Перегляд вихідного коду сторінки Розв'язання рівнянь

{{вичитати}}
У [[математика|математиці]] '''розв'язати рівняння''' означає знайти всі значення невідомої змінної (числа, [[Функція (математика)|функції]], множини тощо) такі, що, при підстановці їх в задане  [[рівняння]], перетворюють його на правильну [[відношення рівності|рівність]], або довести, що таких значень невідомої змінної не існує.

Ці значення невідомої змінної рівняння називаються '''розв'язками''' або [[Корені рівняння|'''коренями''' рівняння.]]

Рівняння може містити одну або декілька невідомих [[Вільні і зв'язані змінні|змінних]] у виразах, що розділені [[Знак рівності|знаком рівності]]. 

Іншими словами, розв'язком є вираз або сукупність виразів (по одному для кожного невідомого), така, що за умови заміни ними невідомих, рівняння перетворюється на [[відношення рівності|рівність]]. [[Файл:Quadratic formula.svg|міні|[[Квадратична формула]]&nbsp;— символьний розв'язок для [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]]. Задавши відомі значення коефіцієнтів, можна отримати числовий розв'язок для квадратичної формули, що відповідає цим коефіцієнтам.]]
Розв'язок рівняння може бути числовим або символьним. Числовий розв'язок подається лише у вигляді [[Число|чисел]] або числового виразу (а не як вираз за участю змінних). 

Символьний розв'язок рівняння являє собою вираз або вирази, які містять відомі змінні або змінні, які не були присутні в початковому рівнянні (розв'язок в параметричному вигляді).

== Приклад ==
Наприклад, в рівнянні з двома змінними: {{math|1=''x'' + ''y'' = 2''x'' – 1}} невідомою змінною є {{mvar|x}}; його розв'язком є вираз {{math|1=''x'' = ''y'' + 1}}, оскільки підставивши {{math|''y'' + 1}} замість {{math|''x''}} в задане рівняння, отримаємо в результаті (після розкриття дужок та зведенні подібних членів) правильну рівність:

{{math|1=(''y'' + 1) + ''y'' = 2(''y'' + 1) – 1}}, 

{{math|1=2''y'' + 1 = 2''y'' + 1}}.

Крім того, за невідому змінну можна прийняти {{math|''y''}}, тоді рівняння матиме розв'язок {{math|1=''y'' = ''x'' – 1}}. 

Також {{math|''x''}} і {{math|''y''}} обидва можуть розглядатися як невідомі, тоді рівняння матиме [[Множина розв'язків|множину розв'язків]]: 

{{math|1=(''x'', ''y'') = (''t'' + 1, ''t'')}} або в іншому вигляді: <math>\begin{cases} x= t +1 \\ y=t \end{cases}</math>, що є символьним (параметризованим) розв'язком цього рівняння. Якщо підставити в цей символьний розв'язок конкретні значення чисел, завжди можна отримати числовий розв'язок; наприклад, значення {{math|1=''t'' = 0}} дає {{math|1=(''x'', ''y'') = (1, 0)}} (тобто, {{math|1=''x'' = 1}} [[Кон'юнкція|і]] {{math|1=''y'' = 0}}), а значення {{math|1=''t'' = 1}} дає {{math|1=(''x'', ''y'') = (2, 1)}}.

Які змінні в рівнянні є відомими, а які невідомими, визначається в формулюванні завдання за допомогою, наприклад, таких фраз: «рівняння в {{mvar|x}} і {{mvar|y}}» або «вирішити для {{mvar|x}} і {{mvar|y}}», які вказують, що в данному випадку невідомими є змінні {{mvar|x}} і {{mvar|y}}.

Для позначення невідомих змінних зазвичай заведено використовувати літери латинського алфавіту {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}, …

Для позначення відомих, частіше використовують літери {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, …, які часто називають параметрами. Так роблять при розгляді [[поліном]]іальних рівнянь, наприклад, [[квадратне рівняння|квадратних рівнянь]]. Однак, для деяких завдань всі змінні можуть грати будь-яку роль.

