Перегляд вихідного коду сторінки Пфаффіан

'''Пфаффіаном''' [[Кососиметрична матриця|кососиметричної матриці]] називається деякий [[многочлен]] від її елементів, квадрат якого дорівнює [[визначник]]у цієї матриці. Як і визначник, пфаффіан є ненульовим тільки для кососиметричних матриць порядку <math>2n \times 2n</math>, і в цьому випадку його степінь дорівнює ''n''.

Термін «пфаффіан» був введений [[Артур Келі|Артуром Келі]]<ref>{{Cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathword.html |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |accessdate=24 листопада 2020 |archive-date=4 березня 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090304032905/http://jeff560.tripod.com/mathword.html }}</ref> та названий на честь німецького математика [[Йоганн Фрідріх Пфафф|Йоганна Фрідріха Пфаффа]].

== Приклади ==

: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\-a & 0  \end{bmatrix}=a.</math>

: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\-a & 0        & d & e  \\  -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>

== Означення ==
Нехай <math>A = \{a_{ij} \}</math> є кососиметричною матрицею порядку <math>2n \times 2n</math>. '''Пфаффіаном''' матриці ''A'' називається многочлен від її елементів заданий як:

: <math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math>

де ''S''<sub>2''n''</sub> позначає [[Симетрична група|симетричну групу]] [[Порядок групи|порядок]] якої є рівним (2''n'')!, а sgn(σ) є [[Перестановка|знаком перестановки]] σ.

Еквівалентно, якщо <math>\Pi</math> позначає множину всіх [[Розбиття множини|розбиттів множини]] <math>\{1, 2, \dots, 2n \}</math> на невпорядковані пари (всього існує <math>(2n-1) !!</math> таких розбиттів), то кожне <math>\alpha \in \Pi</math> може бути записано як

: <math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\},</math>

де <math>i_k < j_k</math> і <math>i_1 < i_2 <\cdots <i_n</math>. Нехай

: <math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>

позначає відповідну [[Перестановка|перестановку]], а <math>\mbox {sgn} (\alpha)</math>&nbsp;— [[Перестановка|знак перестановки]] <math>\pi</math>.

Для розбиття <math>\alpha</math> визначимо

: <math> A_\alpha = \operatorname {sgn} (\alpha) a_{i_1, j_1} a_{i_2, j_2} \cdots a_{i_n, j_n}.</math>

Пфаффіан матриці ''A'' є рівним:

: <math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>

Пфаффіан кососиметричної матриці розміру <math>n \times n</math> для непарного ''n'' за означенням дорівнює нулю.

=== Рекурсивне означення ===
Пфаффіан матриці розміру <math>0 \times 0</math> вважається рівним 1; пфаффіан кососиметричної матриці ''A'' розміру <math>2n \times 2n</math> при <math>n> 0</math> може бути означений рекурсивно:

: <math>\operatorname {Pf} (A) = \sum_{{j = 1} \atop {j \neq i}}^{2n} (-1)^{i + j + 1 + \theta (i-j)} a_{ij} \operatorname {Pf} (A _{\hat {\imath} \hat {\jmath}}),</math>

де індекс <math>i</math> може бути обраний довільно, <math>\theta (ij)</math>&nbsp;— [[функція Гевісайда]], а <math>A_{\hat {\imath} \hat {\jmath}}</math> позначає матрицю ''A'' без ''i''-тих і ''j''-тих рядків і стовпців.

=== Альтернативне означення ===

Для <math>2n \times 2n</math> кососиметричної матриці <math>A = \{a_{ij} \}</math> розглянемо [[бівектор]]:

: <math>\omega = \sum_{i <j} a_{ij} \; e_i \wedge e_j.</math>

де <math>\{e_1, e_2, \dots, e_{2n} \}</math> є стандартний базис в <math>\mathbb R^{2n}</math>. Тоді пфаффіан визначається таким рівнянням:

: <math>\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},</math>

де <math>\omega^{\wedge n}</math> позначає [[зовнішній добуток]] ''n'' копій <math>\omega</math>.

== Властивості ==
Для <math>2n \times 2n</math> кососиметричної матриці <math>A</math> і для довільної <math>2n \times 2n</math> матриці <math>B</math>:

* <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>
:: Позначимо <math>\bar A = BAB^T.</math> За означенням добутку матриць <math>\bar a_{ij}=(BAB^T)_{ij} = \sum_{k,l = 1}^{2n} b_{ik}b_{jl} a_{kl}.</math> Тому
::: <math>\operatorname{pf}(BAB^T) = 
\frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}\bar a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)} =
\frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{k,l = 1}^{2n} b_{\sigma(2i-1),k}b_{\sigma(2i),l} a_{kl} \right )</math>
:: Нехай тепер <math>\varphi</math> позначає довільне відображення із множини <math>\{1,2,\ldots, 2n\}</math> у себе (не обов'язково перестановку). Розписавши попередній вираз одержуємо, що
::: <math>\frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{k,l = 1}^{2n} b_{\sigma(2i-1),k}b_{\sigma(2i),l} a_{kl} \right ) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{\varphi} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{\sigma(2i-1),\varphi(2i-1)}b_{\sigma(2i),\varphi(2i)} a_{\varphi(2i-1),\varphi(2i)}.</math>
:: Але для кожного конкретного відображення <math>\varphi</math> вираз <math>\sum_{\sigma \in S_{2n}} \operatorname{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{\sigma(2i-1),\varphi(2i-1)} b_{\sigma(2i),\varphi(2i)} </math> є рівним <math>\det B_\varphi,</math> де <math>B_\varphi</math> є матрицею розмірності <math>2n \times 2n</math> для якої ''i''-ий стовпець є <math>\varphi(i)</math>-стовпцем матриці <math>B.</math> Тому якщо <math>\varphi</math> не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку <math>\det B_\varphi = \sgn(\varphi)\det B.</math> Таким чином:
::: <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det (B) \cdot \frac{1}{2^n n!} \sum_{\varphi \in S_{2n}} \operatorname{sgn}(\varphi) \prod_{i=1}^{n} a_{\varphi (2i-1),\varphi(2i)} = \det (B) \mbox{Pf}(A).</math>

* <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>

* Для блок-діагональної матриці

:: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).</math>

* Для довільної <math>n \times n</math> матриці <math>M</math>:

:: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\-M^T & 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

== Див. також ==
* [[Визначник]]
* [[Кососиметрична матриця]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* {{cite book
|title=Algebraic Combinatorics
|url=https://archive.org/details/algebraiccombina0000gods
|last=Godsil
|first=Chris D.
|year=1993
|publisher=Chapman and Hall
|location=New York
|mr=1220704
|ref=harv
|ISBN=0-412-04131-6
}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

[[Категорія:Визначники]]
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Теорія матриць]]