Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння електромагнітної хвилі

Рівняння '''електромагнітної хвилі''' - це [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальне рівняння з частковими похідними]] другого порядку, за допомогою якого можна описати поширення [[Електромагнітне випромінювання|електромагнітних хвиль]] у [[Середній (оптика)|середовищі]] або у [[Вакуум|вакуумі]] . Це [[Хвильове рівняння|тривимірна форма хвильового рівняння]] . Однорідна форма рівняння, записана через [[електричне поле]] {{Math|'''E'''}} або [[магнітне поле]] {{Math|'''B'''}}, має вигляд:

: <math>\begin{align}
\left(v_{ph}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E} &= \mathbf{0} \\
\left(v_{ph}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B} &= \mathbf{0}
\end{align}</math>

де

: <math> v_{ph} = \frac{1}{\sqrt {\mu\varepsilon}} </math>

- [[швидкість світла]] (тобто [[фазова швидкість]] ) у середовищі з магнітною [[Магнітна проникність|проникністю]] {{Mvar|μ}} та [[Абсолютна діелектрична проникність|діелектричною проникністю]] {{Mvar|ε}}, а {{Math|∇<sup>2</sup>}} - [[оператор Лапласа]] . У вакуумі {{Math|v<sub>ph</sub> {{=}} ''c<sub>0</sub>'' {{=}} 299,792,458}} метрів на секунду - основна [[Фізичні константи|фізична стала]] .  Рівняння електромагнітної хвилі випливає з [[Рівняння Максвелла|рівнянь Максвелла]] . У більшості старих літературних джерел {{Math|'''B'''}} називають ''густиною магнітного потоку'' або ''магнітною індукцією'' .

== Походження рівняння електромагнітної хвилі ==
[[Файл:Postcard-from-Maxwell-to-Tait.jpg|праворуч|міні|175x175пкс| Листівка від Максвелла до [[Пітер Гатрі Тет|Пітера Тейта]] .]]
У своїй статті 1865 року під назвою «Динамічна теорія електромагнітного поля» Максвелл використав виправлення до циркулярного закону Ампера, яке він вніс у частину III статті 1861 року « Про фізичні сили». У ''частині VI'' своєї роботи 1864 року, під назвою "''Електромагнітна теорія світла"'' <ref>[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf Maxwell 1864], page 497.</ref> Максвелл поєднав струм переміщення з деякими іншими рівняннями електромагнетизму, і отримав хвильове рівняння зі швидкістю, що дорівнює швидкості світла. Він прокоментував:<blockquote>Узгодженість результатів, здається, показує, що світло і магнетизм - це вплив однієї і тієї ж речовини, і що світло - це електромагнітне збурення, що поширюється полем відповідно до електромагнітних законів. <ref>See [//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf Maxwell 1864], page 499.</ref></blockquote>Висновок Максвелла про рівняння електромагнітних хвиль  було замінено у сучасній фізичній освіті набагато менш громіздким методом, що передбачає поєднання виправленої версії закону Ампера з законом Індукції [[Закон електромагнітної індукції Фарадея|Фарадея]] .

Щоб отримати рівняння електромагнітної хвилі у вакуумі за допомогою сучасних методів, ми почнемо з сучасної '''форми рівнянь Максвелла у формі''' " '''Хевісайда"''' . У просторі без вакууму та заряду ці рівняння:

: <math>\begin{align}
 \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \\
 \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\\
 \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
 \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\\
\end{align}</math>

Це загальні рівняння Максвелла, спеціалізовані для випадку із зарядом і струмом, що дорівнюють нулю. Прийняття вихрів рівнянь завитки дає:

: <math>\begin{align}
\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) &= \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \\
\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) &= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}
\end{align}</math>

Ми можемо використовувати [[Формули векторного аналізу|векторну ідентичність]]

: <math>\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}</math>

де {{Math|'''V'''}} - будь-яка векторна функція простору. І

: <math>\nabla^2 \mathbf{V} = \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf{V} \right)</math>

де {{Math|∇'''V'''}} - [[Діада|діада,]] яка при дії оператора розбіжності {{Math|∇ ⋅}} дає вектор. Оскільки

: <math>\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0\\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0
\end{align}</math>

тоді перший доданок справа в тотожності зникає, і ми отримуємо хвильові рівняння:

: <math>\begin{align}
\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} &= 0\\
\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} &= 0
\end{align}</math>

де

: <math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 2.99792458 \times 10^8\;\textrm{m/s}</math>

- швидкість світла у вільному просторі.