Завдання на вирішення рівняння може вимагати знайти один (будь-який придатний) розв'язок або декілька (чи всі) розв'язки рівняння. [[Множина]] всіх коренів рівняння називається [[Множина розв'язків|множиною розв'язків]]. 

Також може ставитися завдання по знаходженню найкращого (за якимсь параметром) з усіх розв'язків рівняння. Задачі такого роду називають задачами [[Оптимізація (математика)|оптимізації]]. Знаходження розв'язків задач оптимізації, як правило, не називають «розв'язуванням рівняння».

== Огляд ==
У загальному випадку запис рівняння може мати вигляд:
: <math>f\left(x_1,\dots,x_n\right)=c,</math>
де {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}&nbsp;— невідомі, і {{math|''c''}}&nbsp;— константа. Розв'язки цієї ситуації є елементами [[Образ відображення|оберненого відображення]].
: <math>f^{-1}(c)=\bigl\{(a_1,\dots,a_n)\in D\mid f\left(a_1,\dots,a_n\right)=c\bigr\},</math>
де {{math|''D''}} є областю визначення функції {{mvar|f}}. Зверніть увагу на те, що множина розв'язків може бути [[Порожня множина|порожньою множиною]] (коли немає розв'язків), [[Синґлетон (математика)|сінґлетоном]] (тобто, рівно однин розв'язок), скінченною або нескінченною (існує декілька або ж безліч розв'язків).

Наприклад, рівняння:
: <math>3x+2y=21z,</math>
з невідомими {{math|''x'', ''y''}} і {{math|''z''}}, може бути замінене еквівалентним рівнянням за допомогою перетворення, що зберігає його рівнозначність. 

Наприклад, якщо відняти {{math|21''z''}} з обох частин рівняння, отримаємо:
: <math>3x+2y-21z=0</math>
У даному конкретному випадку розв'язок цього рівняння не буде єдиним, а саме, існує нескінченна множина розв'язків, які можна записати так:
: <math>\bigl\{(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0\bigr\}.</math>
Одним частковим розв'язком рівняння є {{math|1=(''x'' = 0, ''y'' = 0, ''z'' = 0)}}. Також його розв'язками можуть бути — {{math|1=(''x'' = 3, ''y'' = 6, ''z'' = 1)}} і {{math|1=(''x'' = 8, ''y'' = 9, ''z'' = 2)}}. 

Множина розв'язків цього рівняння&nbsp;— це площина в [[Тривимірний простір|тривимірному просторі]], і три точки з наведеними координатами належать цій площині.

== Множина розв'язків ==
{{Докладніше|Множина розв'язків}}
[[Файл:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|thumb|Множина розв'язків рівняння {{math|1={{sfrac|''x''<sup>2</sup>|4}} + ''y''<sup>2</sup> = 1}} утворює [[еліпс]], якщо інтерпретувати його як множину пар [[Декартова система координат|декартових координат]].]]

Множина розв'язків даної множини рівнянь або нерівностей&nbsp;— це сукупність усіх її розв'язків, кожен з яких є [[кортеж]]ем значень, по одному для кожного невідомого, що задовольняє всі рівняння або нерівності. Якщо множина розв'язків порожня, то немає значень невідомих, які задовольняють одночасно всі рівняння та нерівності.

Для простого прикладу розглянемо рівняння
: <math>x^2=2.</math>
Це рівняння можна розглядати як [[Діофантові рівняння|діофантове рівняння]], тобто рівняння, для якого шукаються лише цілочисельні розв'язки. У цьому випадку множиною розв'язків є порожня множина, оскільки 2 не є квадратом цілого числа. Однак, якщо шукати дійсні розв'язки, є два розв'язки, <math>\sqrt 2</math> та <math>-\sqrt 2</math>.

