Перегляд вихідного коду сторінки Словник термінів теорії груп

{{Теорія груп|expanded=all}}
Для загального ознайомлення з теорією груп див. [[Група (математика)]] і [[Теорія груп]].

''Курсив'' позначає посилання на цей словник.

__NOTOC__
{{АБВ}}

== P ==

'''[[P-група]]''' — група, всі елементи якої мають ''порядок'', рівний деякому степеню [[просте число|простого числа]] <math>p</math> (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

== А ==

'''[[Абелева група]]''' — комутативна група.

'''Абелізація''' групи ''G'' — [[фактор-група]] ''G''/[''G'',''G'']

'''Адитивна група кільця''' — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

'''Антигомоморфізм груп''' — [[відображення]] ''груп'' <math> f: (G, *) \to (H, \times) </math> таке, що
: <math> f (a * b) = f (b) \times f (a) </math>
для довільних ''a'' і ''b'' в ''G'' (порівняйте з ''гомоморфізмом'').

'''Абсолютно регулярна p-група''' — [[скінченна p-група]], в якій <math> | G \,: \, pG | <p ^ p </math>, де <math> pG </math> — підгрупа <math> G </math>, утворена p-ми степенями її елементів.

== В ==
'''[[Вільна група]]''', породжена множиною <math>A</math> — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

== Г ==
'''Головний ряд підгруп''' - ''ряд підгруп'', в якому <math> G_ {i} </math> — максимальна ''нормальна'' в <math> G </math> ''підгрупа'' з <math> G_ {i +1} </math>, для всіх членів ряду.

'''[[Гомоморфізм груп]]''' — [[відображення]] ''груп'' <math> f: (G, *) \to (H, \times) </math> таке, що
: <math> F (a * b) = f (a) \times f (b) </math>
:для довільних ''a'' і ''b'' в ''G''.

'''Група Шмідта''' — це [[нільпотентна група|ненільпотентна]] група, всі власні [[Підгрупа|підгрупи]] якої нільпотентні.

'''Група Міллера — Морено''' — це [[абелева група|неабелева]] група, всі власні підгрупи якої абелеві.

'''[[Групова алгебра]]''' ''групи'' ''G'' над [[Поле (алгебра)|полем]] ''K'' — це [[векторний простір]] над ''K'', твірними якого є елементи ''G'', а множення відповідає множенню елементів ''G''.

== Д ==

'''[[Дія групи]]'''

'''Довжина ряду підгруп''' — число <math> n </math> у визначенні ''ряду підгруп''.

== Е ==
'''Експонента''' <math> \exp (G) </math> скінченної групи <math> G </math> — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи <math> G </math>.

'''Елементарна група''' - група, яка є ''[[Скінченна група|скінченною]]'' або ''[[Абелева група|абелевою]]'', або одержується зі скінченних та абелевих груп послідовністю операцій взяття ''[[Підгрупа|підгруп]]'', [[Епіморфізм|епіморфних]] образів, прямих меж і ''[[Розширення групи|розширень]]''.

== І ==

'''[[Ізоморфізм груп]]''' — [[бієкція|бієктивний]] ''гомоморфізм''.

'''Ізоморфні групи''' — групи, між якими існує хоча б один [[ізоморфізм]].

'''[[Індекс підгрупи]]''' ''H'' у групі ''G'' — число [[суміжний клас|суміжних класів]] в кожному (правому або лівому) з розкладів групи ''G'' за цією підгрупою ''H''.

'''Індекси ряду підгруп''' — індекси <math> | G_{i+1}: G_{i} | </math> у визначенні ''субнормального ряду підгруп''.

== К ==

'''Клас суміжності'''/'''суміжний клас''' (лівий або правий) підгрупи ''H'' в ''G''. Лівий клас суміжності елемента <math> g \in G </math> по підгрупі ''H'' в ''G'' це множина
: <math>gH= \{gh|h\in H\}.</math>
Аналогічно визначається правий клас суміжності:
: <math>Hg= \{hg|h\in H\}.</math>

'''[[Клас спряженості]]''' елемента <math>g \in G</math> це множина
: <math>\{hgh^{-1}|h\in G\}.</math>

'''[[Комутант|Комутантом групи]]''' є ''підгрупа'', породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [''G'','' G''] або <math>G\; '</math>.

'''[[Комутативна група]]''' Група ''G'' є комутативною, або абелевою, якщо її операція * [[Комутативність|комутативна]], тобто ''g*h''=''h*g'' <math>\forall g, h \in G</math>.

'''Комутатор''' елементів ''g'' і ''h'' є елемент [g, h] = ghg<sup>-1</sup>h<sup>-1</sup>. Елементи ''g'' і ''h'' називають ''комутуючими'', якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли <math> gh = hg </math>).

'''Комутатор підгруп''' — множина всіляких добутків <math>\left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace</math>.

'''[[Композиційний ряд]]''' групи''G''-''ряд підгруп'', в якому всі фактори <math> G_ {i +1} / G_i </math> —''прості групи''.


