Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння Якобі — Маддена

'''Рівняння Якобі&nbsp;— Маддена'''&nbsp;— це [[Діофантові рівняння|діофантове рівняння]]

: <math>a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a + b + c + d)^4 \, </math>

яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. Мадден{{Sfn|Jacobi, Madden|2008|с=220–236}}<ref>{{Cite web|url=http://www.physorg.com/news124726812.html|title=Mathematicians find new solutions to an ancient puzzle|accessdate=2019-01-17|archivedate=2012-03-01|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120301200904/http://www.physorg.com/news124726812.html|deadurl=no}}</ref>. Змінні ''a'', ''b'', ''c'' і ''d'' можуть бути будь-якими [[Цілі числа|цілими числами]], додатними, від'ємними або 0<ref>Будь-який нетривіальний розв'язок має включати як додатні, і від'ємні значення.</ref>. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.

== Історія ==
З кожного розв'язку рівняння Якобі&nbsp;— Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння

: <math>a^4 + b^4 +c^4 +d^4 = e^4 \, </math>,

яке вперше запропонував 1772 року [[Леонард Ейлер]], який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як [[гіпотеза Ейлера]], є природним узагальненням [[Велика теорема Ферма|великої теореми Ферма]]; останню довів для четвертого степеня сам [[П'єр Ферма]].

{{Нп|Ноам Елкіс|3=en|4=Noam Elkies}} першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеня{{Sfn|Elkies|1988|с=825–835}}.

Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язків<ref>{{MathWorld|urlname=DiophantineEquation4thPowers|title=Diophantine Equation–4th Powers}}</ref><ref name="w414">Jaroslaw Wroblewski [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/414.txt Database of solutions to the Euler’s equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191017055635/http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/414.txt |date=2019-10-17 }}</ref>. 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язків{{Sfn|Brudno|1964|с=1027–1028}} із розв'язку рівняння Якобі&nbsp;— Маддена:

: <math>5400^4 + 1770^4 + (-2634)^4 + 955^4 = (5400 + 1770 - 2634 + 955)^4. \, </math>

== Підхід ==
Якобі та Мадден почали з

: <math>a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4</math>

і тотожності,

: <math>a^4+b^4+(a+b)^4 = 2(a^2+ab+b^2)^2</math>.

Додавши <math>(a+b)^4+(c+d)^4</math> до обох частин рівняння,

: <math>a^4+b^4+(a+b)^4+c^4+d^4+(c+d)^4 = (a+b)^4+(c+d)^4+(a+b+c+d)^4</math>

можна бачити, що це окремий випадок [[Числа Піфагора|піфагорової трійки]],

: <math>(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = \big((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2\big)^2 = \tfrac{1}{4}\big((a+b)^2+(c+d)^2+(a+b+c+d)^2\big)^2</math>

Вони потім використали розв'язок Брудно й [[Еліптична крива|еліптичну криву]] для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі&nbsp;— Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу {{Нп|Ноам Елкіс|Елкіса|en|Noam Elkies}}, в побудові використано ненульові значення змінних.

Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як

: <math>(-31764)^4 + 27385^4 + 48150^4 + 7590^4 = (-31764 + 27385 + 48150 + 7590)^4 \, , </math>

яке знайшов Ярослав Вроблевський<ref name="w414"/>, дає іншу нескінченну серію розв'язків<ref>Seiji Tomita, [http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph63e.html Solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180119204041/http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph63e.html |date=2018-01-19 }}, 2010.</ref>.

У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі&nbsp;— Маддена з невеликими значеннями<ref>Seiji Tomita, [http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph168e.html New solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304075032/http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph168e.html |date=2016-03-04 }}, 2015.</ref>:

: <math>1229559^4 + (-1022230)^4 + 1984340^4 + (-107110)^4 = (1229559 -1022230 + 1984340 - 107110)^4 \,,</math>

: <math>561760^4 + 1493309^4 + 3597130^4 + (-1953890)^4 = (561760 + 1493309 + 3597130 - 1953890)^4 \,.</math>

== Див. також ==

* {{Нп|Гіпотеза Біла|3=en|4=Beal conjecture}}
* {{Не перекладено|Задача Пруе — Таррі — Ескотта||en|Prouhet–Tarry–Escott problem}}
* [[Число таксі]]
* [[Піфагорова четвірка]]
* {{Нп|Гіпотеза Ландера — Паркіна — Селфріджа|3=en|4=Lander, Parkin, and Selfridge conjecture}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Стаття|author=Lee W. Jacobi, Daniel J. Madden|ref=Jacobi, Madden|title=On <math>a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a + b + c + d)^4</math>|видання=[[American Mathematical Monthly]]|date=2008|том=115|issue=3|url=http://www.ingentaconnect.com/content/maa/amm/2008/00000115/00000003/art00005}}
* {{Стаття|author={{Нп|Ноам Елкіс|3=en|4=Noam Elkies}}|ref=Elkies|title=On ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> = ''D''<sup>4</sup>|видання=[[Mathematics of Computation]]|date=1988|том=51|doi=10.2307/2008781|issue=184}}
* {{Стаття|author=Simcha Brudno|ref=Brudno|title=A further example of ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> + ''D''<sup>4</sup> = ''E''<sup>4</sup>|видання=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|date=1964|том=60|issue=04|doi=10.1017/S0305004100038470}}
{{Refend}}
[[Категорія:Діофантові рівняння]]
[[Категорія:2008 у науці]]