== Коваріантна форма однорідного хвильового рівняння ==
[[Файл:Time_dilation02.gif|праворуч|обрамити| Розширення часу в поперечному русі. Вимога про постійну швидкість світла в кожній [[Інерційна система відліку|інерційній системі відліку]] призводить до [[Спеціальна теорія відносності|спеціальної теорії відносності]] .]]
Ці релятивістські рівняння можна записати у [[Коваріантність і контраваріантність (математика)|противаріантній]] формі як

: <math>\Box A^{\mu} = 0</math>

де [[Електромагнітний потенціал|електромагнітний чотирипотенціал]]

: <math>A^{\mu}= \left (\frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right)</math>

з каліброваною умовою Лоренца :

: <math>\partial_{\mu} A^{\mu} = 0,</math>

і де

: <math>\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}</math>

є [[Оператор д'Аламбера|оператором]] [[Оператор д'Аламбера|д'Аламбера]].

== Однорідне хвильове рівняння в криволінійному просторі-часі ==
Рівняння електромагнітної хвилі модифікується двома способами, похідна замінюється [[Коваріантна похідна|коваріантною похідною]] і з'являється новий доданок, який залежить від кривизни.

: <math> -{A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0 </math>

де <math> \scriptstyle {R^\alpha}_\beta </math> є [[Тензор Річчі|тензором кривизни Річчі,]] а крапка з комою вказує на коваріантну диференціацію.

Припускається узагальнення каліброваної умови Лоренца в кривому просторі-часі:

: <math> {A^\mu}_{; \mu} = 0. </math>

== Рівняння неоднорідної електромагнітної хвилі ==
Локалізовані в часі змінні густини заряду і струму можуть виступати джерелами електромагнітних хвиль у вакуумі. Рівняння Максвелла можна записати у вигляді хвильового рівняння з джерелами. Додавання джерел до хвильових рівнянь робить [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальні рівняння]] з [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|частинними похідними]] неоднорідними.

== Рішення однорідного рівняння електромагнітної хвилі ==
Загальним рішенням рівняння електромагнітної хвилі є [[Принцип суперпозиції|лінійна суперпозиція]] хвиль виду

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) </math>
: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) </math>

для практично ''будь'' -якої належної функції {{Mvar|g}} безрозмірного аргументу {{Mvar|φ}}, де {{Mvar|ω}} - [[кутова частота]] (у радіанах за секунду), а {{Math|'''k''' {{=}} (''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'', ''k<sub>z</sub>'')}} - [[хвильовий вектор]] (у радіанах на метр).

Хоча функція {{Mvar|g}} може бути і часто є монохроматичною [[Синусоїда|синусоїдою]], вона не повинна бути синусоїдальною або навіть періодичною. На практиці {{Mvar|g}} не може мати нескінченну періодичність, оскільки будь-яка реальна електромагнітна хвиля завжди повинна мати кінцевий ступінь у часі та просторі. Як результат, на основі теорії [[Перетворення Фур'є|розкладання Фур'є]], реальна хвиля повинна складатися з суперпозиції нескінченного набору синусоїдальних частот.

Крім того, для дійсного рішення хвильовий вектор і кутова частота не є незалежними; вони повинні дотримуватися [[Закон дисперсії|дисперсійного відношення]] :

: <math> k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } </math>

де {{Mvar|k}} - [[Хвильове число|число]] [[Довжина хвилі|хвилі,]] а {{Mvar|λ}} - [[довжина хвилі]] . Змінна {{Mvar|c}} може бути використана в цьому рівнянні лише тоді, коли електромагнітна хвиля знаходиться у вакуумі.

