Перегляд вихідного коду сторінки Синус

{{Тригонометрія}}
{{Otheruses}}
'''Синус''' ({{lang-la|sinus}}&nbsp;— «пазуха»)&nbsp;— [[Тригонометричні функції|тригонометрична функція]] [[кут]]а. Визначення синусу гострого кута в контексті [[Прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]]: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника ([[Гіпотенуза|гіпотенузи]]).

У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення [[Дійсні числа|дійсного числа]], що належить до довжини певного відрізка в [[Одиничне коло|одиничному колі]]. Більш складні сучасні визначення задають синус як [[Ряд (математика)|нескінченний ряд]] або як розв'язок деяких [[Диференціальні рівняння|диференційних рівнянь]], що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до [[Комплексне число|комплексних чисел]].

Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні [[Періодична функція|періодичних]] явищ, таких як [[Звук|звукові]] і світлові хвилі, позиції і швидкості [[Гармонічні коливання|гармонічних коливань]], інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій [[Джа, коті-джа і уткрама-джа|''джа'' і ''коті-джа'']], що використовувалися в [[Імперія Гуптів|період Гупта]] в [[Індійська астрономія|Індійській астрономії]] (''[[Ар'ябхатія]]'', ''[[Сур'я Сіддханта]]''), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь<ref name="Boyer, Carl B. 1991 p. 210">Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.</ref>. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського ''джиба'', яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, ''джа-ардха''.<ref>Victor J. Katz (2008), ''A History of Mathematics'', Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. [http://deti-bilingual.com/wp-content/uploads/2014/06/3rd-Edition-Victor-J.-Katz-A-History-of-Mathematics-Pearson-2008.pdf]</ref> [[Таблиця синусів]] містить числові значення функції синусу.

== Визначення в контексті прямокутного трикутника ==
[[Файл:Trigono sine en2.svg|right|thumb| Для кута ''α'', функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи, <math>\sin \alpha = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} </math>]]

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута ''α'', беруть будь-який [[прямокутний трикутник]] який містить кут ''α''; на відповідному малюнку, це геометричний кут ''A'' в трикутнику ''ABC'', який має значення ''α''. Три сторони трикутника мають назви:
* ''протилежний катет'' це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона&nbsp;'''a'''.
* ''гіпотенуза'' це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона&nbsp;'''h'''. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
* ''прилеглий катет''- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона&nbsp;'''b'''. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут ''A'') і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, [[косинус]] кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).

Як уже зазначалося, значення функції {{math|sin(''α'')}} залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною ''α''. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є [[Подібність (геометрія)|подібними]], і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

== В контексті одиничного кола ==
[[Файл:Unit circle.svg|Unit circle|right|thumb|Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна ''t'' задає значення [[Кут]]а.]]
В [[Тригонометрія|тригонометрії]], одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в [[Початок координат|початку координат]] (0, 0) [[Декартова система координат|декартової системи координат]].

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут ''θ'' із додатною частиною осі ''x'', і перетинає одиничне коло. ''x''- і ''y''-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos&nbsp;''θ'' і {{math|sin(''θ'')}}, відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює&nbsp;1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи [[Одиничне коло#Тригонометричні функції|одиничне коло]] значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є [[Періодична функція|періодичною]].

Одиничне коло є в основі принципу побудови [[Транспортир координатний|координатного транспортиру]]. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.

[[Файл:Circle_cos_sin.gif|thumb|450px|left|Анімація показує як функція синусу (червона) <math>y = \sin(\theta)</math> із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою [[Одиничне коло|одиничного кола]] (зелена), і значення кута ''θ'' задаються [[радіан]]ах.]]{{clr}}

== Тотожності ==
{{See also|Список тригонометричних тотожностей}}

Точні тотожності (застосовуються до [[радіан]]): Застосовуються до всіх значень кута <math>\theta</math>.

: <math>
\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)  = \frac{1}{\csc(\theta)}
</math>

=== Обернені ===
[[Обернене число|оберненим числом]] для синусу є косеканс, тобто обернене число для {{math|sin(''A'')}} записується як {{math|csc(''A'')}}, або cosec(''A''). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

: <math>\csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{opposite}} = \frac{h}{a}. </math>

=== Зворотні функції ===
[[Файл:Arcsine.svg|thumb|180px|Головні значення функції {{math|arcsin(x)}} зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.]]

