Перегляд вихідного коду сторінки Робота (фізика)

{{Фізична величина
| назва        = робота
| зображення       = [[File:Baseball pitching motion 2004.jpg|250px]]
| підпис     = Бейсбольний гравець виконує роботу над м'ячем, прикладаючи до нього силу протягом руху того у руці.
| базовівеличини = 1 [[Кілограм|кг]]⋅[[Метр|м]]<sup>2</sup>⋅[[Секунда|с]]<sup>−2</sup>
| SI = 1 [[Джоуль|Дж]] = 1 [[Ньютон|Н]]·[[Метр|м]]
| СГС = 1 [[ерг]] = 1 [[грам|г]]⋅[[Сантиметр|см]]<sup>2</sup>⋅[[Секунда|с]]<sup>−2</sup>
| СГСЕ = 
| СГСМ = 
| інші = 
| символи     = ''A'' або ''W''
| розмірність   = '''[[Маса|M]]''' '''[[Довжина|L]]'''<sup>2</sup> '''[[Час|T]]'''<sup>−2</sup>
| величина = 
}}
{{Класична механіка}}
'''Робо́та''' у фізиці&nbsp;— скалярна [[фізична величина]], що характеризує перетворення [[Енергія|енергії]] одного виду на інший, яке відбувається в даній фізичній системі.

У механіці '''робота''' (механічна робота)&nbsp;— є мірою дії сили і залежить від величини, напряму цієї сили та переміщення точки її прикладання тобто вона визначає [[енергія|енергетичні]] витрати на [[переміщення]] [[Фізичне тіло|фізичного тіла]], чи його [[деформація|деформацію]]. Поняття «робота» широко застосовують також у [[Термодинаміка|термодинаміці]] та інших розділах фізики і у техніці.

Робота зазвичай позначається [[Латинська абетка|латинською літерою]] ''A'' (від {{lang-de|Arbeit}}), в англомовній літературі&nbsp;— ''W'' (від {{lang-en|Work}}), і має [[Розмірність фізичної величини|розмірність]] енергії. У системі [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] робота вимірюється в [[Джоуль|джоулях]], у системі [[СГС]]&nbsp;— у [[ерг]]ах.

При малому переміщенні фізичного тіла <math> \delta \mathbf{l} </math> під дією [[сила|сили]] <math> \mathbf{F} </math> говорять, що над тілом здійснюється робота
: <math> \delta A = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{l} = F \delta l \cos \theta </math>,

де <math> \theta </math>&nbsp;— [[кут]] між напрямком сили й напрямком переміщення.

Згідно з цією формулою роботу здійснює тільки складник сили, що [[Паралельність|паралельний]] переміщенню. Сила, яка [[Перпендикулярність|перпендикулярна]] переміщенню, роботи не здійснює.

У випадку, коли тіло рухається по криволінійному контуру C, для знаходження роботи потрібно проінтегрувати наведений вище вираз вздовж контуру:
: <math> A = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} </math>

Якщо сила <math>\mathbf{F}</math> [[Консервативні сили|потенціальна]], то робота залежить лише від різниці значень [[потенціал (фізика)|потенціалу]] в початковій і кінцевій точках і не залежить від форми [[траєкторія|траєкторії]], по якій тіло рухалося між цими двома точками.

У [[термодинаміка|термодинаміці]] при зміні [[об'єм]]у тіла на величину <math>dV</math> під дією [[тиск]]у <math>P</math> над тілом виконується робота
: <math> dA = - p dV \, </math>.

== Історія ==
[[Давньогрецькі технології|Давньогрецьке розуміння фізики]] обмежувалося [[Статика|статикою]] [[Простий механізм|простих механізмів]] (рівновагою сил) і не включало [[Класична механіка|динаміку]] чи поняття роботи. В епоху [[Відродження]] динаміку ''механічних сил'', як називали прості механізми, почали вивчати з точки зору того, наскільки високо вони можуть підняти вантаж, на додаток до сили, яку вони можуть розвинути, що зрештою привело до нової концепції механічної роботи. Повну динамічну теорію простих механізмів розробив 1600 року італійський учений [[Галілео Галілей]] у праці ''Про механіку'' (''Le Meccaniche''), в якій він показав математичну подібність машин як підсилювачів сили.<ref name="Krebs">{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&q=%22mechanics+Galileo+analyzed%22&pg=PA163
|title=Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages
|last=Krebs
|first=Robert E.
|year=2004
|publisher=Greenwood Publishing Group
|page=163
|isbn=978-0-313-32433-8
|access-date=2008-05-21
}}</ref><ref name="Stephen">{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=BSfpFLV1nkAC&q=%22simple+machine%22+galileo&pg=PA86
|title=Wheels, clocks, and rockets: a history of technology
|last=Stephen
|first=Donald
|last2=Lowell Cardwell
|year=2001
|publisher=W.W. Norton & Company
|location=US
|pages=85–87
|isbn=978-0-393-32175-3
}}</ref> Галілей першим пояснив, що прості механізми не створюють енергію, а лише перетворюють її.<ref name="Krebs" />

=== Ранні концепції роботи ===
Хоча термін ''робота'' не використовували до 1826 року, подібні концепції існували й раніше. Це саме поняття називали ''момент дії, кількість дії, прихована жива сила, динамічний ефект, ефективність'' і навіть ''сила''.<ref>{{Cite journal|last=Mendelson|first=Kenneth S.|date=2003-02-13|title=Physical and colloquial meanings of the term "work"|url=https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.1522707|journal=American Journal of Physics|language=en|volume=71|issue=3|pages=279–281|bibcode=2003AmJPh..71..279M|doi=10.1119/1.1522707|issn=0002-9505}}</ref> 1637 року французький філософ [[Рене Декарт]] писав:<ref>{{Cite book
|url=https://www.earlymoderntexts.com/assets/pdfs/descartes1619.pdf
|title=Selected correspondence of Descartes
|last=Descartes
|first=R.
|year=2013
|editor-last=Bennett
|editor-first=J.
|pages=50
}}</ref>
{{Blockquote|text=Підняти 100 фунтів на один фут двічі – це те ж саме, що підняти 200 фунтів на один фут або 100 фунтів на два фути.|підпис=Рене Декарт|джерело=Лист до Гюйгенса}}1686 року німецький філософ [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрід Лейбніц]] писав:<ref>{{Cite journal|last=Iltis|first=C.|date=1971|title=Leibniz and the vis viva controversy|url=https://nature.berkeley.edu/departments/espm/env-hist/articles/2.pdf|journal=Isis|volume=62|issue=1|pages=21–35 (specifically p. 24)|doi=10.1086/350705}}</ref>{{Blockquote|text=Однакова сила [«робота» за сучасною термінологією] необхідна, щоб підняти тіло A вагою 1 фунт (libra) на висоту 4 ярди (ulnae), як і для підняття тіла B вагою 4 фунти на висоту 1 ярд.|підпис=Готфрід Лейбніц|джерело=Brevis demonstratio}}
1759 року [[Джон Смітон]] описав величину, яку він назвав «потужністю» «для позначення напруги сили, гравітації, імпульсу або тиску, щоб викликати рух» ({{Lang-en|to signify the exertion of strength, gravitation, impulse, or pressure, as to produce motion}}). Смітон продовжує, що цю величину можна обчислити, якщо «підняту вагу помножити на висоту, на яку її можна підняти за певний час», що робить це визначення надзвичайно схожим на визначення [[Гаспар-Гюстав Коріоліс|Коріоліса]].<ref>{{Cite journal|last=Smeaton|first=John|date=1759|title=Experimental Enquiry Concerning the Natural Powers of Water and Wind to Turn Mills and Other Machines Depending on a Circular Motion|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society|volume=51|pages=105|doi=10.1098/rstl.1759.0019|doi-access=free}}</ref>