=== Монохроматичний, синусоїдальний стаціонарний стан ===
Найпростіший набір рішень хвильового рівняння випливає з припущення синусоїдальних сигналів однієї частоти у відокремлюваній формі:

: <math>\mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \Re \left \{ \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{i \omega t} \right \}</math>

де

: {{Mvar|i}} - [[уявна одиниця]] ,
: {{Math|''ω'' {{=}} 2''π''&thinsp;''f''&thinsp;}}- [[кутова частота]] в [[Радіан за секунду|радіанах за секунду]] ,
: {{Math|&thinsp;''f''&thinsp;}}- '''[[частота]] в [[Герц|герцах]], і'''
: <math> \scriptstyle e^{i \omega t} = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t)</math> - [[формула Ейлера]] .

=== Рішення плоских хвиль ===
Розглянемо площину, визначену одиничним нормальним вектором

: <math> \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k }. </math>

Тоді площинні хвильові розв'язки хвильових рівнянь є

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } </math>
: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mathbf{B}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } </math>

де {{Math|'''r''' {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}} - вектор положення (у метрах).

Ці рішення представляють плоскі хвилі, що рухаються в напрямку нормального вектора {{Math|'''n'''}} . Якщо визначити напрямок z як напрямок {{Math|'''n'''}} . і напрям x як напрямок {{Math|'''E'''}}, тоді за законом Фарадея магнітне поле лежить в напрямку y і пов'язане з електричним полем відношенням

: <math>c^2{\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t}.</math>

Оскільки розбіжності електричного та магнітного полів дорівнюють нулю, полів у напрямку розповсюдження немає.

Це рішення є лінійно [[Поляризація хвиль|поляризованим]] рішенням хвильових рівнянь. Існують також циркулярно поляризовані розчини, в яких поля обертаються навколо нормального вектора.

=== Спектральне розкладання ===
Через лінійність рівнянь Максвелла у вакуумі розчини можна розкласти на суперпозицію [[Синус|синусоїд]] . Це основа для методу [[перетворення Фур'є]] для розв'язку диференціальних рівнянь. Синусоїдальний розчин рівняння електромагнітної хвилі набуває вигляду

: <math> \mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0) </math>
: <math> \mathbf{B} (\mathbf{r}, t) = \mathbf{B}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0) </math>

де

: {{Mvar|t}} - час (у секундах),
: {{Mvar|ω}} - [[кутова частота]] (в радіанах за секунду),
: {{Math|'''k''' {{=}} (''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'', ''k<sub>z</sub>'')}} - [[хвильовий вектор]] (в радіанах на метр), і
: <math> \scriptstyle \phi_0 </math> - [[Фаза (коливання)|фазовий кут]] (у радіанах).

Хвильовий вектор пов'язаний з кутовою частотою на

: <math> k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } </math>

де {{Mvar|k}} - [[Хвильове число|число]] [[Довжина хвилі|хвилі,]] а {{Mvar|λ}} - [[довжина хвилі]] .

[[Електромагнітний спектр]] - це графік величин поля (або енергій) як функції довжини хвилі.

=== Багатополюсне розширення ===
Припускаючи, що монохроматичні поля змінюються в часі як <math>e^{-i \omega t}</math>, якщо використовувати рівняння Максвелла для усунення {{Math|'''B'''}}, рівняння електромагнітної хвилі зводиться до [[рівняння Гельмгольца]] для {{Math|'''E'''}} :

: <math> (\nabla^2 + k^2)\mathbf{E} = 0,\, \mathbf{B} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E},</math>

з ''k = &#x3C9; / c,'' як зазначено вище. Як варіант, можна виключити {{Math|'''E'''}} на користь {{Math|'''B'''}} щоб отримати:

: <math> (\nabla^2 + k^2)\mathbf{B} = 0,\, \mathbf{E} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}.</math>

Загальне електромагнітне поле з частотою {{Mvar|ω}} можна записати як суму розв’язків цих двох рівнянь. [[Рівняння Гельмгольца|Тривимірні рішення рівняння Гельмгольца]] можна виразити як розкладання [[Сферичні гармоніки|сферичних гармонік]] з коефіцієнтами, пропорційними [[Функції Бесселя|сферичним функціям Бесселя]] . Однак застосування цього розширення до кожної векторної складової {{Math|'''E'''}} або {{Math|'''B'''}} дасть рішення, які загалом не мають розбіжностей ( {{Math|'''∇''' · '''E''' {{=}} '''∇''' · '''B''' {{=}} 0}} ), а отже, вимагають додаткових обмежень на коефіцієнти.

