Перегляд вихідного коду сторінки Процедура Келі — Діксона

'''Процедура Келі-Діксона''' (''процедура подвоєння'') — це [[рекурсія|рекурсивна]] процедура побудови [[алгебра над кільцем|алгебр]] над [[поле (алгебра)|полем]] [[дійсні числа|дійсних чисел]], з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити [[комплексні числа]], [[кватерніони]], [[октоніон|октави]], [[седеніон]]и і т.д.

Також використовується в [[Теорема Гурвіца про композитні алгебри|теоремі Гурвіца]] для знаходження всіх [[нормована алгебра|нормованих алгебр]] з [[нейтральний елемент|одиницею]].

== Кватерніони ==
Довільний [[кватерніон]] <math>\ q = a + bi + cj + dk</math> 
можна представити у вигляді <math>\ q = (a + bi) + (c + di)j</math>

або <math>\ q = z_1 + z_2 j, \quad z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di,</math>

де <math>\ z_1, z_2</math> — [[комплексне число|комплексні числа]].

Позначимо ще один кватерніон як 
:<math>\ r = w_1 + w_2 j.</math>

Перемноживши кватерніони, отримаємо:
:<math>\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j +  z_2 j w_1 +  z_2 j w_2 j</math> — дужки розкрили, бо множення кватерніонів [[асоціативність|асоціативне]].

Оскільки <math>\ zj = j \bar{z}, \; zw = wz,</math>

то переставимо [[множник]]и і отримаємо:
:<math>\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) +  (w_2 z_1 +  z_2 \bar{w_1}) j.</math>

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду <math>\ z_1 + z_2 j</math>, що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.

== Загальний випадок ==
Якщо для деяких чисел <math>\ a</math> та <math>\ b</math> існують поняття: [[множення]], [[ділення]], [[*-алгебра|спряженого числа]] і [[норма (функціонал)|норми числа]] як <math>\ |a|^2 = a \bar{a},</math>

то ці поняття можна ввести і для [[впорядкована пара|впорядковиних пар]] чисел <math>\ (a, b)</math>:
* <math>\ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c})</math> — закон множення пар,
* <math>\ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b)</math> — спряжена пара.

=== Властивості ===
* Норма впорядкованої пари:
:<math>\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2</math> — рівна нулю тільки при a=b=0.

* Ділення <math>\ r / q</math> визначається як <math>\ \frac{\bar{r} q}{|q|^2}</math> чи <math>\ \frac{q\bar{r} }{|q|^2}</math> — отже з попередньої властивості випливає відсутність [[дільники нуля|дільників нуля]].
* Якщо для чисел виконується <math>\ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a},</math> то це виконується і для впорядкованих пар:
:<math>\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.
</math>

* Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова [[альтернативність (алгебра)|альтернативності]], то вони утворюють [[нормована алгебра|нормовану алгебру]], оскільки:
:<math>\ |r q|^2 = (r q)\overline{(r q)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r} = |r|^2 \cdot |q|^2.</math>

== Узагальнення Шафера ==
Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом [[уявна одиниця|уявної одиниці]] рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись [[Алгебри Кліффорда]]).

== Див. також ==
* [[Бікватерніони]]

== Джерела ==
* {{Кантор.Солодовников}}

[[Категорія:Гіперкомплексні числа]]