=== Етимологія та сучасне вживання ===
Термін ''робота'' (або ''механічна робота'') і використання [[Робота (фізика)|принципу роботи-енергії]] в механіці започаткували наприкінці 1820-х років незалежно французький математик [[Гаспар-Гюстав Коріоліс]] і французький професор прикладної механіки [[Жан-Віктор Понселе]].<ref>{{Cite book
|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1068268/f2
|title=Calculation of the Effect of Machines, or Considerations on the Use of Engines and their Evaluation
|last=Coriolis
|first=Gustave
|date=1829
|publisher=Carilian-Goeury, Libraire (Paris)
}}</ref><ref>{{Cite book
|url={{Google books|Cx1mAAAAcAAJ|page=PR10||plainurl=yes}}
|title=Introduction a la mécanique industrielle, physique ou expérimentale
|last=Poncelet
|first=Jean-Victor
|date=1839
}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Grattan-Guinness|first=Ivor|date=1984|title=Work for the workers: Advances in engineering mechanics and instruction in France, 1800–1830|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00033798400200101|journal=Annals of Science|volume=41|issue=1|pages=1-33|doi=10.1080/00033798400200101|access-date=2024-12-21}}</ref> Обидва вчені дотримувалися механічного підходу, придатного для вивчення динаміки та потужності машин, наприклад, [[Парова машина|парових двигунів,]] які піднімають відра з водою із затоплених рудних шахт. За словами {{Нп|Рене Дюґа|3=fr|4=René Dugas}}, французького інженера та історика, «ми завдячуємо терміном ''„робота“'' в тому значенні, в якому він зараз використовується в механіці» {{Нп|Соломон де Кос|Соломону де Косу|en|Salomon de Caus}}.<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/historyofmachani000518mbp
|title=A History of Mechanics
|last=Dugas
|first=R.
|year=1955
|publisher=Éditions du Griffon
|location=Switzerland
|pages=128
}}</ref> Поняття [[Принцип можливих переміщень|віртуальної роботи]] та використання [[Варіаційне числення|варіаційних методів]] у механіці передувало введенню поняття «механічна робота», але спочатку мало назву «віртуальний момент». Його перейменовано із прийняттям термінології Понселе й Коріоліса.<ref>{{Cite book
|url={{Google books|a_4JAAAAIAAJ|page=RA3-PA10|plainurl=yes}}
|title=Cours de mécanique appliquée aux machines
|last=Poncelet
|first=Jean Victor
|date=1826
}}</ref><ref>{{Cite book
|url={{Google books|Y2USAAAAIAAJ|page=PR9-IA10|plainurl=yes}}
|title=Calculation of the Effect of Machines, or Considerations on the Use of Engines and their Evaluation
|last=Coriolis
|first=Gustave
|date=1829
|publisher=Carilian-Goeury, Libraire (Paris)
}}</ref>

== Одиниці вимірювання ==
Одиницею роботи в [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] є [[джоуль]] (Дж), названий на честь англійського фізика [[Джеймс Прескотт Джоуль|Джеймса Прескотта Джоуля]] (1818—1889), визначений як робота, яку виконує сила 1&nbsp;[[Ньютон|Н]] під час переміщення на 1&nbsp;[[Метр|м]] у напрямку сили.

Іноді як одиницю вимірювання роботи використовують розмірнісно еквівалентний [[ньютон-метр]] (Н⋅м), але його можна сплутати з одиницею вимірювання [[Момент сили|моменту сили]]. [[Генеральна конференція мір і ваг]] не рекомендує використовувати Н⋅м, оскільки це може призвести до плутанини щодо того, чи величина, виражена в ньютон-метрах, характеризує момент сили, чи роботу.<ref>{{Cite book |chapter-url=http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-2/2-2-2.html |chapter=Units with special names and symbols; units that incorporate special names and symbols |title=The International System of Units (SI) |edition=8th |date=2006 |publisher=[[Міжнародне бюро мір і ваг|International Bureau of Weights and Measures]] |access-date=2012-10-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130420184231/http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-2/2-2-2.html |archive-date=2013-04-20 |url-status=dead }}</ref>

Іншою одиницею вимірювання роботи є {{Нп|Фут-фунт (енергія)|фут-фунт|en|Foot-pound (energy)}}, який походить із [[Англійська система мір|англійської системи мір]]. Як видно з назви одиниці, це добуток фунта як одиниці сили та фут як одиниці переміщення. Один джоуль приблизно дорівнює 0,7376&nbsp;фут-фунтів.<ref>{{Cite book
|title=Elements of Physics: For Students of Science and Engineering
|isbn=978-0-13-268375-3
}}</ref><ref name=":0">{{Cite book
|title=World of physics
|date=May 5, 2010
|editor-last=McGrath
|editor-first=Kimberley A.
|publisher=Gale
|edition=1st
|location=Detroit
|at=Work and potential energy
|language=English
|isbn=978-0-7876-3651-7
}}</ref>

До одиниць роботи, що не належать до SI, належать ньютон-метр, [[ерг]], фут-фунт, {{Нп|фут-паундаль|3=en|4=Foot-poundal}}, [[кіловат-година]], [[літр-атмосфера]] та {{Нп|кінська сила-година|3=en|4=Horsepower-hour}}. Оскільки робота [[Метод аналізу розмірностей|вимірюється]] в тих самих одиницях, що й [[кількість теплоти]], іноді для роботи використовують одиниці вимірювання, зазвичай застосвувані для кількості теплоти або енергії, такі як {{Нп|Терм (одиниця вимірювання)|терм|en|Therm}}, [[британська теплова одиниця]] і [[калорія]].

== Робота і енергія ==
Робота {{Mvar|A}} виконана постійною силою величини {{Mvar|F}} над точкою, яка здійснила переміщення {{Mvar|s}} в напрямі дії сили, дорівнює добутку <math display="block"> A = \vec{F} \cdot \vec{s}
</math>

Наприклад, якщо сила 10 ньютонів ({{Math|1=''F'' = 10 Н}}) діє на точку, яка проходить 2 метри ({{Math|1=''s'' = 2 м}}), тоді {{Math|1=''A'' = ''Fs'' = (10 Н) (2 м) = 20 Дж}}. Це приблизно дорівнює роботі проти сили тяжіння, яку виконує людина, щоб підняти над головою від рівня землі тіло масою 1&nbsp;кг.

Робота подвоюється, якщо підняти подвійний вантаж на ту саму висоту, або підяти той самий вантаж на вдвічі більшу висоту.