[[Обернена функція|Зворотньою функцією]] для синусу є арксинус (позначається як ''arcsin'' або ''asin'') або обернений синус ({{math|sin{{sup|-1}}}}). Оскільки синус не має [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивного відображення]], арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, {{math|sin(0) {{=}} 0}}, але також і {{math|sin({{pi}}) {{=}} 0}}, {{math|sin(2{{pi}}) {{=}} 0}} і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус [[Багатозначна функція|багатозначна]]: {{math|arcsin(0) {{=}} 0}}, але також і {{math|arcsin(0) {{=}} {{pi}}}}, {{math|arcsin(0) {{=}} 2{{pi}}}}, і&nbsp;т.&nbsp;д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її [[principal branch|головної області]] значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення ''x'' в усій [[Область значень|області значень]], вираз {{math|arcsin(''x'')}} прийматиме лише одне значення, яке називається його [[principal value|головним значенням]].

: <math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right) = \sin^{-1} \left( \frac {a}{h} \right).</math>

''k'' є деяким цілим значенням:

: <math>\begin{align}
\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ & y = \arcsin x + 2\pi k , \text{ or }\\
 & y = \pi - \arcsin(x) + 2\pi k
\end{align}</math>

або у вигляді одного рівняння:

: <math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = (-1)^k \arcsin(x) + \pi k</math>

Arcsin задовольняє рівнянням:
: <math>\sin(\arcsin(x)) = x\!</math>
і
: <math>\arcsin(\sin(\theta)) = \theta\quad\text{for }-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.</math>

=== Обчислення ===
{{See also|Таблиця інтегралів тригонометричних функцій}}

Для функції синус:

: <math>f(x) = \sin(x) \,</math>

Похідною є:

: <math>f'(x) = \cos(x) \,</math>

Первісною функції є:

: <math>\int f(x)\,dx = -\cos x + C </math>,

де ''C'' позначає [[Стала інтегрування|сталу інтегрування]].

=== Зв'язок із іншими тригонометричними функціями ===
[[Файл:Sine cosine one period.svg|right|thumb|Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: <math>\sin(\pi/2 - x)</math> = <math>\cos(x)</math> для всіх кутів ''x''. А також, похідною функції {{math|sin(''x'')}} є {{math|cos(''x'')}}.]]
Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою [[Signum-функція|знакової функції]] (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:
{| class="wikitable"
|-
!colspan="1" rowspan="3"|
!colspan="1" rowspan="3"|f ''θ''
!colspan="5"|З використанням плюса/мінуса (±)
!colspan="1"|З використанням функції (sgn)
|-
!colspan="1" rowspan=2|f ''θ'' =
!colspan="4"|± по чвертям
!rowspan="2"|f ''θ'' =
|-
! I
! II
! III
! IV
|-
!rowspan="2"|cos
|<math>\sin(\theta)</math>
|<math>= \pm\sqrt{1 - \cos^2(\theta)}</math>
| +
| +
| −
| −
|<math>= \sgn\left( \cos \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)\right) \sqrt{1 - \cos^2(\theta)}</math>
|-
|<math>\cos(\theta)</math>
|<math>= \pm\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}</math>
| +
| −
| −
| +
|<math>= \sgn\left( \sin \left(\theta+ \frac{\pi}{2}\right)\right) \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}</math>
|-
!rowspan="2"|cot
| <math>\sin(\theta)</math>
| <math>= \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(\theta)}}</math>
| +
| +
| −
| −
| <math>=  \sgn\left( \cot\left( \frac{\theta}{2}\right)\right) \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(\theta)}}</math>
|-
|<math>\cot(\theta)</math>
|<math> = \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)}</math>
| +
| −
| −
| +
| <math>= \sgn\left( \sin \left(\theta+ \frac{\pi}{2}\right)\right) \frac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)}</math>
|-
!rowspan="2"|tan
| <math>\sin(\theta)</math>
| <math>= \pm\frac{\tan(\theta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}} </math>
| +
| −
| −
| +
| <math>= \sgn\left( \tan\left(\frac{2\theta + \pi}{4}\right)\right) \frac{\tan(\theta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}}</math>
|-
| <math>\tan(\theta)</math>
| <math>= \pm\frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}</math>
| +
| −
| −
| +
| <math>= \sgn\left( \sin \left(\theta+ \frac{\pi}{2}\right)\right) \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}</math>
|-
!rowspan="2"|sec
| <math>\sin(\theta)</math>
| <math>= \pm\frac{\sqrt{\sec^2(\theta) - 1}}{\sec(\theta)} </math>
| +
| −
| +
| −
| <math>= \sgn\left( \sec \left( \frac{4 \theta - \pi}{2}\right)\right) \frac{\sqrt{\sec^2(\theta) - 1}}{\sec(\theta)} </math>
|-
| <math>\sec(\theta)</math>
| <math>= \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}</math>
| +
| −
| −
| +
| <math>= \sgn\left( \sin \left(\theta+ \frac{\pi}{2}\right)\right) \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}</math>
|}