Коли рівняння містить декілька невідомих змінних або коли є декілька рівнянь, але кількість невідомих, більша за кількість рівнянь, тоді множина розв'язків часто є [[Нескінченна множина|нескінченною]]. У цьому випадку неможливо перерахувати розв'язки. Для запису розв'язків часто зручно використовувати параметризацію, яка полягає у вираженні розв'язків через деякі невідомі або допоміжні змінні. Це завжди можливо, коли всі рівняння є [[Лінійне рівняння|лінійними]].

Такі нескінченні множини розв'язків можна природно інтерпретувати як геометричні фігури, такі як [[Пряма|прямі]], [[Крива|криві]] (див. малюнок), площини та, загальніше, [[Алгебричний многовид|алгебраїчні многовиди]] чи [[многовид]]и. Зокрема, [[Алгебрична геометрія|алгебричну геометрію]] можна розглядати як вивчення множин розв'язків [[Алгебричне рівняння|алгебричних рівнянь]].

Ми вже бачили приклад множини розв'язків, що може описувати [[Поверхня|поверхню]]. Наприклад, при вивченні елементарної математики відомо, що множина розв'язків рівняння у вигляді ''ax''&nbsp;+&nbsp;''by''&nbsp;=&nbsp;''c,'' де ''а'', ''b'' і ''c'' є сталими дійсними числами, а також ''a'' і ''b'' не дорівнюють нулю, утворює [[Пряма|пряму]] у [[векторний простір|векторному просторі]] &nbsp;'''R'''<sup>2</sup>. Тим не менш, не завжди буває так, що множину розв'язків можна легко представити&nbsp;— наприклад, розв'язком рівняння, що має вигляд: ''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''dw'' = ''k'' (''a'', ''b'', ''c'', ''d'', і ''k'' дійсні константи) є [[гіперплощина]].

== Методи розв'язку ==
Методи розв'язку рівнянь, як правило, залежать від типу рівняння, також і від виду виразів, що пов'язують невідомі і відомі змінні в рівнянні, так і від [[Область визначення|області визначення]] [[Функція (математика)|функцій]], що містять невідомі змінні рівняння. Різноманітність можливих типів рівнянь є досить великою, і тому відповідних методів їх розв'язку також багато. Декілька конкретних типів наведено нижче.

В цілому, для окремих класів рівнянь може не існувати відомого систематизованого методу розв'язку (алгоритму), який гарантовано буде розв'язувати поставлену задачу. Це може бути пов'язано з відсутністю необхідних математичних знань на цей час; деякі математичні задачі були вирішені тільки після багатовікових зусиль, або після впровадження нових математичних теорій чи [[Математичний апарат|апаратів]]. Але це також може означати, що такого методу розв'язку і взагалі не існує, адже, як відомо, деякі математичні задачі [[Алгоритмічно нерозв'язна задача|не можливо розв'язати]] за допомогою якогось чіткого алгоритму. Наприклад, нерозв'язність {{Нп|Десята задача Гільберта|десятої задачі Гільберта|en|Hilbert's tenth problem}}  була доведена в 1970 році.

Для деяких класів рівнянь були знайдені алгоритми їх розв'язку, деякі з яких були реалізовані й додані до чинних [[Система комп'ютерної алгебри|систем комп'ютерної алгебри]], але часто не вимагають застосування складніших підходів ніж прості розрахунки, які можна виконати за допомогою олівця та паперу. У деяких інших випадках відомі [[Евристика|евристичні]] методи, що часто бувають успішними, але не гарантують успіху.

=== Метод перебору, метод проб і помилок, здогадка ===
Якщо множина розв'язків рівняння обмежена скінченною множиною (як це відбувається, наприклад, для рівнянь [[Модульна арифметика|модульної арифметики]]), або може бути обмежена скінченним числом можливостей (як у випадку деяких [[Діофантові рівняння|діофантових рівнянь]]), то множину розв'язків можна знайти за допомогою [[Метод «грубої сили»|повного перебору,]] тобто шляхом тестування кожного з можливих значень ([[Допустимий розв'язок|розв'язків-кандидатів]]). Однак може трапитися така ситуація, що кількість можливостей, які слід розглядати, хоча і скінченна, але [[Атака повного перебору|настільки величезна]], що вичерпний пошук практично нездійсненний; це, по суті, є вимогою для сильних методів [[шифрування]].