Робота тісно пов'язана з [[Енергія|енергією]]. Енергія має ту саму одиницю вимірювання, що й робота (джоуль), оскільки енергія від тіла, яке виконує роботу, передається іншим тілам, з якими воно взаємодіє під час виконання роботи.<ref name=":0">{{Cite book
|title=World of physics
|date=May 5, 2010
|editor-last=McGrath
|editor-first=Kimberley A.
|publisher=Gale
|edition=1st
|location=Detroit
|at=Work and potential energy
|language=English
|isbn=978-0-7876-3651-7
}}</ref> Принцип роботи-енергії стверджує, що збільшення [[Кінетична енергія|кінетичної енергії]] [[Абсолютно тверде тіло|твердого тіла]] дорівнює величині [[Додатне число|додатної]] роботи [[Рівнодійна сил|рівнодійної]] сил, що діють на це тіло. І навпаки, зменшення кінетичної енергії дорівнює рівній за величиною від'ємній роботі рівнодійної сил, що діють на тіло. Таким чином, якщо сумарна робота додатна, то кінетична енергія тіла збільшується на величину роботи. Якщо сумарна виконана робота від'ємна, то кінетична енергія тіла зменшується на величину роботи.<ref name="walker">{{Cite book
|title=Fundamentals of physics
|last=Walker
|first=Jearl
|last2=Halliday
|first2=David
|last3=Resnick
|first3=Robert
|date=2011
|publisher=Wiley
|edition=9th
|location=Hoboken, NJ
|pages=154
|isbn=9780470469118
}}</ref>

З [[Закони Ньютона|другого закону Ньютона]] можна показати, що робота над вільним (без [[Поле (фізика)|полів]]), твердим (без внутрішніх [[Ступені вільності|ступенів вільності]]) тілом дорівнює зміні кінетичної енергії {{Math|''K''}}, що відповідає лінійній швидкості та [[Кутова швидкість|кутовій швидкості]] цього тіла, <math display="block"> A = \Delta K.</math>Робота сил, породжена потенціальною функцією, відома як [[потенціальна енергія]], а сили називають [[Консервативні сили|консервативними]]. Отже, робота над тілом, яке переміщується в [[Поле (фізика)|полі]] консервативних сил без зміни швидкості чи обертання, дорівнює ''взятій із протилежним знаком'' зміні потенціальної енергії {{Math|''U''}} тіла, <math display="block"> A = -\Delta U.</math>Ці формули показують, що робота дорівнює енергії, пов'язаній із дією сили, тому робота має [[Метод аналізу розмірностей|фізичну розмірність]] та одиниці енергії.

Розглянутий принципи роботи/енергії ідентичний принципу електричної роботи/енергії.

== Сили реакції ==
[[Сила реакції|Сили реакції]] визначають можливі переміщення тіла в системі, певним чином [[В'язі|обмежуючи]] його. Наприклад, на похилій площині під дією сили тяжіння тіло ''притискається'' до поверхні, а тіло, надягнуте на натягнуту струну, не може рухатися перпендикулярно до неї, щоб зробити струну «натягнутішою».

У [[Машина|механічній системі]]<ref name="goldstein">{{Cite book
|title=Classical mechanics
|last=Goldstein
|first=Herbert
|year=2002
|publisher=Addison Wesley
|edition=3rd
|isbn=978-0-201-65702-9
|oclc=47056311
}}</ref> в'язі унеможливлюють рух у напрямках сил реакції. Отже, [[Принцип можливих переміщень|віртуальна робота]] сил реакції дорівнює нулю. Це виконується лише за відсутності сил тертя.<ref>{{Cite book
|title=Advanced University Physics
|last=Rogalski
|first=Mircea S.
|date=2018
|publisher=Chapman and Hall/CRC
|edition=2nd
|location=Boca Raton
|isbn=9781351991988
}}</ref>

Незмінні сили реакції без тертя не виконують роботи над системою<ref name="Feynman">{{Cite web|url=https://feynmanlectures.caltech.edu/I_14.html|title=The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 14: Work and Potential Energy (conclusion)|website=feynmanlectures.caltech.edu}}</ref> оскільки кут між напрямами руху і сили реакції завжди становить [[Прямий кут|90°]].<ref name="Feynman" /> Прикладами в'язей без виконання роботи є: жорсткі взаємозв'язки між частинками, ковзання по поверхні без тертя та кочення без ковзання.<ref>{{Cite book
|title=Classical dynamics
|last=Greenwood
|first=Donald T.
|date=1997
|publisher=Dover Publications
|location=Mineola, N.Y.
|isbn=9780486138794
}}</ref>

Наприклад, у системі шківів, як-от [[машина Атвуда]], внутрішні сили між мотузкою та опорним шківом не виконують роботи в системі. Тому роботу обчислюють лише для сил тяжіння, які діють на тіла. Іншим прикладом є [[Доцентрова сила|доцентрова сила,]] яка діє на кульку ''до центра'' вздовж нитки і змушує її рівномірно [[Коловий рух|рухатися по колу]], обмежуючи її рух від центра кола. Ця сила виконує нульову роботу, оскільки вона перпендикулярна до швидкості кульки.

[[Сила Лоренца]], що діє на заряджену частинку, дорівнює {{Math|1='''F''' = ''q'''''v''' × '''B'''}}, де ''{{Mvar|q}}''&nbsp;— заряд, {{Math|'''v'''}}&nbsp;— швидкість частинки, {{Math|'''B'''}}&nbsp;— [[магнітна індукція]]. Значення [[Векторний добуток|векторного добутку]]&nbsp;— вектор, завжди перпендикулярний до обох початкових векторів, тому {{Math|'''F''' ⊥ '''v'''}}. [[Скалярний добуток]] двох перпендикулярних векторів завжди дорівнює нулю, тому робота {{Math|1=''A'' = '''F''' ⋅ '''v''' = 0}}, а сила Лоренца не виконує роботи. Вона може змінити напрямок руху частинки, але ніколи не змінює швидкості.

== Розрахунок ==
Для рухомих тіл величина робота/час ([[потужність]]) інтегрується вздовж траєкторії точки прикладання сили. Таким чином, у будь-який момент швидкість виконання роботи силою (вимірюється в джоулях за секунду або [[ват]]ах), є [[Скалярний добуток|скалярним добутком]] вектора сили і вектора швидкості точки її прикладання. Цей скалярний добуток сили та швидкості називають миттєвою потужністю. Подібно до того, як швидкості можна інтегрувати за часом, щоб отримати загальний шлях, згідно з [[Формула Ньютона — Ляйбніца|формулою Ньютона&nbsp;— Ляйбніца]], загальна робота вздовж шляху так само є інтегралом за часом миттєвої потужності, прикладеної вздовж траєкторії точки прикладання сили.

Робота є результатом дії сили на точку, яка рухається вздовж кривої {{Math|'''X'''}} зі швидкістю {{Math|'''v'''}} в кожен момент. Малу роботу {{Math|''δA''}}, яка виконується протягом часу {{Math|''dt''}}, розраховують як <math display="block"> \delta A = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}dt </math> де {{Math|'''F''' ⋅ '''v'''}}&nbsp;— потужність протягом часу {{Math|''dt''}}. Сума цих малих значень роботи за траєкторією точки дає роботу, <math display="block"> A = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \, dt = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F} \cdot \tfrac{d\mathbf{s}}{dt} \, dt =\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s},</math>де ''C''&nbsp;— траєкторія від '''x'''(''t''<sub>1</sub>) до '''x'''(''t''<sub>2</sub>). Цей інтеграл обчислюється вздовж траєкторії частинки, і тому кажуть, що він залежить від форми траєкторії.