'''[[Скрут (алгебра)|Кручення]]''', Tor''G'', комутативної або нільпотентної групи ''G'' — підгрупа всіх елементів скінченного ''порядку''.

== Л ==
'''Локальна властивість''' групи <math> G </math>. Кажуть, що група <math> G </math> має локальним властивістю <math> P </math>, якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з <math> G </math> володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

'''Локальна теорема'''. Кажуть, що для деякої властивості <math> P </math> груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,''локально володіє цією властивістю'', сама має їм.
: Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

'''[[Локально скінченна група]]''' — група, яка певним чином (як [[індуктивна границя]]) будується зі [[Скінченна група|скінченних груп]].

== М ==

'''Метабелева група''' — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

'''Метациклчіна група''' — група, що має ''циклічну нормальну підгрупу'', факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, ''порядок'' якої [[Вільне від квадратів число|вільний від квадратів]] (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

'''[[Мінімальна нормальна підгрупа]]'''

'''Мультиплікативна група''' тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

== Н ==

'''[[Напівпрямий добуток]]''' груп ''G'' і ''H'' над гомоморфізмом <math>\phi: G \rightarrow \mbox {Aut}(H)</math> (позначається по різному, в тому числі ''G''⋊ <sub> φ </sub>''H'') — множина ''G'' × ''H'', наділена операцією *, для якої <math>(g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2) </math> для будь-яких <math> g_1, g_2 \in G </math>, <math> h_1, h_2 \in H </math>.

'''[[Нільпотентна група]]''' — група, що має ''центральний ряд підгруп''. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

[[Норма (теорія груп)|'''Норма групи''']] — сукупність елементів групи, ''переставних'' з усіма підгрупами, тобто перетин ''нормалізаторів'' всіх її ''підгруп''.

'''[[Нормалізатор]]''' підгрупи ''H'' в ''G'' — максимальна підгрупа ''G'', в якій ''H'' ''нормальна''. Інакше кажучи, нормалізатор є [[стабілізатор]]ом ''H'' при [[дія групи|дії]] ''G'' на множині своїх підгруп [[дія групи|спряженнями]], тобто
: <math>N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.</math>

'''[[Нормальна підгрупа]]''' ('''інваріантна підгрупа''', '''нормальний дільник'''). ''H'' є нормальною ''підгрупою'' ''G'', якщо для будь-якого елементу ''g'' в ''G'' ''gH''=''Hg'', тобто праві і ліві класи суміжності ''H'' в ''G'' збігаються. Інакше кажучи, якщо <math>\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H</math>.

'''Нормальний ряд підгруп''' — ''ряд підгруп'', в якому <math> G_i </math> ''нормальна'' в <math> G </math>, для всіх членів ряду.

== П ==

'''Переставні елементи'''&nbsp;— пара елементів <math> a, b \in G </math> такі що <math> ab = ba </math>.

'''Період групи'''&nbsp;— [[найменше спільне кратне]] ''порядків'' елементів даної групи.

'''Періодична група'''&nbsp;— група, кожен елемент якої має скінченний ''порядок''.

'''[[Підгрупа]]'''&nbsp;— підмножина ''H'' групи ''G'', яка є групою щодо операції, визначеної в ''G''.

'''[[Підгрупа кручення]]''' див. ''кручення''.

Для довільної підмножини ''S'' в ''G'', ''<''S''>'' позначає найменшу підгрупу ''G'', яка містить ''S''.

'''[[Підгрупа Томпсона]]''' <math>J(G)</math> групи <math>G</math>&nbsp;— підгрупа, породжена всіма ''абелевих'' ''підгрупами'' максимального порядку з <math>G</math>.

'''[[Підгрупа Фіттінг]]а''' <math>F(G)</math> групи <math>G</math>&nbsp;— підгрупа, породжена всіма ''нільпотентними'' ''нормальними підгрупами'' з <math>G</math>.

'''[[Підгрупа Фраттіні]]''' <math> \phi (G) </math> групи <math> G </math>&nbsp;— є перетин всіх максимальних підгруп групи <math> G </math>, якщо такі є, та сама група <math> G </math> у противному випадку.

'''[[Полінільпотентна група]]'''

'''[[Порядок групи]]''' (''G'',*)&nbsp;— [[потужність множини|потужність]] ''G'' (для скінченних груп просто кількість елементів).

'''[[Порядок елемента]]''' ''g'' групи ''G''&nbsp;— мінімальне натуральне число ''m'' таке, що ''g''<sup>''m''</sup> = ''e''. У разі, якщо такого ''m'' не існує, вважається, що ''g'' має нескінченний порядок.

'''Природний гомоморфізм''' на фактор-групу за нормальною підгрупою <math> H </math>&nbsp;— це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу <math> a </math> групи суміжний клас <math> aH </math>. Ядром цього гомоморфізму є підгрупа <math> H </math>.

'''[[Примарна група]]'''&nbsp;— група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа <math>p</math> (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про ''[[p-група|p-групи]]''.

