Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння Цьопріца

[[Файл:WaveZoeppritzP.png|thumb|Хвилі, збурені на границі розділу двох середовищ при падінні плоскої поздовжньої хвилі]]
В [[Геофізика|геофізиці]] '''рівняння Цьопріца''' ({{lang-en|Zoeppritz equations}})&nbsp;— система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених [[Плоска хвиля|плоских]] хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ<ref name="SheriffGeldart"> Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2nd Edition. Exploration Seismology. Cambridge University Press.{{ref-en}}</ref><ref name="AkiRichards"> Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1.{{ref-ru}}</ref>.
Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком {{не перекладено|Карл Бернхард Цьопріц|Карлом Бернхардом Цьопріцем|en|Karl Bernhard Zoeppritz}} (опубліковані в 1919&nbsp;р. вже після його смерті<ref>Zoeppritz, Karl (1919). Erdbebenwellen VII. VIIb. Über Reflexion und Durchgang seismischer Wellen durch Unstetigkeitsflächen. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 66-84.{{ref-de}}</ref>), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується [[Рівняння Кнотта|рівняннями Кнотта]] в термінах потенціалів зміщення.

Ця задача була вперше розглянута [[Джордж Ґрін|Джорджем Гріном]] в 1839&nbsp;р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні [[Модулі пружності|пружні модулі]] та густини. Узагальнення виконали [[Карджіл Гілстон Кнотт|Кнотт]] в 1899&nbsp;р. і незалежно від нього [[Карл Бернхард Цьопріц|Цьопріц]] в 1907 р<ref name=AkiRichards/>.

Рівняння Цьопріца є основою для [[AVO-аналіз]]у&nbsp;&mdash; корисного методу виявлення [[Природний резервуар вуглеводнів|резервуарів вуглеводнів]]<ref name="Shalaeva">Н.&nbsp;В.&nbsp;Шалаева. AVO-анализ: физические основы, возможности и ограничения. Геленджик. 2004.{{ref-ru}}</ref>.

== Рівняння Цьопріца для падаючої поздовжньої хвилі ==

=== Довільний кут падіння хвилі ===

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає [[Плоска хвиля|плоска]] [[Поздовжня хвиля|поздовжня]] хвиля з амплітудою зміщення <math>A_0</math> під кутом <math>\theta_1</math>, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: [[Поздовжня хвиля|поздовжня]] відбита (<math>A_1, \theta_1^'</math>), [[Поперечна хвиля|поперечна]] відбита (<math>B_1, \delta_1</math>), поздовжня [[Заломлення|заломлена]] (<math>A_2, \theta_2</math>) і поперечна заломлена (<math>B_2, \delta_2</math>).
Параметри середовища вказані на рисунку: <math>\sigma</math>&nbsp;&mdash; густина, <math>V_P, V_S</math>&nbsp;&mdash; швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою [[Закон Снеліуса|законом Снеліуса]]:

: <math>\frac{\sin{\theta_1}}{V_{P1}} = \frac{\sin{\theta_2}}{V_{P2}} = \frac{\sin{\delta_1}}{V_{S1}} = \frac{\sin{\delta_2}}{V_{S2}} = p</math>,

де <math>p</math> є [[Хвильовий параметр|хвильовим параметром]].

В цьому випадку система рівнянь Цьопріца матиме наступний вигляд<ref name="SheriffGeldart"/>:

<math>
\left\{ 
\begin{array}{llllllll}
    A_1 \cos\theta_1       &- &B_1 \sin\delta_1 &+ &A_2 \cos\theta_2 &+ &B_2 \sin\delta_2 &= A_0 \cos\theta_1,\\
    A_1 \sin\theta_1       &+ &B_1 \cos\delta_1 &- &A_2 \sin\theta_2 &+ &B_2 \cos\delta_2 &= - A_0 \sin\theta_1,\\
    A_1 Z_1 \cos 2\delta_1 &- &B_1 W_1 \sin 2\delta_1 &- &A_2 Z_2 \cos 2\delta_2 &- &B_2 W_2 \sin 2\delta_2 &= - A_0 Z_1 \cos 2\delta_1,\\
    A_1 \frac{V_{S1}}{V_{P1}} W_1 \sin 2\theta_1 &+ &B_1 W_1 \cos 2\delta_1 &+ 
        &A_2 \frac{V_{S2}}{V_{P2}} W_2 \sin 2\theta_2 &- &B_2 W_2 \cos 2\delta_2 &= A_0 \frac{V_{S1}}{V_{P1}}W_1 \sin 2\theta_1,
\end{array}
\right.
</math>

де <math>Z_i = \sigma_i V_{Pi}</math>, <math>W_i = \sigma_i V_{Si}</math>, <math>i = 1, 2</math>.

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.

Добутки густини на швидкість (<math>Z_i</math>, <math>W_i</math>) називаються акустичними жорсткостями.

=== Нормальне падіння хвилі ===
Для поздовжньої хвилі при нормальному падінні (<math>\theta_1=0</math>) відсутні тангенціальні напруження і зміщення. Тому <math>B_1 = B_2 = 0</math>, і рівняння Цьопріца набувають вигляду:

: <math>
     \left\{ 
        \begin{array}{rrrr}
               A_1& +&     A_2 =&       A_0,\\
           Z_1 A_1& -& Z_2 A_2 =& - Z_1 A_0.
        \end{array}
     \right.
  </math>

Розв'язком цих рівнянь відносно коефіцієнтів відбиття (''R'') та проходження (''T'') є

: <math>\frac{A_1}{A_0} = R_{PP}(0) = \frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}</math>,
: <math>\frac{A_2}{A_0} = T_{PP}(0) = \frac{2Z_1}{Z_2+Z_1}</math>.