Якщо сила завжди спрямована вздовж цієї лінії, а величина сили {{Math|''F''}}, то цей інтеграл спрощується до <math display="block"> A = \int_C F\,ds ,</math>де {{Mvar|s}}&nbsp;— [[переміщення]]. Якщо {{Math|'''F'''}} постійна, крім того, що вона спрямована вздовж прямої, то інтеграл спрощується далі <math display="block"> A = \int_C F\,ds = F\int_C ds = Fs,</math>де {{Mvar|s}}&nbsp;— переміщення точки.

Цей розрахунок можна узагальнити для постійної сили, яка не напрямлена вздовж прямої, якою рухається частинка. У цьому випадку [[скалярний добуток]] {{Math|1='''F''' ⋅ ''d'''''s''' = ''F'' cos ''θ'' ''ds''}}, де {{Mvar|θ}}&nbsp;— кут між вектором сили та напрямком руху, тобто <math display="block">A = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = Fs\cos\theta.</math>

Складова сили, перпендикулярна до переміщення тіла (наприклад, коли тіло рухається по коловій траєкторії під дією [[Центральна сила|центральної сили]]), роботи не виконує, оскільки косинус 90° дорівнює нулю.<ref name="walker">{{Cite book
|title=Fundamentals of physics
|last=Walker
|first=Jearl
|last2=Halliday
|first2=David
|last3=Resnick
|first3=Robert
|date=2011
|publisher=Wiley
|edition=9th
|location=Hoboken, NJ
|pages=154
|isbn=9780470469118
}}</ref> Таким чином, [[Закон всесвітнього тяжіння|гравітаційна сила]] не виконує роботи під час руху планети коловою орбітою (це ідеальний випадок, оскільки практично всі орбіти [[Ексцентриситет орбіти|злегка еліптичні]]). Крім того, над тілом, яке рухається по колу з постійною швидкістю і обмежене механічною силою, робота не виконується (приклад&nbsp;— рух із постійною швидкістю в ідеальній центрифузі без тертя).

=== Робота змінної сили ===
Розрахунок роботи як «добутка сили й переміщення» застосовний лише в найпростіших обставинах, як зазначено вище. Якщо ж сила змінюється або якщо тіло рухається вздовж криволінійної траєкторії, наприклад, обертається, то для розрахунку виконаної роботи слід враховувати траєкторію точки прикладання сили, і лише складова сили, паралельна [[Швидкість|швидкості]] точки прикладання виконує роботу (додатна робота, коли напрямки збігаються, і від'ємна, коли протилежні). Цю складову сили можна описати скалярною величиною, яку називають ''скалярною тангенціальною складовою'' ({{Math|''F'' cos(''θ'')}}, де {{Mvar|θ}}&nbsp;— кут між силою та швидкістю). І тоді найзагальніше визначення роботи можна сформулювати так:
[[Файл:Force-distance-diagram.svg|міні| [[Інтеграл|Площа під кривою]] чисельно дорівнює роботі F(x).]]
{{Block indent|em=1.5|text=''Робота змінної сили дорівнює лінійному інтегралу її скалярної тангенціальної складової за траєкторією точки її прикладання.''{{pb}}
Якщо сила змінюється (наприклад, під час стискання пружини), виконану роботу знаходимо інтегруванням. Якщо {{math|'''F'''('''x''')}} - це залежність сили від координати {{mvar|'''x'''}}, то робота сили вздовж осі х від {{mvar|'''x'''<sub>1</sub>}} до {{mvar|'''x'''<sub>2</sub>}} дорівнює:
<math display="block">A = \lim_{\Delta\mathbf{x} \to 0}\sum_{x_1}^{x_2}\mathbf{F(x)}\Delta\mathbf{x} = \int_{x_1}^{x_2}\mathbf{F(x)}d\mathbf{x}.</math>}}Таким чином, роботу змінної сили, можна виразити як [[Інтеграл|визначений інтеграл]] сили за переміщенням.<ref>{{Cite web|url=https://ng.cengage.com/static/nb/ui/evo/index.html?snapshotId=1529049&id=677758950&eISBN=9780357049105|title=MindTap - Cengage Learning|website=ng.cengage.com|access-date=2023-10-16}}</ref>

Якщо залежність переміщення від часу задано як {{Mvar|∆'''x'''(t)}}, то робота змінної сили за час від {{Mvar|t<sub>1</sub>}} до {{Mvar|t<sub>2</sub>}} дорівнює:

: <math display="block">A = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}(t)\cdot \mathbf{v}(t)dt = \int_{t_1}^{t_2}N(t)dt ,</math>де <math>N</math>&nbsp;— потужність.

Отже, роботу змінної сили можна виразити як визначений інтеграл [[Потужність|потужності]] за часом.

=== Крутний момент і обертання ===
[[Пара сил]] виникає внаслідок дії рівних протилежних сил на дві різні точки твердого тіла. Сума (рівнодійна) цих сил дорівнює нулю, але їх дія на тіло створює [[крутний момент]] '''M'''. Робота крутного моменту обчислюється як <math display="block"> \delta A = \mathbf{M} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt,</math>де {{Math|'''M''' ⋅ '''''ω'''''}}&nbsp;— потужність протягом часу {{Math|''dt''}}. Сума цих малих робіт за траєкторією руху твердого тіла дає роботу, <math display="block"> A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{M} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt.</math>Цей інтеграл обчислюється за траєкторією твердого тіла з кутовою швидкістю {{Math|'''''ω'''''}}, яка змінюється з часом, тобто він залежить від форми траєкторії.

Якщо вектор кутової швидкості зберігає постійний напрямок, то він набуває вигляду <math display="block"> \boldsymbol{\omega} = \dot{\phi}\mathbf{S},</math>де <math>\phi</math>&nbsp;— кут повороту навколо постійного одиничного вектора {{Math|'''S'''}}. У цьому випадку робота крутного моменту стає <math display="block">A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{M} \cdot \boldsymbol{\omega} \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{M} \cdot \mathbf{S} \frac{d\phi}{dt} dt = \int_C\mathbf{M}\cdot \mathbf{S} \, d\phi,</math>де {{Math|''C''}}&nbsp;— траєкторія з <math>\phi (t_{1})</math> до <math>\phi (t_{2})</math>. Цей інтеграл залежить від форми траєкторії обертання <math>\phi (t)</math>.

Якщо крутний момент <math>\tau</math> узгоджується з вектором кутової швидкості так, що <math display="block" qid="Q48103"> \mathbf{M} = \tau \mathbf{S},</math>і як крутний момент, так і кутова швидкість постійні, тоді робота набуває вигляду,<ref name="Young">{{Cite book
|title=University Physics
|last=Hugh D. Young
|last2=Roger A. Freedman
|year=2008
|publisher=Addison-Wesley
|edition=12th
|page=329
|isbn=978-0-321-50130-1
|name-list-style=amp
}}</ref> <math display="block">A = \int_{t_1}^{t_2} \tau \dot{\phi} \, dt = \tau(\phi_2 - \phi_1).</math>
[[Файл:Work_on_lever_arm.png|альт=Work on lever arm|праворуч|міні|250x250пкс| Сила постійної величини, перпендикулярна до плеча важеля]]
Цей результат легше зрозуміти, розглядаючи крутний момент як такий, що виникає від сили постійної величини {{Math|''F''}}, прикладеної перпендикулярно до плеча важеля довжиною <math>r</math>, як показано на малюнку. Ця сила діятиме на шляху, рівному довжині дуги кола <math>l=s=r\phi</math>, тому виконана робота <math display="block"> A = F s = F r \phi .</math> Введемо крутний момент {{Math|1=''τ'' = ''Fr''}}, щоб отримати <math display="block"> A = F r \phi = \tau \phi ,</math> як показано вище.