Іноді [[розв'язання задач]]і можна знайти методом проб і помилок. Наприклад, якщо рівняння за формою має схожість з  іншим рівнянням з відомим розв'язком, то можна зробити здогадку про розв'язок заданого рівняння. І якщо винесене припущення при тестуванні виявляється неправильним (тобто не є розв'язком рівняння), то вивчення того факту, чому саме це припущення не є розв'язком, також може привести до здогадки щодо правильного розв'язку.

=== Елементарна алгебра ===
Рівняння, що складаються із лінійних або простих [[Раціональна функція|раціональних функцій]] з одним дійсним невідомим, скажімо {{mvar|x}}, такі як
: <math>8x+7=4x+35  \quad \text{або} \quad \frac{4x + 9}{3x + 4} = 2 \, ,</math>
можуть бути розв'язані за допомогою методів [[Елементарна алгебра|елементарної алгебри.]]

=== Системи лінійних рівнянь ===
Невеликі [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи лінійних рівнянь]] можливо розв'язувати методами [[Елементарна алгебра|елементарної алгебри]], аналогічно звичайним рівнянням. Для розв'язку великих систем використовуються алгоритми засновані на методах [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]].

=== Алгебраїчні рівняння ===
{{Main|Алгебраїчне рівняння|l1=Розв'язання алгебраїчних рівнянь}}
{{see also|{{Нп|Система поліноміальних рівнянь||en|System of polynomial equations}}}}

Для алгебраїчних ([[поліном]]іальних) рівнянь до четвертого степеня включно можливо знайти точний розв'язок у вигляді замкнутих аналітичних виразів за допомогою алгебраїчних методів. Найпростішим прикладом є [[квадратична формула]], розв'язок [[Квадратне рівняння|квадратних рівнянь]]. 

Розв'язок [[Кубічне рівняння|кубічних рівнянь]] можна знайти за [[Формула Кардано|формулою Кардано]], розв'язок [[Рівняння четвертого степеня|рівнянь четвертого степеня]] — [[Метод Феррарі|методом Феррарі]].

Поліноміальні рівняння зі степенем п'ять або вище в загальному випадку не мають коренів у вигляді замкнутих аналітичних виразів і їх розв'язок передбачає застосування загальних чисельних методів (див нижче) або використання [[Спеціальні функції|спеціальних функцій]], таких як [[Радикал Брінга|корінь Бринга]].

Хоча деякі конкретні випадки можуть бути розв'язані алгебраїчно. Наприклад, рівняння
: <math>x^5 +5 x^4 -10 x^3 -10 x^2 +5 x + 1 = 0</math> 
: має корінь <math>x=-1</math> (За допомогою {{Нп|теорема про раціональний корінь|теореми про раціональний корінь|en|Rational root theorem}} ). А отже, вираз в лівій частині може бути розкладений на множники:
: <math>\left ( x + 1 \right ) \cdot \left ( x^4 +4 x^3 -14 x^2 +4 x + 1 \right )  = 0</math>
: Багаточлен четвертого степеня в свою чергу можна розкласти на добуток двох [[Квадратична функція однієї змінної|квадратних багаточленів]]:
: <math>\left ( x + 1 \right ) \cdot  \left ( x^2+ 2 \left ( \sqrt{5}+1 \right ) x + 1 \right ) \cdot \left ( x^2- 2 \left ( \sqrt{5} -1 \right ) x + 1 \right )  = 0</math>
Таким чином, задане [[рівняння п'ятого степеня]] має корені:

