Перегляд вихідного коду сторінки Скрут кривої

{{dablink|Цей термін має також інші значення. Докладніше — у статті [[Скрут]].}}
У [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]], '''скрут кривої''' ({{lang-en|torsion of a curve}})&nbsp;— це кількісна міра відхилення [[крива|кривої]] від [[Стична площина|стичної площини]]. Таким чином, '''скрут''' вказує наскільки [[крива]] відрізняється від форми [[Плоска крива|плоскої кривої]].

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то [[Кривина (математика)|кривина кривої]] є мірою відхилення від прямої.

== Визначення ==
[[Файл:Curve12.pdf|безрамки|right]]

Нехай <math>P</math>&nbsp;— довільна точка регулярної [[Крива|кривої]] <math>\gamma</math>, <math>Q</math>&nbsp;— точка [[Крива|кривої]], що близька до <math>P</math>. Позначимо через <math>\Delta\alpha</math> [[кут]] між [[Стична площина|стичними площинами]] [[Крива|кривої]] в точках <math>P</math> та <math>Q</math>, а через <math>\Delta s</math>&nbsp;— довжину дуги <math>PQ</math> [[Крива|кривої]]. Тоді <math>\lim_{Q \to P}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}</math>, якщо він існує, називається абсолютним '''скрутом кривої''' <math>\gamma</math> в точці <math>P</math> і позначається через <math>|k_2|</math>{{sfn|Борисенко|36}}.

== Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту ==

Абсолютний [[скрут кривої]] в точці <math>P</math> дорівнює [[Кутова швидкість|кутовій швидкості]] [[обертання]] бінормалі [[крива|кривої]] навколо точки <math>Q</math>, тобто <math>|k_2|=\lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s},</math> де <math>\Delta\alpha</math>&nbsp;— [[кут]] повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги <math>\Delta s</math>. Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця [[Вектор (математика)|вектора]] швидкості [[Вектор (математика)|вектор]] бінормалі при [[Ізометрія (математика)|русі]] точки по [[крива|кривій]] обертається проти (по) годинникової стрілки.

{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Теорема '''
|equation = Нехай <math>\gamma</math> — регулярна [[крива]] класу <math>C^3</math>. Тоді в кожній точці [[Крива|кривої]], в якій [[Кривина (математика)|кривина]] <math>k_1\neq 0</math>, визначений абсолютний скрут <math>|k_2|</math>. Якщо <math>\bar{r}=\bar{r}(s)</math> — натуральна [[Параметризація (геометрія)|параметризація]] [[Крива|кривої]], то 
 <math>|k_2| =|\bar{\beta}'_{s}|= \frac{|(\bar{r}'_{s},\bar{r}''_{s},\bar{r}'''_{s})|}{k_1^2}</math>, 
де <math>\bar{\beta}(s)</math> — [[вектор-функція]] одиничних бінормалей кривої <math>\gamma</math>.
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}