Зверніть увагу, що в роботу робить внесок лише складова крутного моменту в напрямку вектора кутової швидкості.

== Робота і потенціальна енергія ==
Скалярний добуток сили {{Math|'''F'''}} і швидкості {{Math|'''v'''}} точки її прикладання визначає миттєву [[потужність]], яка надходить у систему. Інтеграл цієї потужності за траєкторією точки прикладання, {{Math|1=''C'' = '''x'''(''t'')}}, визначає роботу, яку вносить у систему сила.

=== Залежність від форми траєкторії ===
Отже, [[Робота (фізика)|робота]], яку виконує сила {{Math|'''F'''}} над тілом, яке рухається вздовж кривої {{Math|''C''}} визначається [[Криволінійний інтеграл|криволінійним інтегралом]]: <math display="block"> A = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt,</math> де {{Math|''dx''(''t'')}} визначає траєкторію {{Math|''C''}}, а {{Math|'''v'''}}&nbsp;— швидкість уздовж цієї траєкторії. Цей інтеграл враховує траєкторію, уздовж якої рухається тіло, тобто, робота залежить від форми траєкторії.

Похідна за часом від інтеграла для роботи дає миттєву потужність, <math display="block">\frac{dA}{dt} = N(t) = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} .</math>

=== Незалежність від форми траєкторії ===
Якщо робота прикладеної сили не залежить від шляху, то робота, виконана силою, відповідно до [[Градієнтна теорема|градієнтної теореми]], визначає потенціальну функцію, яка обчислюється на початку та в кінці траєкторії точки прикладання. Це означає, що існує потенціальна функція {{Math|''U''('''x''')}}, яку можна обчислити в двох точках {{Math|'''x'''(''t''<sub>1</sub>)}} і {{Math|'''x'''(''t''<sub>2</sub>)}} щоб отримати роботу за будь-якою траєкторією між цими двома точками. Традиційно цю функцію визначати зі знаком «мінус», так що додатна робота означає зменшення потенціалу, тобто <math display="block"> A = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \int_{\mathbf{x}(t_1)}^{\mathbf{x}(t_2)} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = U(\mathbf{x}(t_1))-U(\mathbf{x}(t_2)).</math>

Функцію {{Math|''U''('''x''')}} називають [[Потенціальна енергія|потенціальною енергією,]] пов'язаною з прикладеною силою. Силу, пов'язану з такою потенціальною функцією, називають [[Консервативні сили|консервативною]]. Прикладами сил, які мають потенціальну енергію, є [[сила тяжіння]] та [[сила пружності]].

У цьому випадку [[градієнт]] роботи має вигляд <math display="block" qid="Q11402"> \nabla A = -\nabla U = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}\right) = \mathbf{F},</math>і кажуть, що сила '''F''' є «похідною потенціалу».<ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PA117
|title=Classical Mechanics
|last=Taylor
|first=John R.
|date=2005
|publisher=University Science Books
|language=en
|isbn=978-1-891389-22-1
}}</ref>

Оскільки потенціал {{Mvar|U}} визначає силу {{Math|'''F'''}} у кожній точці {{Math|'''x'''}} простору, сукупність сил називають [[Силове поле (фізика)|силовим полем]]. Потужність, прикладена до тіла з боку силового поля, визначається градієнтом роботи або потенціалу в напрямку швидкості {{Math|'''v'''}} тіла, тобто <math display="block" qid="Q25342">N(t) = -\nabla U \cdot \mathbf{v} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.</math>

=== Робота сили тяжіння ===
[[Файл:Work_of_gravity_F_dot_d_equals_mgh.JPG|праворуч|міні| Сила тяжіння {{Math|1=''F'' = ''mg''}} виконує роботу {{Math|1=''A'' = ''mgh''}} уздовж будь-якої низхідної траєкторії]]
За відсутності інших сил сила тяжіння спричиняє постійне прискорення вниз кожного вільно рухомого тіла. Біля поверхні Землі прискорення сили тяжіння становить {{Math|1=''g'' = 9.8&nbsp;м⋅с<sup>−2</sup>}}, а сила тяжіння на тіло масою ''m'' дорівнює {{Math|1='''F'''<sub>g</sub> = ''mg''}} . Зручно уявляти, що сила тяжіння прикладена в [[Центр інерції|центрі мас]] об'єкта.

Якщо тіло вагою {{Math|''mg''}} зміщується вгору або вниз на вертикальну відстань {{Math|''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub>}}, робота {{Math|''A''}}, виконана над тілом, дорівнює: <math display="block">A = F_g (y_2 - y_1) = F_g\Delta y = mg\Delta y</math>де <math>F_g</math>&nbsp;— вага (в ньютонах у [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]]), а <math>\Delta y</math>&nbsp;— зміна висоти <math>y</math>. Зауважте, що робота сили тяжіння залежить лише від вертикального руху тіла. Наявність тертя не впливає на роботу, яку виконує над тілом сила тяжіння.

==== У космосі ====
Сила тяжіння, з якою маса {{Mvar|M}} діє на іншу масу {{Mvar|m}} визначається як <math display="block"> \mathbf{F} = -\frac{GMm}{r^2} \hat\mathbf{r} = -\frac{GMm}{r^3}\mathbf{r},</math>де {{Math|'''r'''}}&nbsp;— радіус-вектор від {{Mvar|M}} до {{Mvar|m}}, а {{Math|'''r̂'''}}&nbsp;— одиничний вектор у напрямі {{Math|'''r'''}}.

Нехай тіло масою {{Mvar|m}} рухається зі швидкістю {{Math|'''v'''}}; тоді робота сили тяжіння над цією масою під час її переміщення з положення {{Math|'''r'''(''t''<sub>1</sub>)}} до {{Math|'''r'''(''t''<sub>2</sub>)}} визначається як <math display="block"> A = -\int^{\mathbf{r}(t_2)}_{\mathbf{r}(t_1)} \frac{GMm}{r^3} \mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{GMm}{r^3}\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \, dt.</math>Зауважте, що положення та швидкість маси {{Mvar|m}} визначаються як <math display="block"> \mathbf{r} = r\mathbf{e}_r, \qquad\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t,</math>де {{Math|'''e'''<sub>''r''</sub>}} і {{Math|'''e'''<sub>''t''</sub>}}&nbsp;— радіальний і тангенціальний одиничні вектори, напрямлені відносно вектора{{Прояснити}} від {{Mvar|M}} до {{Mvar|m}}; крім того <math> d \mathbf{e}_r / dt = \dot{\theta}\mathbf{e}_t. </math> Використаємо це, щоб спростити формулу для роботи сили тяжіння: <math display="block"> A = -\int^{t_2}_{t_1}\frac{GmM}{r^3}(r\mathbf{e}_r) \cdot \left(\dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t\right) dt = -\int^{t_2}_{t_1}\frac{GmM}{r^3}r\dot{r}dt = \frac{GMm}{r(t_2)}-\frac{GMm}{r(t_1)}.</math> Цей розрахунок використовує той факт, що <math display="block"> \frac{d}{dt}r^{-1} = -r^{-2}\dot{r} = -\frac{\dot{r}}{r^2}.</math> Функція <math display="block"> U = -\frac{GMm}{r}, </math>гравітаційна потенціальна функція, також відома як [[Гравітаційна енергія|гравітаційна потенціальна енергія]]. Знак «мінус» відповідає домовленості про те, що робота виконується за рахунок втрати потенціальної енергії.

