Рівняння Якобі — Маддена

Рівняння Якобі — Маддена — це діофантове рівняння

$a^4+b^4+c^4+d^4=(a+b+c+d{)}^4$

яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. МадденШаблон:Sfn. Змінні a, b, c і d можуть бути будь-якими цілими числами, додатними, від'ємними або 0. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.

Історія

З кожного розв'язку рівняння Якобі — Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння

$a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$,

яке вперше запропонував 1772 року Леонард Ейлер, який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як гіпотеза Ейлера, є природним узагальненням великої теореми Ферма; останню довів для четвертого степеня сам П'єр Ферма.

Шаблон:Нп першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеняШаблон:Sfn.

Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язків. 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язківШаблон:Sfn із розв'язку рівняння Якобі — Маддена:

$5400^4+1770^4+(-2634{)}^4+955^4=(5400+1770-2634+955{)}^4.$

Підхід

Якобі та Мадден почали з

$a^4+b^4+c^4+d^4=(a+b+c+d{)}^4$

і тотожності,

$a^4+b^4+(a+b{)}^4=2(a^2+ab+b^2{)}^2$.

Додавши $(a+b{)}^4+(c+d{)}^4$ до обох частин рівняння,

$a^4+b^4+(a+b{)}^4+c^4+d^4+(c+d{)}^4=(a+b{)}^4+(c+d{)}^4+(a+b+c+d{)}^4$

можна бачити, що це окремий випадок піфагорової трійки,

$(a^2+ab+b^2{)}^2+(c^2+cd+d^2{)}^2=((a+b{)}^2+(a+b)(c+d)+(c+d{)}^2{)}^2=\frac{1}{4}((a+b{)}^2+(c+d{)}^2+(a+b+c+d{)}^2{)}^2$

Вони потім використали розв'язок Брудно й еліптичну криву для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі — Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу Шаблон:Нп, в побудові використано ненульові значення змінних.

Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як

$(-31764{)}^4+27385^4+48150^4+7590^4=(-31764+27385+48150+7590{)}^4,$

яке знайшов Ярослав Вроблевський, дає іншу нескінченну серію розв'язків.

У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі — Маддена з невеликими значеннями:

$1229559^4+(-1022230{)}^4+1984340^4+(-107110{)}^4=(1229559-1022230+1984340-107110{)}^4,$

$561760^4+1493309^4+3597130^4+(-1953890{)}^4=(561760+1493309+3597130-1953890{)}^4.$

Див. також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Не перекладено
• Число таксі
• Піфагорова четвірка
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття