Перегляд вихідного коду сторінки Ромб

{{Otheruses|Ромб (значення)}}
{{Багатокутник
| name       = Ромб
| image      = rhombus.svg
| caption    = Два ромби
| type       = [[чотирикутник]], [[паралелограм]], [[дельтоїд]]
| edges      = 4
| symmetry   = [[Діедральна група|діедральна]] (D<sub>2</sub>), [2], (*22), порядок 4
| coxeter    = {{ДКД|node_f1|2x|node_f1}}
| schläfli   = {&nbsp;} + {&nbsp;}
| area       = <math>S = \frac{p \cdot q}{2} </math> (половина добутку діагоналей)
| dual       = [[прямокутник]]
| properties = [[Опуклий многокутник|опуклий]], [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]]}}
'''Ромб''' ({{lang-el|ρομβος}})&nbsp;— це [[паралелограм]], у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають [[квадрат]]ом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є [[бісектриса]]ми його кутів.

== Етимологія ==
Слово «ромб» походить від {{lang-el|ῥόμβος}} (''ромбос''), що означає щось, що обертається<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dr%28o%2Fmbos {{lang|el|ῥόμβος}}], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>, утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (''рембо''), що означає «обертаюся довкола»<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dr%28e%2Fmbw ρέμβω], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>. Слово використовувалося [[Евклід]]ом і [[Архімед]]ом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих [[конус]]ів зі спільною основою<ref>{{Cite web |url=http://www.pballew.net/rhomb |title=The Origin of Rhombus |accessdate=23 лютого 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150402143657/http://www.pballew.net/rhomb |archivedate=2 квітня 2015 |deadurl=yes }}</ref>.

Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є [[Розріз (креслення)|поздовжнім перетином]] того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.

== Ознаки ромба ==
Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:
#Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = CD = AD
#Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
#Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:<br/>∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC
#Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
#Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:<br/>Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
#Якщо в паралелограм можна [[вписане коло|вписати коло]].

== Властивості ромба ==
Кожен ромб має дві [[діагональ|діагоналі]], що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила [[Конгруентність (геометрія)|конгруентних]] [[трикутник]]ів, можна довести, що ромб є [[Симетрія|симетричним]] відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:
* Це [[паралелограм]], діагоналі якого розділяють [[внутрішній кут]].
* Протилежні кути ромба рівні.
* Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
* Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
* [[Ребро (геометрія)|Сторони]] ромба попарно паралельні.
* Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
* В будь-який ромб можна вписати коло.
* Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
* Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC<sup>2</sup> + BD<sup>2</sup> = 4AB<sup>2</sup>

Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,
* протилежні сторони паралельні;
* прилеглі кути є [[Суміжні кути|суміжними]];
* дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
* будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
* сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей ([[правило паралелограма]]).
Отож, якщо позначити сторону як ''a'', а діагоналі як ''d<sub>1</sub>'' і ''d<sub>2</sub>'', то для кожного ромба
: <math>\displaystyle 4a^2=d_1^2+d_2^2.</math>

Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це [[дельтоїд]].

== Сторона ромба ==
[[Файл:Romb2.png|міні|Ромб]]

=== Формули визначення довжини сторони ромба ===
[[Файл:Romb deltoid.svg|міні|Ромб]]
1. Формула сторони ромба через площу і висоту:
: <math>a = \frac{S}{h}</math>

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

: <math>a = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\sin{\alpha}}}</math>
: <math>a = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\sin{\beta}}}</math>

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

: <math>a = \frac{S}{2r}</math>

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:
: <math>a = \frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}</math>

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (''cos α'') або косинус тупого кута (''cos β''):

: <math>a = \frac{d_1}{\sqrt{2+2\cos{\alpha}}}</math>
: <math>a = \frac{d_2}{\sqrt{2-2\cos{\beta}}}</math>

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:
: <math>a = \frac{d_1}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}</math>
: <math>a = \frac{d_1}{2\sin{\frac{\beta}{2}}}</math>

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:
: <math>a = \frac{d_2}{2\cos{\frac{\beta}{2}}}</math>
: <math>a = \frac{d_2}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}}</math>