=== Робота сили пружності ===
[[Файл:Analogie_ressorts_contrainte.svg|праворуч|міні| Сили в пружинах, з'єднаних паралельно]]
Розглянемо пружину, в якій виникає горизонтальна сила {{Math|1='''F''' = (−''kx'', 0, 0)}}, пропорційна її видовженню в напрямку <math>x</math> незалежно від того, як рухається тіло. Роботу цієї пружини над тілом, що рухається в просторі вздовж кривої {{Math|1='''X'''(''t'') = (''x''(''t''), ''y''(''t''), ''z''(''t''))}}, розраховують за її швидкістю {{Math|1='''v''' = (''v''<sub>x</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>z</sub>)}}: <math display="block"> A=\int_0^t\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}dt =-\int_0^tkx v_x dt = -\frac{1}{2}kx^2. </math> Для зручності вважайте, що контакт із пружиною відбувається в момент часу {{Math|1=''t'' = 0}}, тоді інтеграл від добутку відстані {{Mvar|x}} і проєкції швидкості на вісь {{Mvar|x}}, {{Math|''xv''<sub>x</sub>''dt''}}, за часом {{Mvar|t}} дорівнює {{math|{{sfrac|1|2}}''x''<sup>2</sup>}}. Робота дорівнює добутку відстані на силу пружності, яка також залежить від відстані; отже маємо {{math|''x''<sup>2</sup>}}.

=== Робота газу ===
Робота <math>A</math> дії газу на його оточення: <math display="block"> A = \int_a^b p \, dV </math> де {{Mvar|p}}&nbsp;— тиск, {{Mvar|V}}&nbsp;— об'єм, {{Mvar|a}} і {{Mvar|b}}&nbsp;— початковий і кінцевий об'єми.

== Принцип роботи–енергії ==
Принцип роботи та [[Кінетична енергія|кінетичної енергії]] (також відомий як '''принцип роботи–енергії''') стверджує, що ''робота, виконана всіма силами, які діють на частинку (робота рівнодійної сил), дорівнює зміні кінетичної енергії частинки.''<ref>{{Cite book
|title=Engineering Mechanics: Dynamics – SI Version, Volume 2
|last=Andrew Pytel
|last2=Jaan Kiusalaas
|year=2010
|publisher=Cengage Learning
|edition=3rd
|page=654
|isbn=9780495295631
}}</ref> Тобто робота ''А'', яку виконує [[рівнодійна сил]] на [[Частинка|частинку,]] дорівнює зміні кінетичної енергії частинки <math>E_\text{k}</math>,<ref name="Young">{{Cite book
|title=University Physics
|last=Hugh D. Young
|last2=Roger A. Freedman
|year=2008
|publisher=Addison-Wesley
|edition=12th
|page=329
|isbn=978-0-321-50130-1
|name-list-style=amp
}}</ref> <math display="block"> A = \Delta K = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2</math> де <math>v_1</math> і <math>v_2</math>&nbsp;— [[Середня скалярна швидкість|швидкості]] частинки до і після виконання роботи, {{Mvar|m}}&nbsp;— її [[маса]].

Виведення ''принципу роботи-енергії'' починається з [[Закони Ньютона|другого закону руху Ньютона]] та рівнодійної сил, що діють на частинку. Обчислення скалярного добутку сили на швидкість частинки оцінює миттєву потужність, надану системі.<ref>{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=3UdSAAAAMAAJ&q=instantaneous+power
|title=Kinematics and Dynamics of Planar Machinery
|last=Paul
|first=Burton
|year=1979
|publisher=Prentice-Hall
|language=en
|isbn=978-0-13-516062-6
}}</ref> (Обмеження визначають напрямок руху частинки, гарантуючи відсутність компонента швидкості в напрямку реакцій в'язей. Це також означає, що реакції не додають миттєвої потужності.) Інтеграл за часом цього скалярного рівняння дає роботу, а кінетичну енергію за скалярним добутком прискорення та швидкості{{Прояснити}}. Той факт, що принцип роботи-енергії усуває реакції, лежить в основі [[Механіка Лагранжа|механіки Лагранжа]].<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/atreatiseonanal00whitgoog
|title=A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies
|last=Whittaker
|first=E. T.
|authorlink1=Едмунд Тейлор Віттекер
|year=1904
|publisher=Cambridge University Press
|language=en
}}</ref>

У цьому розділі зосереджено увагу на принципі роботи–енергії стосовно динаміки частинок. У загальніших системах робота може змінювати [[Потенціальна енергія|потенціальну енергію]] механічного пристрою, теплову енергію в тепловій системі або [[Електрична енергія|електричну енергію]] в електричному пристрої. Робота переносить енергію з одного місця в інше або переводить її з однієї форми в іншу.

=== Виведення для частинки, що рухається прямолінійно ===
У випадку, коли [[Рівнодійна сил|рівнодійна]] {{Math|'''F'''}} постійна як за величиною, так і за напрямом і паралельна швидкості частинки, частинка рухається з постійним прискоренням <math> a</math> вздовж прямої лінії.<ref>{{Cite web|url=http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html|title=Work–energy principle|website=www.wwu.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20120530075449/http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Work/WorkEngergyTheorem.html|archive-date=2012-05-30|url-status=dead|access-date=2012-08-06}}</ref> Співвідношення між рівнодійною та прискоренням визначається рівнянням {{Math|1=''F'' = ''ma''}} ([[Закони Ньютона|другий закон Ньютона]]), а [[переміщення]] частинки {{Mvar|s}} можна виразити рівнянням <math display="block">s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}</math> що випливає з <math>v_2^2 = v_1^2 + 2as</math> (див. [[Рівняння руху]]).

