Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Фреше

{{Розподіл ймовірностей
| name       = Розподіл Фреше
| type       = density
| pdf_image  = Frechet pdf.svg
| pdf_image_size = 325px
| pdf_image_alt = PDF розподілу Фреше
| cdf_image  = Frechet cdf.svg
| cdf_image_size = 325px
| cdf_image_alt = CDF розподілу Фреше
| parameters = <math>\alpha \in (0,\infty) </math> [[Коефіцієнт форми|форми]]. <br> (Необов'язкові, ще два параметри) <br> <math> s \in (0,\infty) </math> [[Коефіцієнт масштабу|масштаб]] (типове: <math> s=1 \, </math>) <br> <math>  m \in (-\infty,\infty) </math> [[Коефіцієнт зсуву|зсув]] мінімуму (типове: <math> m=0 \, </math>)
| support    = <math>x>m</math>
| pdf        = <math>\frac{\alpha}{s} \; \left(\frac{x-m}{s}\right)^{-1-\alpha} \; e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}</math>
| cdf        = <math>e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}</math>
| mean       = <math>\begin{cases}
                  \ m+s\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)  & \text{for } \alpha>1  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
| median     = <math>m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log_e(2)}}</math>
| mode       = <math>m+s\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}</math>
| variance   = <math>\begin{cases}
                  \ s^2\left(\Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2\right)  & \text{for } \alpha>2  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
| skewness   = <math>\begin{cases}
                  \ \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}  & \text{for } \alpha>3  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
| kurtosis   = <math>\begin{cases}
                  \ -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}  & \text{for } \alpha>4  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
| entropy    = <math> 1 + \frac{\gamma}{\alpha} + \gamma +\ln \left( \frac{s}{\alpha} \right) </math>, де <math>\gamma</math> — [[стала Ейлера—Маскероні]].
| mgf        = Примітка: <math>k</math> момент існує за умови<math>\alpha>k</math><ref name=R1>Muraleedharan. G, C. Guedes Soares and Cláudia Lucas (2011). "Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV)". In Linda. L. Wright (Ed.), ''Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides'', Chapter 14, pp. 269–276. Nova Science Publishers. {{ISBN|978-1-61728-655-1}} {{ref-en}}</ref>
| char       = <ref name=R1/>
}}
'''Розподіл Фреше''', також відомий як обернений розподіл Вейбулла<ref name=Khan>{{cite news | author1=Khan M.S. | author2=Pasha G.R. | author3=Pasha A.H. | title=Theoretical Analysis of Inverse Weibull Distribution | url=http://www.wseas.us/e-library/transactions/mathematics/2008/theoretical.pdf | journal=WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS | issue=2 | volume=7 | date=February   2008 | pages=30–38 | accessdate=18 грудня 2018 | archive-date=13 липня 2018 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180713020233/http://www.wseas.us/e-library/transactions/mathematics/2008/theoretical.pdf }}</ref>
<ref name=Gusmao>{{cite news | year=2011 | issn=0932-5026 | journal=Statistical Papers | volume=52 | number=3 | doi=10.1007/s00362-009-0271-3 | title=The generalized inverse Weibull distribution | url=https://dx.doi.org/10.1007/s00362-009-0271-3 | publisher=Springer-Verlag | authors=de Gusmão, FelipeR.S. and Ortega, EdwinM.M. and Cordeiro, GaussM. | pages=591–619}}</ref>, є окремим випадком узагальненого розподілу екстремального значення. Він має кумулятивну функцію розподілу

:<math>\Pr(X \le x)=e^{-x^{-\alpha}} \text{ if } x>0. </math>

де ''&#x3B1;''&#x20;>&#x20;0 є параметром форми. Його можна узагальнити надаючи йому [[Коефіцієнт зсуву|параметру розташування]] m (мінімум) і [[Коефіцієнт масштабу|параметра масштабу]] s&#x20;>&#x20;0 з кумулятивною функцією розподілу

: <math>\Pr(X \le x)=e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} \text{ if } x>m. </math>

Названий на честь [[Моріс Рене Фреше|Моріса Фреше]] , який написав статтю про цей розподіл у 1927 році, подальша робота була зроблена Фішером і Типпетом в 1928 і Гумбелем в 1958 році.

== Характеристики ==
Єдиний параметр Фреше <math>\alpha</math> має стандартизований момент

: <math>\mu_k=\int_0^\infty x^k f(x)dx=\int_0^\infty t^{-\frac{k}{\alpha}}e^{-t} \, dt,</math>

(з <math>t=x^{-\alpha}</math>) визначений тільки при <math>k<\alpha</math>:

: <math>\mu_k=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)</math>

де <math>\Gamma\left(z\right)</math> це [[Гамма-функція]].

Зокрема:

* Для <math>\alpha>1</math> [[математичне сподівання]] дорівнює <math>E[X]=\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})</math>
* Для <math>\alpha>2</math> в [[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] становить <math>\text{Var}(X)=\Gamma(1-\tfrac{2}{\alpha})-\big(\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})\big)^2.</math>

[[Квантиль]] <math>q_y</math> порядку <math>y</math> можна виразити оберненням функції розподілу,

: <math>q_y=F^{-1}(y)=\left(-\log_e y \right)^{-\frac{1}{\alpha}}</math>.