== Наближення ==

Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння <math>\theta_1</math>.

=== Наближення Акі-Річардса<ref name="AkiRichards"/> ===

Наближення Акі-Річардса є важливою лінійною апроксимацією рівнянь Цьопріца, яке є справедливим для кутів аж до 40°.

Коефіцієнт відбиття, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:
: <math>\frac{A_1}{A_0} = R_{PP}(\theta_1) = \frac12 \frac{\Delta \sigma}{\sigma} - 
	2 \frac{V_S^2}{V_{P1}^2} \frac{\Delta \sigma}{\sigma} \sin^2\theta_1 +
	\frac12 \frac{\Delta V_P}{V_P} \frac1{\cos^2\theta} - 
	4 \frac{V_S^2}{V_{P1}^2} \frac{\Delta V_S}{V_S} \sin^2\theta_1</math>,

Коефіцієнт проходження, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

: <math>\frac{A_2}{A_0} = T_{PP} (\theta_1) = 1 - \frac12 \frac{\Delta \sigma}{\sigma} +
	\left( \frac1{2 \cos^2 \theta} - 1 \right) \frac{\Delta V_P}{V_P}</math>,

Коефіцієнт відбиття, падаюча хвиля поздовжня, відбита&nbsp;&mdash; поперечна:

: <math>\frac{B_1}{A_0} = R_{PS}(\theta_1) = - \frac{V_P}{2 V_{P_1}} \frac{\sin \theta_1}{\cos \delta}
	\left[\left(1 - \frac{2 V_S^2}{V_{P_1}^2} \sin^2 \theta_1 + \frac{2 V_S}{V_P} \cos \theta \cos \delta
	\right) \frac{\Delta \sigma}{\sigma} -    
	\left(
	\frac{4 V_S^2}{V_{P_1}^2} \sin^2 \theta_1 - 
	\frac{4 V_S}{V_P} \cos \theta \cos \delta                       
	\right) \frac{\Delta V_S}{V_S}
	\right]</math>,

Коефіцієнт проходження, падаюча хвиля поздовжня, відбита&nbsp;&mdash; поперечна:

: <math>\frac{B_2}{A_0} = T_{PS}(\theta_1) = \frac{V_P}{2 V_{P_1}} \frac{\sin \theta_1}{\cos \delta}
	\left[\left(
	1 - \frac{2 V_S^2}{V_{P_1}^2} \sin^2 \theta_1 - \frac{2 V_S}{V_P} \cos \theta \cos \delta
	\right) \frac{\Delta \sigma}{\sigma} -   
	\left(
	\frac{4 V_S^2}{V_{P_1}^2} \sin^2 \theta_1 + 
	\frac{4 V_S}{V_P} \cos \theta \cos \delta                       
	\right) \frac{\Delta V_S}{V_S}
	\right]
  </math>,

де <math>\Delta \sigma = \sigma_2 - \sigma_1, 
	\sigma = \frac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_1),
	\Delta V_P = V_{P2} - V_{P1},
	V_P = \frac{1}{2} (V_{P2} + V_{P1}),</math>,

<math>\Delta V_S = V_{S2} - V_{S1},
	V_S = \frac{1}{2} (V_{S2} + V_{S1}),
	\theta = \frac{1}{2} (\theta_2 + \theta_1),
	\delta = \frac{1}{2} (\delta_2 + \delta_1)</math>.

Для слабо-контрастних відбиваючих границь і малих кутів <math>\theta_1</math> справедливими є наступні наближені формули:

: <math>R_{PP}(\theta_1) = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta V_P}{V_P} + \frac{\Delta \sigma}{\sigma} \right) +
	        \frac{1}{2} \left[ \frac{\Delta V_P}{V_P} - 
	        4\gamma^2 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + 2 \frac{\Delta V_S}{V_S} \right)  \right] \theta_1^2</math>,

: <math>R_{PS}(\theta_1) = -\frac{1}{2} \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} \right) + 
	        2\gamma \left[ \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + 2 \frac{\Delta V_S}{V_S} \right] \theta_1</math>,

де <math>\gamma = \frac{V_S}{V_P}</math>.

=== Наближення Шуей<ref>Avesth, P, T Mukerji and G Mavko (2005). Quantitative seismic interpretation. Cambridge University Press, Cambridge, UK{{ref-en}}</ref> ===

Тричленне рівняння Шуей для кутів <math>\theta_1</math> до 30&ndash;40° може бути записане у вигляді:

: <math>\frac{A_1}{A_0} = R_{PP}(\theta_1) = R_{PP}(0) + G \sin^2\theta_1 + F \left( \operatorname{tg}^2\theta_1 - \sin^2\theta_1 \right)</math>,

де
: <math>R_{PP}(0) = \frac12 \left( \frac{\Delta V_P}{V_P} + \frac{\Delta \sigma}{\sigma} \right)</math>,
: <math>G = \frac12 \frac{\Delta V_P}{V_P} - 2 \frac{V_S^2}{V_P^2} \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + 2 \frac{\Delta V_S}{V_S} \right) </math>,
: <math>F = \frac12 \frac{\Delta V_P}{V_P}</math>.

В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні (<math>\theta_1=0</math>), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.

Для кутів <math>\theta_1</math> до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей:
: <math>R_{PP}(\theta_1) \approx R_{PP}(0) + G \sin^2\theta_1</math>.

== Див. також ==
* [[Рівняння Кнотта]].
* [[AVO-аналіз]].

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Ізольована стаття|кільце2}}
[[Категорія:Сейсмологія]]