Робота рівнодійної сил обчислюється як добуток її величини на зміщення частинки. Підставляючи наведені вище рівняння, отримуємо: <math display="block"> A = Fs = mas = ma\frac{v_2^2-v_1^2}{2a} = \frac{1}{2} mv_2^2- \frac{1}{2} mv_1^2 = \Delta K</math>

Інше виведення: <math display="block"> A = Fs = mas = m\frac{v_2^2 - v_1^2}{2s}s = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2 = \Delta K</math>

У загальному випадку прямолінійного руху, коли рівнодійна {{Math|'''F'''}} не постійна за величиною, але постійна за напрямом і паралельна швидкості частинки, роботу слід інтегрувати за траєкторією частинки: <math display="block"> A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = \int_{t_1}^{t_2} F \,v \, dt = \int_{t_1}^{t_2} ma \,v \, dt = m \int_{t_1}^{t_2} v \,\frac{dv}{dt}\,dt = m \int_{v_1}^{v_2} v\,dv = \tfrac12 m \left(v_2^2 - v_1^2\right) .</math>

=== Загальне виведення принципу роботи–енергії для частинки ===
Для будь-якої рівнодійної, що діє на частинку, яка рухається вздовж будь-якої криволінійної траєкторії, за допомогою простого виведення, аналогічного наведеному вище рівнянню, можна продемонструвати, що робота дорівнює зміні кінетичної енергії частинки. У цьому полягає '''принцип роботи-енергії''' : <math display="block"> A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = m \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}dt = \frac{m}{2} \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v^2}{dt}\,dt = \frac{m}{2} \int_{v^2_1}^{v^2_2} d v^2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta K </math>

Рівність <math display="inline">\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \frac{d v^2}{dt}</math> випливає з рівності <math display="inline">v^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}</math> і визначення <math display="inline">\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} </math>: <math display="block">\frac{d v^2}{dt} = \frac{d (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{dt} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} = 2 \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} .</math>

=== Виведення для частинки, яка рухається з обмеженнями ===
У динаміці частинок формулу рівності роботи, виконуваної над системою, зміні її кінетичної енергії отримуємо інтегруванням [[Другий закон Ньютона|другого закону руху Ньютона]]. Зауважимо, що рівнодійну, використовувану в законах Ньютона, можна розкласти на сили, прикладені до частинки, і реакції в'язей, які обмежують рух частини. Важливо, що робота реакцій є нульовою, тому принцип роботи-енергії враховує лише роботу прикладених сил.

Щоб побачити це, розглянемо частинку P, яка рухається траєкторією {{Math|'''X'''(''t'')}} під дією сили {{Math|'''F'''}}. Ізолюймо частинку від її оточення, щоб виявити силу реакції {{Math|'''R'''}}, тоді другий закон Ньютона набуде вигляду <math display="block"> \mathbf{F} + \mathbf{R} = m \ddot{\mathbf{X}}, </math> де {{Mvar|m}}&nbsp;— маса частинки.

==== Векторне формулювання ====
Зверніть увагу, що n крапок над вектором означає його n-ну [[Похідна за часом|похідну за часом]]. [[Скалярний добуток]] кожної з частин рівняння другого закону Ньютона на вектор швидкості дає <math display="block"> \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{X}} = m\ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}},</math>оскільки реакції перпендикулярні до швидкості частинки. Проінтегруймо це рівняння вздовж траєкторії від точки {{Math|'''X'''(''t''<sub>1</sub>)}} до точки {{Math|'''X'''(''t''<sub>2</sub>)}}:<math display="block"> \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \cdot \dot{\mathbf{X}} dt = m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{X}} \cdot \dot{\mathbf{X}} dt. </math>

Ліва частина цього рівняння є роботою сили, яка діє на частинку вздовж траєкторії від моменту часу {{Math|''t''<sub>1</sub>}} до моменту часу {{Math|''t''<sub>2</sub>}}. Це також можна записати як <math display="block"> A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{X}} dt = \int_{\mathbf{X}(t_1)}^{\mathbf{X}(t_2)} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{X}. </math>Цей інтеграл обчислюється вздовж траєкторії {{Math|'''X'''(''t'')}} частинки, отже, залежить від форми траєкторії.

Праву частину інтеграла можна спростити за допомогою такої тотожності <math display="block"> \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot{\mathbf{X}}\cdot \dot{\mathbf{X}}) = \ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}}, </math>(див. [[правило добутку]]). Тепер воно інтегрується явно і дає зміну кінетичної енергії, <math display="block">\Delta K = m\int_{t_1}^{t_2}\ddot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}}dt = \frac{m}{2}\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt} (\dot{\mathbf{X}} \cdot \dot{\mathbf{X}}) dt = \frac{m}{2} \dot{\mathbf{X}}\cdot \dot{\mathbf{X}}(t_2) - \frac{m}{2} \dot{\mathbf{X}}\cdot \dot{\mathbf{X}} (t_1) = \frac{1}{2}m \Delta \mathbf{v}^2,</math>де кінетична енергія частинки визначається скалярною величиною, <math display="block"> K = \frac{m}{2} \dot{\mathbf{X}} \cdot \dot{\mathbf{X}} =\frac{1}{2} m {\mathbf{v}^2}</math>

==== Тангенціальна і нормальна складові ====
Корисно розділити вектори швидкості та прискорення на тангенціальну та нормальну складові вздовж траєкторії {{Math|'''X'''(''t'')}}, так що <math display="block"> \dot{\mathbf{X}}=v \mathbf{T}\quad\text{and}\quad \ddot{\mathbf{X}}=\dot{v}\mathbf{T} + v^2\kappa \mathbf{N},</math>де <math display="block"> v=|\dot{\mathbf{X}}|=\sqrt{\dot{\mathbf{X}}\cdot\dot{\mathbf{X}}}.</math>Тоді [[скалярний добуток]] швидкості на прискорення у другому законі Ньютона набуває вигляду <math display="block">\Delta K = m\int_{t_1}^{t_2}\dot{v}v \, dt = \frac{m}{2} \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}v^2 \, dt = \frac{m}{2} v^2(t_2) - \frac{m}{2} v^2(t_1),</math>де кінетична енергія частинки визначається скалярною величиною, <math display="block"> K = \frac{m}{2} v^2 = \frac{m}{2} \dot{\mathbf{X}} \cdot \dot{\mathbf{X}}. </math>

Результатом є принцип роботи-енергії для динаміки частинок, <math display="block"> A = \Delta K. </math>Цей висновок можна узагальнити на довільні системи твердих тіл.

=== Прямолінійний рух (гальмування до зупинки) ===
Розглянемо випадок, коли транспортний засіб рухається по прямій горизонтальній траєкторії під дією рушійної сили та сили тяжіння, які в сумі дорівнюють {{Math|'''F'''}}. Сила реакції між транспортним засобом і дорогою {{Math|'''R'''}}, отже, <math display="block"> \mathbf{F} + \mathbf{R} = m\ddot{\mathbf{X}}. </math>Для зручності спрямуємо вісь X уздовж траєкторії, тоді {{Math|1='''X''' = (''d'', 0)}}, а швидкість {{Math|1='''V''' = (''v'', 0)}}, звідки {{Math|1='''R''' ⋅ '''V''' = 0}} і {{Math|1='''F''' ⋅ '''V''' = ''F''<sub>x</sub>''v''}}, де <math> F_x </math>&nbsp;— проєкція '''F''' на вісь X, отже <math display="block"> F_x v = m\dot{v}v.</math>Інтегрування обох частин дає <math display="block"> \int_{t_1}^{t_2}F_x v dt = \frac{m}{2} v^2(t_2) - \frac{m}{2} v^2(t_1). </math>Якщо {{Math|''F''<sub>x</sub>}} постійна вздовж траєкторії, то інтеграл швидкості дає переміщення, отже <math display="block"> F_x (d(t_2)-d(t_1)) = \frac{m}{2} v^2(t_2) - \frac{m}{2} v^2(t_1). </math>

Як приклад розглянемо автомобіль, який гальмує до зупинки, де ''k''&nbsp;— коефіцієнт тертя, а ''P''&nbsp;— вага автомобіля. Тоді проєкція сили на траєкторію {{Math|1=''F''<sub>x</sub> = −''kP''}}. Швидкість <math> v </math> автомобіля можна визначити за гальмівним шляхом {{Mvar|s}} за принципом роботи-енергії, <math display="block">kPs = \frac{P}{2g} v^2,\quad\text{або}\quad v = \sqrt{2ksg}.</math>У цій формулі використано той факт, що маса транспортного засобу дорівнює {{Math|1=''m'' = ''P''/''g''}}.
[[Файл:LotusType119B.jpg|міні| Lotus type 119B gravity racer на святкуванні 60-річчя Lotus]]
[[Файл:Campeonato_de_carrinhos_de_rolimã_em_Campos_Novos_SC.jpg|міні| Чемпіонат з гравітаційних перегонів у Кампос-Новос, [[Санта-Катарина]], [[Бразилія]], 8 вересня 2010 року.]]

