Перегляд вихідного коду сторінки Символічний степінь простого ідеала

В алгебрі, для кільця ''R'' і [[Простий ідеал|простого ідеала]] <math>\mathfrak{p}</math>, '''символічним степенем порядку ''n''''' ідеала <math>\mathfrak{p}</math> називається ідеал

:<math>\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n R_\mathfrak{p} \cap R = \{ f \in R \mid \exists s \in R \setminus \mathfrak{p}, \quad sf \in \mathfrak{p}^n  \}.</math>

Висловлюючись термінологією [[Алгебрична геометрія|алгебричної геометрії]] символічний степінь складається з функцій з нулями порядку ''n'' на [[Алгебричний многовид|многовиді]] визначеному <math>\mathfrak{p}</math>.

== Властивості ==
* Виконуються рівності: <math>\mathfrak{p}^{(1)} = \mathfrak{p}</math> і якщо <math>\mathfrak{p}</math> є [[Максимальний ідеал|максимальним ідеалом]], то <math>\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n</math>.
* Символічний степінь є найменшим <math>\mathfrak{p}</math>-[[Примарний ідеал|примарним ідеалом]], що містить ідеал <math>\mathfrak{p}^n</math>.   
* Якщо кільце ''R'' є [[Кільце Нетер|нетеровим]], тоді символічний степінь є <math>\mathfrak{p}</math>-примарною компонентою в примарному розкладі ідеала <math>\mathfrak{p}^n</math>. 
* Якщо кільце ''R'' є [[Кільце Нетер|нетеровим]] і для деякого простого ідеала <math>\mathfrak{p}</math> виконується рівність <math>\mathfrak{p}^{(k)} = \mathfrak{p}^{(k+1)},</math> то ідеал <math>\mathfrak{p}</math> є [[Мінімальний простий ідеал|мінімальним простим ідеалом]], тобто [[Мінімальний елемент|мінімальним елементом]] у множині простих елементів [[Впорядкована множина|впорядкованій]] щодо [[Підмножина|включення]].
: Справді <math>\mathfrak{p}^{(k)} = \mathfrak{p}^{(k+1)},</math> тоді і тільки тоді коли <math>\mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^{k+1} R_\mathfrak{p}.</math> Оскільки <math>\mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p}</math> є [[Модуль над кільцем|модулем над кільцем]] <math>R_\mathfrak{p}</math> і <math>\mathfrak{p}^{k+1} R_\mathfrak{p} = \mathfrak{p} \mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p}</math> то ми отримуємо <math>\mathfrak{p} \mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p}</math> і з [[Лема Накаями|леми Накаями]] випливає, що <math>\mathfrak{p}^{k} R_\mathfrak{p} = \{0\}.</math> З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала <math>\mathfrak{p} R_\mathfrak{p}</math> є [[Нільпотентний елемент|нільпотентними]], тобто містяться в [[Нільрадикал|нільрадикалі кільця]]. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то <math>\mathfrak{p} R_\mathfrak{p} = \sqrt{0}</math> і тому <math>\mathfrak{p} R_\mathfrak{p} </math> є мінімальним простим ідеалом у кільці <math>R_\mathfrak{p} </math> і, як наслідок, <math>\mathfrak{p}</math> є мінімальним простим ідеалом у кільці ''R''.
* Якщо <math>\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}</math> є простими ідеалами [[Регулярне локальне кільце|регулярного кільця]] ''R,'' то також <math>\mathfrak{p}^{(n)} \subseteq \mathfrak{q}^{(n)}.</math>

== Приклад ==
Нехай кільце <math>A := \Complex [x,y,z]/(xy - z^2)</math> і <math>\bar f</math> надалі позначатиме клас многочлена ''f'' у фактор кільці ''A''. 

Нехай <math>\mathfrak{p} := (\bar x, \bar z)</math> (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці ''A''. Неважко переконатися, що <math>\bar x \not \in \mathfrak{p}^2</math> але натомість <math>\bar x \in \mathfrak{p}^{(2)}</math> (дійсно <math>\bar y \in A \setminus \mathfrak{p}</math> і <math>\bar x \bar y = \bar z ^2 \in \mathfrak {p}^2</math>). Натомість <math>\bar z \not \in \mathfrak{p}^{(2)}</math> і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів <math>\mathfrak{p}  \supset \mathfrak{p}^{(2)} \supset \mathfrak{p}^2.</math>

== Посилання ==
* Юрій Дрозд. [http://www.imath.kiev.ua/~drozd/agukr.pdf Вступ до алгебричної геометрії]
* Melvin Hochster. [http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/711F07/L09.07.pdf Math 711: Lecture of September 7, 2007]

[[Категорія:Комутативна алгебра]]