'''''Доведення.''''' Розглянемо властивості [[Вектор (математика)|вектора]] <math>\bar{\beta}</math>:
# <math>\bar{\beta}'\bot\bar{\beta}</math>, бо <math>\bar{\beta}</math>&nbsp;— [[одиничний вектор]], отже <math>\bar{\beta}^2=const</math>, <math>2\bar{\beta}\bar{\beta}'=0</math>;
# <math>\bar{\beta}'\bot\bar{\tau}</math> (оскільки <math>\bar{\beta}=[\bar{\tau},\bar{\nu}]</math>, з [[Тригранник Френе|першої формули Френе]]: <math>\frac{d\bar{\tau}}{ds}=k_1\bar{\nu}</math> і <math>\frac{d\bar{\beta}}{ds}=[\frac{d\bar{\tau}}{ds},\bar{\nu}]+[\bar{\tau},\frac{d\bar{\nu}}{ds}]=[\bar{\tau},\bar{\nu}']</math>); Тут <math>\bar{\tau},\bar{\nu} </math> познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, <math>k_1</math>— кривину кривої у відповідній точці.
# <math>\frac{d\bar{\beta}}{ds}=-k_2\bar{\nu}</math> ([[Тригранник Френе |третя формула Френе]]).
: Таким чином, <math>|k_2|= \frac{|{d\bar{\beta}}|}{|ds|}</math>.
: Знайдемо тепер <math> \frac{|{d\bar{\beta}}|}{|ds|}</math>, <math>\bar{\beta}'=-k_2\bar{\nu}</math>, <math>\bar{\beta}'\cdot\bar{\nu}=-k_2{\bar{\nu}}^{2} </math> або <math>k_2={\bar{\beta}}'\cdot{\nu}^{2}</math>.
Враховуючи властивість 2 та [[Тригранник Френе|першу формулу Френе]] і розглядаючи [[Кривина (математика)|кривину]] <math>k</math> як функцію <math>s</math>, маємо:
: <math>k_2=[\bar{\tau}, \bar{\nu}']\cdot\bar{\nu}=-[\bar{r}',(\frac{1}{k_1}\bar{r}'')']\cdot\frac{1}{k_1}\bar{r}''=-\frac{1}{k_1^3}[\bar{r}',\bar{r}'''k_1-\bar{r}''k_1']\bar{r}''=\frac{1}{k_1^3}([\bar{r}',\bar{r}'']k_1'\bar{r}''-[\bar{r}',\bar{r}''']\bar{r}''k_1)=\frac{(\bar{r}',\bar{r}'',\bar{r}''')}{k_1^2}</math>.
: Отже, <math>|k_2|=\frac{|(\bar{r}'_{s},\bar{r}''_{s},\bar{r}'''_{s})|}{k_1^2}</math>

=== Скрут кривої в довільній параметризації ===

Нехай <math>\bar{r}=\bar{r}(t)</math>&nbsp;— регулярна [[Параметризація (геометрія)|параметризація]] [[Крива|кривої]] <math>\gamma</math>, <math>\bar{r}\in\mathbb{C}^3</math>.
Тоді, <math>|k_2|=\frac{|(\bar{r}'_{t},\bar{r}''_{t},\bar{r}'''_{t})|}{[\bar{r}'_{t}, \bar{r}''_{t}]^2}</math>&nbsp;— абсолютний скрут в довільній параметризації.
Для <math>F(x,y,z)=0</math> скрут кривої обчислюється за формулою:
: <math>|k_2|=\frac{x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^2+(x''z'-x'z'')^2+(x'y''-x''y')^2}</math>.

=== Зауваження ===

Якщо '''скрут кривої''' дорівнює нулю <math>|k_2|=0</math>, то [[Плоска крива|крива плоска]].

== Приклад ==

Обчислимо скрут [[Гвинтова лінія|гвинтової лінії]]: <math>\begin{cases} x(t)=a\cdot\cos t,\\y(t)=a\cdot\sin t,\\z(t)=b\cdot t,\end{cases}</math>.
Оскільки

: <math>\bar{r}'_t=(-a\cdot\sin t, a\cdot\cos t, b);</math>
: <math>\bar{r}''_t=(-a\cdot\cos t, -a\cdot\sin t, 0);</math>
: <math>\bar{r}'''_t=(a\cdot\sin t, -a\cdot\cos t, 0),</math>
то
: <math><\bar{r}',\bar{r}'>=a^2+b^2,</math>
: <math><\bar{r}'',\bar{r}''>=a^2,</math>
: <math><\bar{r}',\bar{r}''>=0;</math>
: <math>[\bar{r}',\bar{r}'']^2=\bar{r}'^2\bar{r}''^2-<\bar{r}',\bar{r}''>^2=(a^2+b^2)a^2;</math>
: <math>(\bar{r}',\bar{r}'',\bar{r}''')=ba^2.</math>
Тоді
: <math>k_2=-\frac{b}{a^2+b^2}.</math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

[[Категорія:Диференціальна геометрія кривих]]
[[Категорія:Кривина (Математика)]]