8. Формула сторони ромба через [[периметр]]:
: <math>a = \frac{P}{4}</math>

== Діагоналі ромба ==
[[Файл:Romb diag nor.svg|міні|Ромб]]
'''[[Діагональ]] ромба'''&nbsp;— це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі&nbsp;— більшу d<sub>1</sub>, та меншу&nbsp;— d<sub>2</sub>

=== Формули визначення довжини діагоналі ромба ===
[[Файл:Romb def.svg|міні|Ромб]]

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

: <math>d_1 = a\sqrt{2+2\cos\alpha}</math>
: <math>d_1 = a\sqrt{2-2\cos\beta}</math>

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

: <math>d_2 = a\sqrt{2+2\cos\beta}</math>
: <math>d_2 = a\sqrt{2-2\cos\alpha}</math>

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

: <math>d_1 = 2a \cdot \cos(\alpha/2)</math>
: <math>d_1 = 2a \cdot \sin(\beta/2)</math>

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

: <math>d_2 = 2a \cdot \sin(\alpha/2)</math>
: <math>d_2 = 2a \cdot \cos(\beta/2)</math>

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

: <math>d_1 = \sqrt{4a^2 - d_2^2}</math>
: <math>d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}</math>

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

: <math>d_1 = d_2 \cdot \tan(\beta/2) </math>
: <math>d_2 = d_1 \cdot \tan(\alpha/2) </math>

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:
: <math>d_1 = \frac{2S}{d_2}</math>
: <math>d_2 = \frac{2S}{d_1}</math>

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:
: <math>d_1 = \frac{2r}{\sin (\alpha/2)}</math>
: <math>d_2 = \frac{2r}{\sin (\beta/2)}</math>

== Периметр ромба ==
'''[[Периметр]]ом ромба''' називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:
: <math>P = 4 \cdot a</math>

== Площа ромба ==
[[Файл:Rhombus1.svg|thumb|280px|Ромб. Кожен кут, який відмічений чорною точкою є прямим кутом. Висота ''h'' є перпендикуляром між двома протилежними сторонами, яка дорівнює діаметру вписаного кола. Діагоналі з довжиною відміченими червоними пунктирними відрізками.]]
'''Площа ромба'''&nbsp;— це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

=== Формули визначення площі ромба ===
1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

: <math>S = a \cdot h</math>

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

: <math>S = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta</math>

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

: <math>S = 2a \cdot r</math>

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

: <math>S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}</math>

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:
: <math>S = \frac{4 \cdot r^2}{\sin \alpha}</math>

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

: <math>S = \frac{1}{2} d_1^2 \cdot \tan (\frac{\alpha}{2}),</math>

: <math>S = \frac{1}{2} d_2^2 \cdot \tan (\frac{\beta}{2})</math>

== Коло, вписане у ромб ==
[[Файл:Romb tangent.svg|міні|Коло, вписане у ромб]]
'''Колом, вписаним у ромб,''' називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

=== Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб ===
1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:
: <math>r = \frac{h}{2}</math>

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:
: <math>r = \frac{S}{2 a}</math>

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:
: <math>r = \frac{\sqrt{S \cdot \sin \alpha}}{2}</math>

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:
: <math>r = \frac{a \cdot \sin \alpha}{2}</math>
: <math>r = \frac{a \cdot \sin \beta}{2}</math>

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:
: <math>r = \frac{d_1 \cdot \sin (\alpha/2)}{2}</math>
: <math>r = \frac{d_2 \cdot \sin (\beta/2)}{2}</math>

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:
: <math>r = \frac{d_1 \cdot d_2}{2\sqrt{d_1^2+d_2^2}}</math>

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:
: <math>r = \frac{d_1 \cdot d_2}{4a}</math>

== Рівняння ==

Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (''x, y''), що задовільняють рівняння

: <math>\left|\frac{x}{a}\right|\! + \left|\frac{y}{b}\right|\! = 1.</math>

Вершини знаходитимуться в точках <math>(\pm a, 0)</math> і <math>(0, \pm b).</math> Це є особливим випадком [[супереліпс]]а із експонентою 1.

== Див. також ==
* [[Ромбоїд]]
* [[Прямокутний дельтоїд]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання == 
* {{ТС_Буд|частина=Ромб|сторінки =174}}
* [http://ua.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/ Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба]

{{бібліоінформація}}
[[Категорія:Многокутники]]
[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Типи чотирикутників]]