Зокрема, [[Медіана (статистика)|медіана]] - це:

: <math>q_{1/2}=(\log_e 2)^{-\frac{1}{\alpha}}.</math>

[[Мода (статистика)|Мода]] розподілу <math>\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}.</math>

Особливо для 3-параметричного розподілу Фреше, перший квартиль дорівнює <math>q_1= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(4)}} </math>, а третій квартиль
<math>q_3= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(\frac{4}{3})}}. </math>

Також квантили для середнього та режиму:

: <math>F(mean)=\exp  \left( -\Gamma^{-\alpha} \left(1- \frac{1}{\alpha} \right)  \right)</math>
: <math>F(mode)=\exp  \left( -\frac{\alpha+1}{\alpha}  \right).</math>

== Застосування ==
[[Файл:FitFrechetDistr.tif|міні|350пкс|Моделювання кумулятивною функцією розподілу Фреше  екстремальних одно-денних дощів]]

* В [[Гідрологія|гідрології]], розподіл Фреше застосовується для моделювання екстремальних явищ, таких як річна максимальна одноденна кількість опадів і річкового стоку<ref name=Coles1>{{cite book | author=Coles, Stuart | title=An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, | url=https://books.google.com/books?id=2nugUEaKqFEC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false | publisher=Springer-Verlag | year=2001 | isbn=1-85233-459-2 | accessdate=18 грудня 2018 | archive-date=18 липня 2017 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170718211407/https://books.google.com/books?id=2nugUEaKqFEC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false }}</ref>. Блакитний малюнок, зроблений на ПЗ CumFreq ілюструє  моделювання розподілом Фреше річного  денного максимуму опадів в [[Оман|Омані]], на малюнку також показано 90% [[довірчий інтервал]] побудований на основі [[Біноміальний розподіл|біноміального розподілу]]. Кумулятивні частоти спостережень кількости опадів представлені [[Графік Q-Q|ґрафіком позицій]] в рамках сукупного частотного аналізу.

Однак, здебільшого в гідрології підгонку розподілу здійснюють через узагальнений розподіл екстремальних значень, що дозволяє уникнути припущення про відсутність нижньої межі розподілу (як того вимагає розподіл Фреше). {{Fact}}

* Один тест для оцінки асимптотичної залежности чи незалежности багатовимірного розподілу полягає у перетворенні даних в стандартні [[Відособлений розподіл|відособлення]] Фреше за допомогою перетворення <math>Z_i = -1/\log F_i(X_i)</math> а потім відображення з картезіанських до псевдо-полярних координат <math>(R, W)= (Z_1 + Z_2, Z_1/(Z_1 + Z_2))</math>. Значення <math>R \gg 1</math> відповідають граничним даним, для яких принаймні один компонент екстремальний, тоді як  <math>W</math> близькі до 1 або 0 означає, що тільки один компонент екстремальний.

== Пов'язані розподіли ==

* Якщо <math> X \sim U(0,1) \,</math> ([[Неперервний рівномірний розподіл|Рівномірний розподіл (безперервне)]]) тоді <math> m + s(-\log(X))^{-1/\alpha} \sim \textrm{Frechet}(\alpha,s,m)\,</math>
* Якщо <math> X \sim \textrm{Frechet}(\alpha,s,m)\,</math> тоді <math> k X + b \sim \textrm{Frechet}(\alpha,k s,k m + b)\,</math>
* Якщо <math> X_i \sim \textrm{Frechet}(\alpha,s,m) \, </math> і <math> Y=\max\{\,X_1,\ldots,X_n\,\} \, </math> тоді <math> Y \sim \textrm{Frechet}(\alpha,n^{\tfrac{1}{\alpha}} s,m) \,</math>
* [[Функція розподілу ймовірностей|Функція розподілу]] розподілу Фреше є розв'язком рівняння максимального постулату стабільности
* Якщо <math> X \sim \textrm{Frechet}(\alpha,s,m=0)\,</math> тоді обернена [[випадкова величина]] має розподіл [[Розподіл Вейбула|Вейбулла]]: <math>X^{-1} \sim \textrm{Weibull}(k=\alpha, \lambda=s^{-1})\,</math>

== Властивості ==

* Розподіл Фреше є максимальним стабільним розподілом
* Фреше розподілена випадкова величина зі знаком мінус є мінімальним стабільним розподілом

== Див. також ==

* Type-2 Gumbel distribution
* Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
* CumFreq (application software for probability distributions including Fréchet)

== Джерела ==
{{reflist}}

== Публікації ==

* Fréchet, M., (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum." Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
* Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180&#x2013;190.
* Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.
* Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000) ''Extreme value distributions: theory and applications'', [[World Scientific]]. {{ISBN|1-86094-224-5}}

== Ланки ==
* [http://www.emeraldinsight.com/Insight/ViewContentServlet?Filename=Published/EmeraldFullTextArticle/Articles/0830160102.html#0830160102006.png An application of a new extreme value distribution to air pollution data]{{Недоступне посилання}} {{ref-en}}
* [http://www.maths.lth.se/matstat/wafo/documentation/wafodoc/wafo/wstats/wfrechstat.html Wave Analysis for Fatigue and Oceanography] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190610123806/http://www.maths.lth.se/matstat/wafo/documentation/wafodoc/wafo/wstats/wfrechstat.html |date=10 червня 2019 }} {{ref-en}}
{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Сімейство розподілів з параметрами зсуву та масштабу]]
[[Категорія:Неперервні розподіли]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]