Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Бернуллі

{{Розподіл ймовірностей
| name       = Бернуллі
| type       = ймовірностей
| pdf_image  = 
| cdf_image  = 
| parameters = <math>0 \leq p \leq 1</math><br /> <math>q = 1 - p</math>
| support    = <math>k=\{0,1\}\,</math>
| pdf        = <math>
    \begin{matrix}
    q=(1-p) & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1
    \end{matrix}
    </math>
| cdf        = <math>
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1
    \end{matrix}
    </math>
| mean       = <math>p\,</math>
| median     = N/A
| mode       = <math>\begin{matrix}
0 & \mbox{if } q > p\\
0, 1 & \mbox{if } q=p\\
1 & \mbox{if } q < p
\end{matrix}</math>
| variance   = <math>pq\,</math>
| skewness   = <math>\frac{q-p}{\sqrt{pq}}</math>
| kurtosis   = <math>\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}</math>
| entropy    = <math>-q\ln(q)-p\ln(p)\,</math>
| mgf        = <math>q+pe^t\,</math>
| char       = <math>q+pe^{it}\,</math>
| pgf        = <math>q+pz</math>
| fisher     = <math> \frac{1}{pq} </math>
}}
{{Otheruses|Бернуллі}}
'''Розподіл Бернуллі'''&nbsp;— [[розподіл ймовірностей]] [[Дискретна випадкова величина|дискретної випадкової величини]] названий на честь [[швейцарія|швейцарського]] [[математик]]а [[Якоб Бернуллі|Якоба Бернуллі]]<ref>James Victor Uspensky: ''Introduction to Mathematical Probability'', McGraw-Hill, New York 1937, page 45</ref>, яка набуває значення <math>1</math> з імовірністю <math>p</math> та значення <math>0</math> з імовірністю <math>q = 1-p,</math> тобто, вона є ймовірнісним розподілом будь-якого одиничного експерименту, який ставить {{Нп|так-ні питання|||yes–no question}}.

== Визначення ==

[[Дискретна випадкова величина]] <math>\xi</math> називається такою, що має '''розподіл Бернуллі''', якщо її [[закон розподілу]] має вигляд: <math>\xi=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}</math>, де <math>p</math>&nbsp;— параметр, що визначає розподіл, <math>p\in[0,1], q=1-p</math>.

Позначається <math>\mathcal{L}(\xi)=B(p)</math>.

[[Функція розподілу ймовірностей|Функція розподілу]] має вигляд:

<math>F_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ q, & x\in[0,1) \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}</math>.

== Числові характеристики ==

[[Математичне сподівання]]:

: <math>M\xi = P(X=1)\cdot 1 + P(X=0)\cdot 0 = p \cdot 1 + q\cdot 0 = p</math>.

[[Дисперсія]]:

: <math>D\xi=M\xi^2-(M\xi)^2=p-p^2=pq \,</math>.

== Зв'язок з іншими розподілами ==

Нехай [[незалежні випадкові величини|незалежні]] [[випадкова величина|випадкові величини]] <math>\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n</math> мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто <math>\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}</math>, тоді випадкова величина <math>\xi=\sum_{i=1}^n\xi_i</math> має [[біноміальний розподіл]] з параметрами p, n, тобто <math>\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)</math>.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Біноміальний розподіл]]
* [[Бернуллі Якоб]]
* [[Закон розподілу]]
* [[Розподіл ймовірностей]]
* [[Схема Бернуллі]]
* [[Функція розподілу ймовірностей]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Бібліоінформація}}
{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Дискретні розподіли|Бернуллі]]
[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли|Бернуллі]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства|Бернуллі]]