Багатополюсне розширення обходить цю складність, розширюючи не {{Math|'''E'''}} або {{Math|'''B'''}}, а {{Math|'''r · E'''}} або {{Math|'''r · B'''}} в сферичні гармоніки. Ці розширення все ще вирішують вихідні рівняння Гельмгольца для {{Math|'''E'''}} та {{Math|'''B'''}} оскільки для поля, що не розходиться, {{Math|'''F'''}}, {{Math|∇<sup>2</sup> ('''r · F''') {{=}} '''r ·''' (∇<sup>2</sup> '''F''')}} . Отримані вирази для загального електромагнітного поля є:

: <math>\mathbf{E} = e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(M)} \right]</math>
: <math>\mathbf{B} = e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(M)} \right]</math> ,

де <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(E)}</math> і <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(E)}</math> - ''електричні багатополюсні поля порядку (l, m)'', і <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(M)}</math> і <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(M)}</math> - відповідні ''магнітні багатополюсні поля'', а {{Math|''a<sub>E</sub>''(''l'', ''m'')}} та {{Math|''a<sub>M</sub>''(''l'', ''m'')}} - коефіцієнти розширення. Багатополюсні поля задаються

: <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(E)} = \sqrt{l(l+1)} \left[B_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + B_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m}</math>
: <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(E)} = \frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}_{l,m}^{(E)}</math>
: <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(M)} = \sqrt{l(l+1)} \left[E_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + E_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m}</math>
: <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(M)} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E}_{l,m}^{(M)}</math> ,

де ''h'' <sub>l</sub> <sup>(1,2)</sup> ( ''x'' ) - [[Функції Бесселя|сферичні функції Ганкеля]], ''E'' <sub>l</sub> <sup>(1,2)</sup> та ''B'' <sub>l</sub> <sup>(1,2)</sup> визначаються граничними умовами, і

: <math>\mathbf{\Phi}_{l,m} = \frac{1}{\sqrt{l(l+1)}}(\mathbf{r} \times \nabla) Y_{l,m}</math>

- векторні сферичні гармоніки, нормовані так, що

: <math>\int \mathbf{\Phi}^*_{l,m} \cdot \mathbf{\Phi}_{l', m'} d\Omega = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'}.</math>

Багатополюсне розширення електромагнітного поля знаходить застосування в ряді проблем, що включають сферичну симетрію, наприклад, діаграми [[Діаграма спрямованості|випромінювання]] антен або ядерний [[Гамма-промені|гамма-розпад]] . У цих додатках часто цікавить потужність, що випромінюється в [[Ближнє поле|далекому полі]] . У цих регіонах поля {{Math|'''E'''}} та {{Math|'''B'''}} асимптотують до

: <math>\mathbf{B} \approx \frac{e^{i (kr-\omega t)}}{kr} \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} + a_M(l,m) \mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\Phi}_{l,m} \right]</math>
: <math>\mathbf{E} \approx \mathbf{B} \times \mathbf{\hat{r}}.</math>

Тоді кутовий розподіл усередненої за часом потужності випромінювання визначається як

: <math>\frac{dP}{d\Omega} \approx \frac{1}{2k^2} \left| \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[ a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \times \mathbf{\hat{r}} + a_M(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \right] \right|^2.</math>

== Дивитися також ==

=== Теорія та експеримент ===
{{Col-begin}}
{{Col-break}}
* [[Рівняння Максвелла]]
* [[Хвильове рівняння]]
* [[Диференціальне рівняння з частинними похідними]]
* [[Обчислювальний електромагнетизм]]
* [[Електромагнітне випромінювання]]
* [[Закон збереження електричного заряду]]
* [[Світло]]
* [[Електромагнітний спектр]]
* [[Оптика]]
{{Col-break}}
* [[Спеціальна теорія відносності]]
* [[Загальна теорія відносності]]
* {{iw|Inhomogeneous electromagnetic wave equation}}
* {{iw|Photon polarization}}
* {{iw|Larmor formula|Larmor power formula}}
{{Col-end}}