<math>x_1 = -1</math> 

<math>x_{2,3} = \sqrt{5} -1 \pm \sqrt{5-2\cdot \sqrt{5}}</math>

<math>x_{4,5} = -\sqrt{5} -1 \pm \sqrt{5+2\cdot \sqrt{5}}</math>

[[Рівняння шостого степеня|Триквадратне рівняння]]
: <math>a x^6 +b x^3 + c = 0 , </math>
: може бути зведено до [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]] за допомогою підстановки {{math|''x'' {{=}} ''z''<sup>{{frac|1|3}}</sup>}}.
=== Діофантові рівняння ===
[[Діофантові рівняння]]&nbsp;— це рівняння, розв'язок яких має бути в [[Цілі числа|цілих числах]]. У деяких випадках можливо застосувати метод перебору, який згадувався вище. У деяких інших випадках, зокрема, якщо рівняння має одне невідоме, можна розв'язати рівняння для [[Раціональні числа|раціональних]] багатозначних невідомих (дивитись {{Нп|теорема про раціональний корінь|теореми про раціональний корінь|en|Rational root theorem}}), а потім знайти розв'язки діофантового рівняння, обмежуючи множину розв'язків до множини розв'язків з цілими значеннями. Наприклад, [[поліном]]іальне рівняння
: <math>2x^5-5x^4-x^3-7x^2+2x+3=0\,</math>
має раціональні розв'язки {{math|''x'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}} і {{math|''x'' {{=}} 3}}, а коли розглядається як діофантове рівняння, воно має єдиний розв'язок {{math|''x'' {{=}} 3}}.

Загалом, діофантові рівняння є одними з найскладніших рівнянь для розв'язку.

=== Обернені функції ===
{{see also|{{Нп|Обернена задача||en|Inverse problem}}}}
У найпростішому випадку [[Функція (математика)|функції]] однієї змінної, скажімо, {{math|''h''(''x'')}}, ми можемо розв'язати рівняння виду
: {{math|''h''(''x'') {{=}} ''c''}}, де {{mvar|c}} є сталою шляхом розгляду того, що відомо як [[обернена функція]] {{mvar|h}}.
З огляду на функцію {{math|''h'' : ''A'' → ''B''}}, оберненою функцією, що позначається як {{math|''h''<sup>−1</sup>}} та визначається як {{math|''h''<sup>−1</sup> : ''B'' → ''A''}}, є функція така, що
: <math>h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) = h\bigl(h^{-1}(x)\bigr) = x \,.</math>
Тепер, якщо застосувати обернену функцію до обох частин рівняння {{math|''h''(''x'') {{=}} ''c''}}, де {{mvar|c}} є сталою величиною в {{mvar|B}}, ми отримуємо
: <math>\begin{align}
h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) &= h^{-1}(c) \\
x &= h^{-1}(c) \\
\end{align}</math>
і ми знайшли розв'язок рівняння. Проте, в залежності від функції, обернену функцію може бути важко знайти або вона не може бути функцією від усієї множини В (тільки на деякій [[Підмножина|підмножині]]) і має багато значень в якійсь точці.

Якщо потрібно знайти тільки один розв'язок, а не всю множину розв'язків, то достатньо, щоб виконувалася функціональна тотожність

: <math>h\left(h^{-1}(x)\right) = x.</math>

Наприклад, [[Проекції|проєкція]] {{math|π<sub>1</sub> : '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}}, яка визначається як {{math|1=π<sub>1</sub>(''x'', ''y'') = ''x''}},&nbsp;не має будь-яких обернених функцій, але можна визначити функцію {{math|π{{su|b=1|p=−1}}}} як {{math|1=π{{su|b=1|p=−1}}(''x'') = (''x'', 0)}}. Тому можна рівняння
: {{math|π<sub>1</sub>(''x'', ''y'') {{=}} ''c''}}
розв'язується наступним чином:
<math>(x,y) = \pi_1^{-1}(c) = (c,0).</math>

Приклади обернених функцій містять [[Корінь (математика)|корінь]] {{mvar|n}}-го степеня (що є оберненим до {{math|''x''<sup>''n''</sup>}}), [[логарифм]] (обернена до {{math|''a''<sup>''x''</sup>}}), [[обернені тригонометричні функції]] і [[W-функція Ламберта|W-функцію Ламберта]] (обернена до {{math|''xe''<sup>''x''</sup>}}).