=== Спуск по похилій площині (гравітаційні перегони) ===
Розглянемо транспортний засіб, який рушає з місця та рухається вниз по похилій площині (наприклад, гірській дорозі). Принцип роботи-енергії дає змогу обчислити найменшу відстань, яку має пройти транспортний засіб, щоб досягти швидкості {{Math|''V''}}, скажімо, 54&nbsp;км/год (15 м/с). [[Тертя кочення]] та [[Аерогідродинамічний опір|опір повітря]] сповільнять транспортний засіб, тому фактична відстань буде більшою, ніж якщо цими силами знехтувати.

Нехай траєкторія транспортного засобу, що рухається дорогою, буде крива в тривимірному просторі {{Math|'''X'''(''t'')}}. Рухатися транспортний засіб змушує постійна сила тяжіння {{Math|1='''F''' = (0, 0, ''W'')}}, тоді як обмежує рух реакція дороги {{Math|'''R'''}}. Другий закон Ньютона дає, <math display="block"> \mathbf{F} + \mathbf{R} = m \ddot{\mathbf{X}}. </math>[[Скалярний добуток]] цього рівняння на швидкість {{Math|1='''V''' = (''v''<sub>x</sub>, ''v''<sub>y</sub>, ''v''<sub>z</sub>)}} дає <math display="block"> P v_z = m\dot{V}V,</math>де {{Math|''V''}}&nbsp;— величина {{Math|'''V'''}}. Сила реакції з боку дороги зникає з цього рівняння, оскільки {{Math|1='''R''' ⋅ '''V''' = 0}}, що означає, що вона не виконує роботи. Проінтегрувавши обидві частини, маємо <math display="block"> \int_{t_1}^{t_2} P v_z dt = \frac{m}{2} V^2(t_2) - \frac{m}{2} V^2 (t_1). </math>Вага ''P'' постійна вздовж траєкторії, а інтеграл вертикальної швидкості дає вертикальне зміщення, тому <math display="block"> P \Delta z = \frac{m}{2}V^2. </math>Нагадаємо, що <math> V(t_1)=0 </math>. Зауважте, що цей результат не залежить від форми дороги, якою рухається транспортний засіб.

Щоб визначити відстань уздовж дороги, припустимо, що [[Похил (положення, покажчик крутизни)|похил]] становить 6&nbsp;%, що є доволі крутим схилом. Це означає, що висота зменшується на 6 метрі на кожні 100 пройдених метрів&nbsp;— для таких малих кутів значення [[синус]]а і [[тангенс]]а приблизно рівні. Отже, відстань {{Mvar|s}} у метрах униз уздовж схилу 6&nbsp;% для досягнення швидкості {{Mvar|V}} становить принаймні <math display="block"> s = \frac{\Delta z}{0.06}= 8.3\frac{V^2}{g},\quad\text{або}\quad s=8.3\frac{15^2}{9.8}\approx 190 \text{ м}.</math>У розрахунку використано той факт, що вага транспортного засобу становить {{Math|1=''P'' = ''mg''}}.

== Робота сил, що діють на тверде тіло ==
Роботу сил, що діють у різних точках на одне тверде тіло, можна обчислити за роботою {{Нп|Рівнодійні сила та крутний момент|рівнодійних сили та крутного моменту|en|Resultant force}}.

Нехай сили '''F'''<sub>1</sub>, '''F'''<sub>2</sub>, … , '''F'''<sub>n</sub> діють на точки твердого тіла '''X'''<sub>1</sub>, '''X'''<sub>2</sub>, …, '''X'''<sub>''n''</sub>.

Траєкторії '''X'''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1, … , ''n'' визначаються рухом твердого тіла. Цей рух задано набором обертань [''A''(''t'')] і траєкторією '''d'''(''t'') опорної точки в тілі. Нехай координати '''x'''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1, … , ''n'' визначають ці точки в [[Декартова система координат|системі відліку]] ''M'' рухомого твердого тіла, так що траєкторії, спостережувані в нерухомій системі ''F,'' задані як <math display="block"> \mathbf{X}_i(t)= [A(t)]\mathbf{x}_i + \mathbf{d}(t)\quad i=1,\ldots, n. </math>

Швидкості точок {{Math|'''X'''<sub>''i''</sub>}} вздовж їхніх траєкторій становлять <math display="block">\mathbf{V}_i = \boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{X}_i-\mathbf{d}) + \dot{\mathbf{d}},</math>де {{Math|'''''ω'''''}}&nbsp;— вектор кутової швидкості, отриманий з кососиметричної матриці <math display="block"> [\Omega] = \dot{A}A^\mathsf{T},</math> відомої як матриця кутової швидкості.

Роботу сил на малому переміщенні {{Math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} можна визначити апроксимації переміщення {{Math|1=''δ'''''r''' = '''v'''''δt''}}, отже <math display="block"> \delta A = \mathbf{F}_1\cdot\mathbf{V}_1\delta t+\mathbf{F}_2\cdot\mathbf{V}_2\delta t + \ldots + \mathbf{F}_n\cdot\mathbf{V}_n\delta t</math> або <math display="block"> \delta A = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot (\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{X}_i-\mathbf{d}) + \dot{\mathbf{d}})\delta t. </math>

Після перетворень маємо <math display="block"> \delta A = \left(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\right)\cdot\dot{\mathbf{d}}\delta t + \left(\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{X}_i-\mathbf{d}\right)\times\mathbf{F}_i\right) \cdot \boldsymbol{\omega}\delta t = \left(\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{d}}+ \mathbf{M} \cdot \boldsymbol{\omega}\right)\delta t, </math>де '''F''' і '''М'''&nbsp;— рівнодійні сила та крутний момент, що діють у точці відліку '''d''' рухомої сиситеми відліку ''М'' у твердому тілі{{Прояснити}}.

== Див. також ==
* [[Машина Атвуда]]
* [[Теорема про кінетичну енергію системи]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
{{Вікіцитати1}}
{{Вікісловник|робота}}
* {{книга
|автор       = Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В.
|заголовок   = Класична механіка
|рік         = 2008
|видавництво = ВПЦ "Київський університет"
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 480
}}
* {{книга
|автор       = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок   = Теоретична механіка
|рік         = 1975
|видавництво = Вища школа
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 516
}}

== Посилання ==
* [http://maiachia.blogspot.com/2016/02/blog-post.html Зв'язок між роботою і енергією у випадку системи частинок]
* [https://leksika.com.ua/17530417/ure/robota Робота] // {{УРЕ}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Фізичні величини]]