=== Застосування ===
{{Col-begin}}
{{Col-break}}
* [[Rainbow]]
* [[Реліктове випромінювання]]
* [[Лазер]]
* [[Інерційне утримання плазми]]
* [[Фотографія]]
* [[X-ray]]
* [[Рентгеноструктурний аналіз]]
* [[Радар]]
{{Col-break}}
* [[Радіохвилі]]
* [[Фотонний комп'ютер]]
* [[Голографія]]
* [[Мікроскоп]]
* [[Телескоп]]
* [[Гравітаційна лінза]]
* [[Випромінювання чорного тіла]]
{{Col-end}}

=== Біографії ===
{{Col-begin}}
{{Col-break}}
* [[Андре-Марі Ампер]]
* [[Альберт Ейнштейн]]
* [[Майкл Фарадей]]
* [[Генріх Герц]]
* [[Олівер Гевісайд]]
* [[Джеймс Клерк Максвелл]]
{{Col-end}}

== Примітки ==
<references />

== Подальше читання ==

=== Електромагнетизм ===

==== Журнальні статті ====

* Максвелл, Джеймс Клерк, " ''[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf Динамічна теорія електромагнітного поля]'' ", Філософські угоди Лондонського королівського товариства 155, 459-512 (1865). (Ця стаття супроводжувала презентацію Максвелла 8 грудня 1864 р. Перед Королівським товариством. )

==== Підручники для студентів ====

* {{Cite book
|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0
|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Griffiths, David J.
|year=1998
|publisher=Prentice Hall
|isbn=0-13-805326-X
}}<bdi>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0
|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Griffiths, David J.
|year=1998
|publisher=Prentice Hall
|isbn=0-13-805326-X
}}</bdi> {{Cite book
|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0
|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Griffiths, David J.
|year=1998
|publisher=Prentice Hall
|isbn=0-13-805326-X
}}

==== Підручники вищого рівня ====

* {{Cite book
|title=Classical Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Jackson, John D.
|year=1998
|publisher=Wiley
|isbn=0-471-30932-X
}}<bdi>{{Cite book
|title=Classical Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Jackson, John D.
|year=1998
|publisher=Wiley
|isbn=0-471-30932-X
}}</bdi> {{Cite book
|title=Classical Electrodynamics (3rd ed.)
|last=Jackson, John D.
|year=1998
|publisher=Wiley
|isbn=0-471-30932-X
}}
* [[Ландау Лев Давидович|Ландау, Л.Д.]], ''Класична теорія полів'' ( Курс теоретичної фізики : Том 2), (Баттерворт-Хайнеман: Оксфорд, 1987).{{ISBN|0-08-018176-7}} .
* {{Cite book
|title=A Treatise on Electricity and Magnetism
|last=Maxwell, James C.
|year=1954
|publisher=Dover
|isbn=0-486-60637-6
}}<bdi>{{Cite book
|title=A Treatise on Electricity and Magnetism
|last=Maxwell, James C.
|year=1954
|publisher=Dover
|isbn=0-486-60637-6
}}</bdi> {{Cite book
|title=A Treatise on Electricity and Magnetism
|last=Maxwell, James C.
|year=1954
|publisher=Dover
|isbn=0-486-60637-6
}}
* Чарльз В. Міснер, [[Кіп Торн|Кіп С. Торн]], [[Джон Арчибальд Вілер|Джон Арчібальд Вілер]], ''Гравітація'', (1970) WH Freeman, Нью-Йорк;{{ISBN|0-7167-0344-0}} . ''(Надає трактування рівнянь Максвелла з точки зору диференціальних форм.'' '')''

=== Векторні числення ===

* PC Matthews ''Vector Calculus'', Springer 1998,{{ISBN|3-540-76180-2}}
* Х. М. Шей, ''Дів Град Керл і все таке: Неформальний текст про векторне числення'', 4-е видання (WW Norton & Company, 2005){{ISBN|0-393-92516-1}} .
[[Категорія:Математична фізика]]
[[Категорія:Електромагнітне випромінювання]]