралі Архімеда:
:<math>F_n = S_{n+1} - S_n = 6n \cdot S_1</math>
де <math>S_n</math>&nbsp;— площа <math>n</math>-го витка спіралі Архімеда; <br/><math>S_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi k^2</math>&nbsp;— площа 1-го витка (нульового кільця) спіралі Архімеда.
* Радіус кривини в довільній точці спіралі Архімеда:{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.780 ;}} <ref>{{MathWorld | urlname=ArchimedesSpiral | title=Archimedes' Spiral}}</ref>
:<math>R_c = a \cdot \frac{\left( \varphi^2 + 1 \right)^{3/2}}{\varphi^2 + 2} = \frac{\left( \rho^2 + a^2 \right)^{3/2}}{\rho^2 + 2a^2} = \frac{\left( \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 \right)^{3/2}}{\sec ^2 \alpha + 2}</math>.

== Трисекція кута та квадратура круга за допомогою спіралі Архімеда == 
[[Файл:Archimedean spiral trisection.svg| mini|320 пкс|right|Трисекція кута за допомогою спіралі Архімеда (n=3): <math>\beta=\tfrac{\alpha}{3}</math>]]
Згідно означення спіралі Архімеда, відстань від початку координат до точки кривої пропорційна куту повороту полярної осі. А, отже, спіраль Архімеда можливо використовувати для поділу довільного кута на <math>n</math> рівних частин, а також і для [[Квадратура круга|квадратури круга]]. Тому спіраль Архімеда є одночасно [[Трисектриса|трисектрисою]] (n=3) і квадратрисою. Обидві задачі ([[Трисекція кута|трисекцію кута]] та [[Квадратура круга|квадратуру круга]]) не можна розв'язати лише [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля і лінійки]], але якщо дозволити, щоб спіраль Архімеда була єдиним допоміжним засобом, то вони стають вирішуваними.

Щоб розділити <math>\angle BAC</math> на <math>n</math> рівних частин, поєднаємо його зі спіраллю Архімеда таким чином, щоб його сторона <math>AB</math> сумістилася з полярною віссю <math>Ox</math>, а вершина <math>A</math> кута сумістилася з полюсом <math>O</math> спіралі Архімеда. [[Відрізок]] другої сторони <math>AD</math> кута, від його вершини до точки <math>D</math> перетину цієї сторони зі спіраллю, розділимо на <math>n</math> рівних частин. Використовуючи [[Теорема Фалеса про пропорційні відрізки|теорему Фалеса про пропорційні відрізки]], це можна зробити лише за допомогою циркуля і лінійки. Для цього проведемо ще один промінь з вершини кута <math>A</math> і за допомогою циркуля позначимо на ньому <math>n</math> однакових за довжиною відрізків. З'єднаємо кінцеву точку останнього відрізка з точкою <math>D</math> і через <math>n-1</math> точки поділу проведемо до цієї лінії низку паралельних ліній до їх перетину з прямою <math>AC</math>. Точки перетину паралелей зi стороною <math>AC</math> ділять відрізок <math>AD</math> на <math>n</math> однакових за довжиною відрізків. Далі через кожну з <math>n-1</math> точок поділу відрізка <math>AD</math> з вершини кута <math>A</math> проведемо дуги кіл до їх перетину зі спіраллю Архімеда, і отримані точки на спіралі Архімеда з'єднаємо з вершиною <math>A</math>.  Таким чином, отримаємо поділ даного кута на <math>n</math>  рівних частин.
<ref name="Alsina">
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, стор. 145–146 
</ref>
[[Файл:Archimedean spiral circle squaring triangle.svg|mini|left|320 пкс|Квадратура круга, виконана Архімедом]]
[[Файл:Archimedean spiral circle squaring2.svg|mini|right|320пкс|Квадратура круга: F(Кругаїї(M,r))=F(ABCD)=F(CJHG)]]
Для вирішення задачі [[Квадратура круга|квадратури круга]], тобто побудови квадрата, рівновеликого даному кругу радіуса <math>r</math>, окреслимо коло радіусом <math>r</math> з центром в початку координат, та в цій системі також побудуємо спіраль Архімеда з  полюсом в початку координат.
Спіраль перетинає вісь y [[точка (геометрія)|точці]] <math>E</math> і [[довжина]] відрізка <math>ME</math> дорівнює <math>\tfrac{r\pi}{2}</math>, оскільки відповідний кут повороту полярної осі дорівнює <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. Тоді [[прямокутник]], побудований на діаметрі кола і висотою |ME| має таку ж [[площа|площу]], як і [[круг]]. Використовуючи теорему про висоту прямокутного трикутника, прямокутник можна перетворити на [[квадрат]] рівної площі.

{{Clear}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Гіперболічна спіраль]]
* [[Жезл (спіраль)]]
* [[Логарифмічна спіраль]]
* [[Спіраль Ферма]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld | urlname=ArchimedesSpiral | title=Archimedes' Spiral}}
* {{PlanetMath | urlname=ArchimedeanSpiral | title=archimedean spiral | id=5468}}
* {{springer|title=Archimedean_spiral|oldid=53273}}
* Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Spiral/ Spiral of Archimedes] на сайті [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/  MacTutor] (англ.)
* ''Ferréol Robert'' , [https://mathcurve.com/courbes2d/archimede/archimede.shtml SPIRALE D'ARCHIMÈDE], на сайті [https://mathcurve.com/ MATHCURVE.COM], 2024

== Джерела інформації ==
* {{УРЕ}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

* {{Книга| автор= Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.
| назва= Графіки функцій. Довідник.
| відповідальний= під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І.
| видавництво= Наукова думка
| рік=1977
| сторінок= 320
| isbn=
| місце= Київ
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/59393
| ref= Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.}}

* {{Книга| автор= Савелов А.А.
| заголовок= Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство)
| видання= 
| видавництво= государственое издательство физико- математической литератури
| рік=1960
| isbn=
| місце= москва
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/52872
| ref=  Савелов А.А.}}

* {{Книга| автор= Выгодский М.Я.
| заголовок= Справочник по высшей математике
| видання= изд.10
| видавництво= Наука| рік=1973
| isbn=
| місце= москва
| посилання= http://flibusta.site/b/744132
| ref= Выгодский М.Я.}}

* {{cite book | author= Robert C. Yates 
| title=A Handbook on Curves and their Properties 
| publisher=digital reprint by www.CircuitousRoot.com 
| year=1947 
| isbn=
| pages= 198
| url=https://archive.org/details/YatesHandbookCurves1947/page/n123/mode/1up 
|ref= Robert C. Yates}}

* {{cite book | author= Lockwood E. H. (Edward Harrington)
| title=A Book of Curves
| publisher=Cambridge, Eng. : University Press 
| year=1961
| isbn= 9780511569340
| pages= 198
| url= https://books.google.com.ua/books/about/Book_of_Curves.html?id=VI8MwwEACAAJ&redir_esc=y 
|ref= Lockwood E. H. (Edward Harrington)}}

* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 168,171–173] | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 }}

* {{cite book
|last = Wells |first = D.
|ref = Wells D.
|title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry
|year = 1991
|language = en
|pages = 154-155
|isbn = 0-14-011813-6
|publisher = London: Penguin
|url = https://ia801205.us.archive.org/16/items/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/The%20Penguin%20Dictionary%20of%20Curious%20and%20Interesting%20Geometry.pdf
}}

{{Криві}}
{{Math-stub}}
[[Категорія:Спіралі]]