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді [[Тригонометрична тотожність Піфагора|Тригонометричної тотожності Піфагора]]:

: <math>\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\!</math>

де sin<sup>2</sup>''x'' означає (sin(''x''))<sup>2</sup>.

== Властивості пов'язані із чвертями ==
[[Файл:Quadrants 01 Pengo.svg|thumb|350px|Чотири чверті Декартової системи координат.]]
В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.
{| class="wikitable"  style="text-align: center"
|-
![[Декартова система координат#Квадранти і октанти|Чверть]]
![[Градус (геометрія)|Градуси]]
![[Радіан]]и
!Значення
![[Знак (математика)|Знак]]
![[Монотонна функція|Монотонність]]
![[Опукла функція|Опуклість]]
|-
|1-а чверть
|<math>0^\circ<x<90^\circ</math>
|<math>0<x< \frac{\pi}{2}</math>
|<math>0<\sin(x)<1</math>
|<math>+</math>
|зростаюча
|увігнута
|-
|2-а чверть
|<math>90^\circ<x<180^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math>
|<math>0<\sin(x)<1</math>
|<math>+</math>
|спадна
|увігнута
|-
|3-а чверть
|<math>180^\circ<x<270^\circ</math>
|<math>\pi<x<\frac{3\pi}{2}</math>
|<math>-1<\sin(x)<0</math>
|<math>-</math>
|спадна
|опукла
|-
|4-а чверть
|<math>270^\circ<x<360^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{2}<x<2\pi</math>
|<math>-1<\sin(x)<0</math>
|<math>-</math>
|зростаюча
|опукла
|}

Точки на межах чвертей. k є [[Цілі числа|цілим]] числом.
[[Файл:Sine quads 01 Pengo.svg|thumb|390px|Чверті одиничного кола і функції ''sin x'', у [[Декартова система координат|Декартовій системі координат]].]]

{| class="wikitable" style="text-align: center"
|-
![[Градус (геометрія)|Градуси]]
![[Радіан]]и
<math>0 \le x < 2\pi</math>
!Радіани
!<math>\sin(x)</math>
!Тип точки
|-
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>2\pi k</math>
|<math>0</math>
|align=left|[[Корінь функції|Корінь]], [[Точка перегину]]
|-
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>2\pi k + \frac{\pi}{2}</math>
|<math>1</math>
|align=left|[[Екстремум|Максимум]]
|-
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|<math>2\pi k - \pi</math>
|<math>0</math>
|align=left|[[Корінь функції|Корінь]], [[Точка перегину]]
|-
|<math>270^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{2}</math>
|<math>2\pi k - \frac{\pi}{2}</math>
|<math>-1</math>
|align=left|[[Екстремум|Мінімум]]
|}

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2{{pi}} радіан): <math>\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)</math>, або <math>\sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha)</math>.
А також <math>\cos(x)=\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}</math> і <math>\sin(x)=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}</math>.
Для доповнення синусу, маємо <math>\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)</math>.

== Див. також ==
* [[Тригонометричні функції]]
* [[Формула Ейлера]]
* [[Гіперболічні функції]]
* [[Теорема синусів]]
* [[Синусоїда]]
* [[Рівняння синус-Ґордона]]

== Примітки ==
{{Reflist}}
== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53409/20546.html Синус]}}
[[Категорія:Тригонометричні функції]]