Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Кантора

{{Розподіл ймовірностей
|median=будь-де у [1/3,&nbsp;2/3]
|mgf=<math>e^{t/2} \prod_{k=1}^\infty \cosh\left(\frac{t}{3^k}\right)</math>
|entropy=
|kurtosis=&minus;8/5
|skewness=0
|variance=1/8
|mode=n/a
|mean=1/2
|name=Кантора
|cdf=[[Функція Кантора]]
|pdf=немає
|pdf_image=
|support=[[Множина Кантора]]
|parameters=немає
|cdf_image=[[File:CantorEscalier-2.svg|325px|Функція розмоділу ймовірностей для розподілу Кантора]]
|type=mass <!-- not technically correct; added only so template pmf entry would parse correctly; used "mass" rather than "density" since cdf plot suggests it *might* have a pmf -->
|char=<math>e^{it/2} \prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{t}{3^k}\right)</math>
}}
Розподіл '''Кантора'''&nbsp;— [[Розподіл імовірностей|розподіл ймовірностей]], [[Функція розподілу ймовірностей|функція]] розподілу ймовірностей якого є [[Функція Кантора|функцією Кантора]].

Цей розподіл не має ані [[Густина ймовірності|функції густини ймовірності,]] ані [[Функція ймовірностей|функції ймовірностей]], оскільки, хоча його функція розподілу є [[Неперервна функція|неперервною функцією]], розподіл не є [[Абсолютна неперервність|абсолютно неперервним]] щодо [[Міра Лебега|міри Лебега]], а також не має точкових мас. Таким чином, він є ані дискретним, ані абсолютно неперервним розподілом ймовірностей, ані їхнім поєднанням. Він є швидше прикладом [[Сингулярний розподіл|сингулярного розподілу]].

== Характеристика ==
[[Носій функції|Носієм]] розподілу Кантора є [[множина Кантора]], власне перетин (нескінченного числа) множин:

: <math>
\begin{align}
 C_0 = {} & [0,1] \\[8pt]
 C_1 = {} & [0,1/3]\cup[2/3,1] \\[8pt]
 C_2 = {} & [0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1] \\[8pt]
 C_3 = {} & [0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\[4pt]
     {} & [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1] \\[8pt]
 C_4 = {} & [0,1/81]\cup[2/81,1/27]\cup[2/27,7/81]\cup[8/81,1/9]\cup[2/9,19/81]\cup[20/81,7/27]\cup \\[4pt]
     & [8/27,25/81]\cup[26/81,1/3]\cup[2/3,55/81]\cup[56/81,19/27]\cup[20/27,61/81]\cup \\[4pt]
     & [62/81,21/27]\cup[8/9,73/81]\cup[74/81,25/27]\cup[26/27,79/81]\cup[80/81,1] \\[8pt]
 C_5 = {} & \cdots
\end{align}
</math>

Розподіл Кантора&nbsp;— унікальний розподіл ймовірностей, для якого для будь-якого ''C''<sub>''t''</sub> (''t''&nbsp;∈&nbsp;{&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;…&nbsp;}), ймовірність того, що певний інтервал у ''C''<sub>''t,''</sub> що містить розподілену Кантором випадкову величину, дорівнює 2<sup>-''t''</sup> на кожному з 2<sup>''t''</sup> інтервалів.

== Моменти ==
За симетрією легко переконатися, що для [[Випадкова величина|випадкової величини]] ''X,'' що має такий розподіл, її [[Математичне сподівання|очікуване значення]] E(''X'') = 1/2, і що всі непарні центральні моменти ''X'' є&nbsp;0.

[[Закон повної дисперсії]] може бути використаний для знаходження [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] ''var''(''X'') наступним чином. Для вищевказаного набору ''C''<sub>1</sub> нехай ''Y''=0, якщо ''X''&nbsp;∈&nbsp;[0,1/3], і 1, якщо ''X''&nbsp;∈&nbsp;[2/3,1]. Тоді:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) + 
             \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\
           & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + 
             \operatorname{var}
              \left\{
               \begin{matrix} 1/6 & \mbox{з імовірністю}\ 1/2 \\ 
                      5/6 & \mbox{з імовірністю}\ 1/2
               \end{matrix}
              \right\} \\
           & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}
\end{align}
</math>

З цього ми отримуємо:

: <math>\operatorname{var}(X)=\frac{1}{8}.</math>

Вираз замкнутої форми для будь-якого парного [[Центральний момент|центрального моменту]] можна знайти, попередньо отримавши парні кумулятори<ref>{{Cite web|last=Morrison|first=Kent|url=http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/RandomWalks.pdf|title=Random Walks with Decreasing Steps|publisher=Department of Mathematics, California Polytechnic State University|date=1998-07-23|accessdate=2007-02-16|archive-date=2 грудня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20151202055102/http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/RandomWalks.pdf}}</ref>

: <math>
 \kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}}
          {n\, (3^{2n}-1)}, \,\!
</math>

де ''В''<sub>2n</sub> є 2n-им [[Числа Бернуллі|числом Бернуллі]], а потім виразити моменти як функції кумулянтів.

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Джерела ==
* {{cite book |first1=E. |last1=Hewitt |first2=K. |last2=Stromberg |title=Real and Abstract Analysis |url=https://archive.org/details/realabstractanal00hewi_0 |url-access=registration |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin-Heidelberg-New York |year=1965}} {{ref-en}}
* {{cite news |first1=Tian-You |last1=Hu |first2=Ka Sing |last2=Lau |title=Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity |journal=Proc. A.M.S. |volume=130 |number=9 |year=2002 |pages=2711–2717}} {{ref-en}}
* {{cite book |first=O. |last=Knill |title=Probability Theory & Stochastic Processes |publisher=Overseas Press |location=India |year=2006}}
* {{cite book |first=P. |last=Mattilla |title=Geometry of Sets in Euclidean Spaces |publisher=Cambridge University Press |location=San Francisco |year=1995}} {{ref-en}}

{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]