Перегляд вихідного коду сторінки Проєкція вектора

{{вичитати}}
'''Вектор проєкції''' вектора '''a''' на ненульовий вектор '''b''' (також відомий як компонента вектора) є [[Проєкційна матриця|ортогональною проєкцією]] на [[Пряма|пряму]] лінію, паралельну '''b'''. Вектор, паралельний '''b''', визначається як 
:<math> \mathbf{a}_1 =  a_1\mathbf{\hat b}\,</math>, 
де <math>a_1</math> є скаляром (називається [[Скалярна проєкція|скалярною проєкцією]] '''a''' на '''b)''' та '''b̂''' [[Одиничний вектор|одиничний вектор]] у напрямку '''b.'''

У свою чергу, скалярна проєкція визначається як 
:<math>a_1 = |\mathbf{a}|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b} = \mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}\,</math>, 
де оператор '''·''' позначає [[скалярний добуток]], '''|а|'''&nbsp;— це [[Віддаль між двома точками|довжина]], і <math>\theta</math> представляє [[кут]] між '''а''' і '''b'''. Скалярний проєкція дорівнює довжині проєкції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проєкції протилежно напрямку '''b'''.

Вектор проєкція '''а''' на '''b''' іноді позначається '''a<sub>∥</sub>'''<sub>'''b'''.</sub>

== Вектор проєкції ==
Вектор проєкції '''а''' на '''b''' є вектором, величина якого [[скалярна проєкція]] на '''b''' і кут, проти '''b''' 0 або 180 градусів.

А саме, визначається як: <math>\mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = (|\mathbf{a}| \cos \theta) \mathbf{\hat b}</math>, де '''''a'''''<sub>'''1'''</sub> є відповідна скалярна проєкція, як визначено вище, і '''b''' одиничний вектор з тим же напрямком, що і '''b''':

<math>\mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{b}} {|\mathbf{b}|}\,</math>.[[Файл:Dot Product.svg|thumb|300px|right]]

'''Проєкцією вектора''' '''a''' на інший вектор '''b''' є [[вектор]], що обчислюється за формулою

: <math>\mathrm{proj}_{\mathbf{B}}\,(\mathbf{A}) = \frac {\mathbf A \cdot \mathbf B} {|\mathbf B|^2} {\mathbf B}.</math>

== Визначення в термінах а та '''b''' ==
: Коли ''θ'' невідомо, косинус ''θ'' може бути обчисленим в термінах '''а''' та '''b'''
:: <math> \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|} = \cos \theta \,</math>

== Скалярна проєкція ==

:: До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проєкції стає
:::<math>a_1 = |\mathbf{a}| \cos \theta = |\mathbf{a}| \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}| }\,</math>

== Вектор проєкції ==
: Аналогічним чином, визначення вектора проєкції '''а''' на '''b''' стає
: <math>\mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}| } \frac {\mathbf{b}} {|\mathbf{b}|},</math>
що еквівалентно
: <math>\mathbf{a}_1 = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat b}) \mathbf{\hat b},</math> або<ref>{{cite web|url=http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/dotprod/dotprod.html|title=Dot Products and Projections|accessdate=31 травня 2016|archive-date=31 травня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160531080405/http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/dotprod/dotprod.html}}</ref>
: <math>\mathbf{a}_1 = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {|\mathbf{b}|^2}{\mathbf{b}} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.</math>
Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перша. В кожній з формул потрібно обчислювати [[скалярний добуток]] і множити скаляр на вектор, але в першій формулі потрібно додатково обчислювати квадратний корінь та ділити вектор на число.<ref>
Другий скалярний добуток, квадратний корінь не відображені, але вони потрібні для обчислень; <math>\mathbf{\hat b} = {\mathbf{b}} / {|\mathbf{b}|}</math> (більш докладно див. у визначенні [[Норма_(математика)#Евклідова норма|Норма (математика)]])</ref>, в той час коли в останній потрібно лише розділити скаляр на скаляр.
;Відкидання вектора
За визначенням,
: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1. </math>
Отже,
: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.</math>

== Властивості ==
'''Скалярна проєкція'''

Скалярний проєкція '''a''' на '''b''' є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < ''θ'' ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною '''| C |''' вектора проєкції, якщо кут менше 90 °. Більш точно:
* ''a''<sub>1</sub> = |'''a'''<sub>1</sub>|, якщо 0 ≤ ''θ'' ≤ 90 градусів,
* ''a''<sub>1</sub> = −|'''a'''<sub>1</sub>|, якщо 90 < ''θ'' ≤ 180 градусів.
'''Векторна проєкція'''

Вектор проєкція '''а''' на '''b''' вектор ''a''<sub>1</sub>, який є або нульовим або паралельним '''b'''. Більш точно:
* '''a'''<sub>1</sub> = '''0''', якщо ''θ'' = 90°,
* '''a'''<sub>1</sub> та '''b''' мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ ''θ'' < 90 градусів,
* '''a'''<sub>1</sub> and '''b''' мають однаковий напрямок, якщо 90 < ''θ'' ≤ 180 градусів.

== Матриця проєкції ==
Ортогональна проєкція може бути представлена матрицею проєкції. Для проєктування вектора на одиничний вектор {{math|1='''a''' = (''a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub>'')}}, потрібно домножити на проєкцію матриці:
<math display="block">P_\mathbf{a} = \mathbf{a} \mathbf{a}^\textsf{T} =
  \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    a_x^2 & a_x a_y & a_x a_z \\
    a_x a_y & a_y^2 & a_y a_z \\
    a_x a_z & a_y a_z & a_z^2 \\
 \end{bmatrix}</math>

== Використання ==
: Проєкція вектора є важливою операцією в процесі [[Процес Грама — Шмідта|Грама&nbsp;— Шмідта]] [[Ортогоналізація|ортогоналізації]] базису векторного простору. Також використовується в [[Теорема про розділову гіперплощину|теоремі про розділову гіперплощину]].

== Узагальнення ==
Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проєкції вектора, проєкції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проєкції та відхиленні.

Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проєкції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проєкції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.

Проєкція вектора на площині є її ортогональною проєкцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проєкцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проєкції і відхилення дорівнює вихідному вектору.

Так само для&nbsp; внутрішніх  просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття  проєкції на вектор  та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проєкції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.

== Див. також ==
* [[Скалярний добуток]]
* [[Скалярна проєкція]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* [https://web.archive.org/web/20100111075639/http://www.mathworlds.net/mw/dnu/ag/vector2.htm Скалярний добуток і проєкція вектора із прикладами]

{{Геометрія-доробити}}
{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Аналітична геометрія]]