* [[Примарна абелева група]]

'''[[Проста група]]'''&nbsp;— група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {''e''} і всієї групи.

'''[[Прямий добуток груп|Прямий добуток]]''' двох груп (''G'',·) і (''H'', •)&nbsp;— множина ''G''&times;''H'' пар, з операцією покомпонентного множення: (''g''<sub>1</sub>,''h''<sub>1</sub>)(''g''<sub>2</sub>,''h''<sub>2</sub>) = (''g''<sub>1</sub> · ''g''<sub>2</sub>, ''h ''<sub>1</sub> •''h''<sub>2</sub>).

== Р ==

'''[[Розширення групи]]''' — група, для якої дана група є ''нормальною підгрупою''.

'''[[Розв'язна група]]''' — група, що володіє ''нормальним рядом підгруп'' з ''абелевими'' ''факторами''. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

'''[[Розв'язний радикал]]''' <math>S(G)</math> групи <math> G </math> — підгрупа, породжена всіма ''розв'язними'' ''нормальними'' підгрупами з <math> G </math>.

'''[[Ряд підгруп]]''' — скінченна послідовність підгруп <math> G_0, G_1, ..., G_n </math> називається рядом підгруп, якщо <math> G_i \leq G_{i +1} </math>, для всіх <math> i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G </math>. Такий ряд записують у вигляді
: <math> 1 = G_0 \leq G_1 \leq \dots \leq G_n = G </math>
або у вигляді
: <math> G = G_n \geq G_ {n-1} \geq \dots \geq G_0 = 1 </math>

'''Регулярна p-група''' — [[скінченна p-група]], для будь-якої пари елементів <math> x </math> і <math> y </math> якої знайдеться елемент <math> u </math> коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що <math> (xy)^p = x^py^pu^p </math>.

== С ==
'''[[Надрозв'язна група]]''' — група, що має ''нормальний ряд підгруп'' з ''циклічними''''факторами''.

'''[[Скінченна група]]''' - група зі скінченним числом елементів.

'''[[Скінченна p-група]]''' —''p-група'' скінченного порядку <math> p ^ n </math>.

'''Скінченно [[завдання групи|задана група]] ''' (або''' скінченно певна група''') — група, що має скінченну кількість'' [[породжуюча множина групи|породжуючих]]''і задається за допомогою скінченної кількості ''співвідношень''.

''' [[Скінченнопороджена абелева група]] ''' — абелева група, що має скінченну систему '' [[породжує безліч групи|утворюють]] ''.

'''Скінченнопороджена група''' - група, що має скінченну систему ''[[породжуюча множина групи|породжувальних]]''.

'''[[Підгрупа Силова]]''' — <math> p </math>-підгрупа в <math> G </math>, що має порядок <math> p^n</math>, де <math> |G|=p^ns </math>, НОД <math> (p, s) = 1 </math>.

'''Співвідношення''' — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

'''[[Стабілізатор (теорія груп)|Стабілізатор]]''' елемента <math>p</math> множини <math>M</math>, на якій діє група <math>G</math> - підгрупа <math>St_G(p) \subset G </math>, всі елементи якої залишають <math>p</math> на місці: <math> g \cdot p = p </math>.

'''Субнормальний ряд підгруп''' — ''ряд підгруп'', в якому підгрупа <math> G_{i} </math> нормальна у підгрупі <math> G_{i +1} </math>, для всіх членів ряду.

== Ф ==

'''[[Факторгрупа|Факторгрупою]]''' групи''G'' по [[нормальна підгрупа|нормальній підгрупі]] ''H'' є множина ''класів суміжності'' підгрупи ''H'' з множенням, визначеним наступним чином:
: <math> (aH) * (bH) = (ab) H. </math>

'''Фактори субнормального ряду''' - ''фактор-групи'' <math> G_ {i +1} / G_ {i} </math> у визначенні''субнормального ряду підгруп''.

== Х ==

'''[[Характеристична підгрупа]]''' — підгрупа, інваріантна щодо всіх [[автоморфізм]]ів групи.

'''Підгрупа Халловея''' — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

== Ц ==

'''[[Центр групи]]''' ''G'', зазвичай позначається ''Z''(''G''), визначається як
:<math>Z(G) = \{ g \in G |gh =hg \ \forall h \in G \}</math>,
інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом ''G''.

'''[[Централізатор]]''' елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

'''Центральний ряд підгруп''' — ''нормальний ряд підгруп'', в якому <math> G_{i +1} / G_{i} \subseteq Z (G / G_{i}) </math>, для всіх членів ряду.

'''[[Циклічна група]]''' — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

== Я ==
'''[[Ядро гомоморфізму]]''' — прообраз [[нейтральний елемент|нейтрального елемента]] при ''гомоморфізмі''. Ядро завжди є [[нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]], більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром деякого гомоморфізму.

== Джерела ==
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

[[Категорія:Теорія груп|*]]
[[Категорія:Термінологічні словники у Вікіпедії]]