=== Розкладання на множники ===
Якщо вираз лівої частини рівняння {{math|''P'' {{=}} 0}} можна [[Факторизація многочленів|розкласти на множники]] у вигляді {{math|''P'' {{=}} ''QR''}}, то множина розв'язків вихідного рівняння є поєднанням множин розв'язків двох рівнянь {{math|''Q'' {{=}} 0}} і {{math|''R'' {{=}} 0}}. Наприклад, рівняння:
: <math>\mathrm{tg}\ x + \mathrm{ctg}\ x = 2</math>
можна переписати, використовуючи тотожність <math>\mathrm{tg}\, x\, \mathrm{ctg}\, x = 1</math>, наступним чином:
: <math>\frac{\mathrm{tg}^2\ x  -2 \mathrm{tg}\ x+1}{\mathrm{tg}\ x} = 0,</math>
Яке можна розкласти на множники наступним чином:
: <math>\frac{(\mathrm{tg}\ x - 1)^2}{\mathrm{tg}\ x}= 0.</math>
Розв'язання, таким чином, буде еквівалентне розв'язанню рівняння <math>\mathrm{tg}\, x = 1</math>, і, таким чином, є множиною:
: <math>x = \tfrac{\pi}{4} + k\pi, k = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots.</math>

=== Чисельні методи ===
{{see also|Чисельні методи}}
[[Файл:NewtonIteration Ani.gif|міні|Приклад використання [[Метод Ньютона|метода Ньютона-Рафсона]] для розв'язування рівняння <math>f(x)=0</math>, що еквівалентно знаходженню [[Корінь функції|кореня]] функції <math>f</math> (де <math>f</math>&nbsp;— зображена на графіку функція). Метод Ньютона-Рафсона є процедурою, що дозволяє знайти числовий розв'язок.]]
Іноді рівняння, що виникають при вирішенні практичних задач, не мають точного аналітичного розв'язку. Або корені рівняння мають надто складні аналітичні вирази, що мало придатні для знаходження їх числових значень. Також при розв'язку складних рівнянь дійсних або [[Комплексне число|комплексних]] змінних, прості [[Методи розв'язання нелінійних рівнянь|методи розв'язку рівняння]] можуть зазнати невдачі. 

В таких випадках застосовують [[Метод ітерації (алгоритм)|ітеративні методи]] пошуку наближеного рішення. Можуть бути використані такі методи як [[метод простої ітерації]], [[Метод Ньютона|метод Ньютона-Рафсона]], або інші [[чисельні методи]] для пошуку наближеного числового розв'язку рівняння, якого для практичних цілей може бути цілком достатньо.

{{-}}

=== Матричні рівняння ===
Рівняння, що містять [[Матриця (математика)|матриці]] і [[Вектор (математика)|вектори]] [[Дійсні числа|дійсних чисел]] часто можуть бути розв'язані за допомогою методів [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри.]]

=== Диференціальні рівняння ===
Існує величезна кількість методів розв'язування різних видів [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]], як [[Чисельні методи|чисельним]], так і [[Обчислення|аналітичним]] способами. Конкретний клас задач, які розглядаються в цьому напрямку належить до [[Інтеграл|інтегрування]], і аналітичні розв'язки такого роду задач тепер називають [[Символьне інтегрування|символьним інтегруванням]]. Розв'язки диференціальних рівнянь можуть бути [[Неявна функція|неявними]] або явними<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=solution|date=15 березня 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2|accessdate=1 червня 2021|archive-date=2 червня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210602232332/https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=solution}}</ref>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Сторонні і відсутні розв'язки]]
* [[Система рівнянь]]
* [[Прирівнювання коефіцієнтів]]
* {{Нп|Розв'язування геодезичних рівнянь||en|Solving the geodesic equations}}
* [[Уніфікація (інформатика)]]&nbsp;— розв'язування рівнянь між символьними виразами

[[Категорія:Рівняння]]
[[Категорія:Обернені функції]]
[[Категорія:Уніфікація (інформатика)]]