Перегляд вихідного коду сторінки Радикальна ознака Коші

{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Радикальна ознака Коші''' — ознака [[Границя|збіжності]] [[числовий ряд|числового ряду]]:
{{Рамка}}
Якщо для числового ряду 
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> 
з невід'ємними членами існує таке число <math>d</math>, <math>0<d<1</math>, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність <math>\sqrt[n]{a_n}<d</math> то даний ряд збіжний. 
{{/рамка}}
Дана ознака була вперше розглянута французьким  математиком [[Оґюстен-Луї Коші|Огюстеном-Луї Коші]], який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821)<ref>{{Cite book
|url=http://archive.org/details/highercalculushi0000bott
|title=The higher calculus : a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass |last=Internet Archive
|first=U. (Umberto)
|date=1986
|publisher=New York : Springer-Verlag
|isbn=978-0-387-96302-0
}}</ref>.

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[https://en.wikipedia.org/wiki/Root_test], опускаючі ім'я автора.

== Гранична форма ==
Умова радикальної ознаки рівносильна наступному <ref>{{Cite book
|url=https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/42682/1/Matematychnyi_analiz_Ch3.pdf
|title=Математичний аналіз Частина ІІІ Числові й функціональні ряди. Інтеграли, залежні від параметра |last=Бакун
|year=2021
|volume=3
|page=45
|pages=435
}}</ref>:
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math>
Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного [[Числовий ряд|ряду]] в [[Границя числової послідовності|граничній формі]]:
{{Рамка}}
Якщо для ряду
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;</math>, то 
:якщо <math>l<1</math> ряд збігається, 
:якщо <math>l>1</math> ряд розбігається.
{{/рамка}}

== Доведення ==
1. Нехай <math>l < 1</math>. Очевидно, що існує таке <math>\varepsilon > 0</math>, що <math>l + \varepsilon < 1</math>. Оскільки існує границя <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l</math>, то підставивши в означення границі вибране <math>\varepsilon</math> одержимо:
:<math>\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon</math>
Розкривши модуль, одержимо:
:<math> - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon</math>
:<math> l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon</math>
:<math> (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n</math>
Оскільки <math>l + \varepsilon < 1</math>, то ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n </math> збігається. Тоді за [[ознака порівняння|ознакою порівняння]] ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n </math> теж збігається.

2. Нехай <math>l > 1</math>. Очевидно, що існує таке <math>\varepsilon > 0</math>, що <math>l - \varepsilon > 1</math>. Оскільки існує границя <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l</math>, то підставивши в означення границі вибране <math>\varepsilon</math> одержимо:
:<math>\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon</math>
Розкривши модуль, одержимо:
:<math> - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon</math>
:<math> l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon</math>
:<math> (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n</math>
Оскільки <math>l - \varepsilon > 1</math>, то ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n </math> розбіжний. Тоді за [[ознака порівняння|ознакою порівняння]] ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n </math> теж розбіжний.

== Приклади ==
1. Ряд
::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}</math>
:збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки
::<math> \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}</math>
2. Розглянемо ряд
::<math>\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}</math>
::<math> \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}  =  \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1}  = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} =  e^{-2} < 1 \Rightarrow </math>ряд збіжний

== Див. також ==
* [[Ознака д'Аламбера]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Ознаки збіжності рядів}}
[[Категорія:Ознаки збіжності]]