Перегляд вихідного коду сторінки Практичне число

[[Файл:Practical_number_Cuisenaire_rods_12.png|міні| Практичне число 12 ]]
'''Практичне число''' або '''панаритмічне число'''<ref>Маргентшерн{{Harvard citation|Margenstern|1991}}, цитуючи Робінсона{{Harvard citation|Robinson|1979}} і Гейворта{{Harvard citation|Heyworth|1980}}, вживає назву «панаритмічні числа».</ref>&nbsp;— це додатне ціле число ''n,'' таке що всі менші додатні цілі числа можна подати у вигляді суми різних [[Подільність|дільників]] числа ''n.'' Наприклад, 12 є практичним числом, оскільки всі числа від 1 до 11 можна подати у вигляді суми дільників 1, 2, 3, 4 і 6 цього числа&nbsp;— крім самих дільників, ми маємо 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 і 11 = 6 + 3 + 2.

Послідовність практичних чисел ({{OEIS|A005153}}) починається з

: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150…

Практичні числа використовував [[Фібоначчі]] в своїй книзі [[Книга абака|''Liber Abaci'']] (1202) у зв'язку з задачею про подання раціональних чисел у вигляді [[Єгипетський дріб|єгипетських дробів]]. Фібоначчі не визначав формально практичні числа, але він дав таблицю подання єгипетських дробів для дробів з практичними знаменниками{{Sfn|Sigler|2002}}.

Назву «практичне число» дав Шрінівасан{{Sfn|Srinivasan|1948}}. Він зауважив, що «розбиття грошей, ваги та інших мір з використанням таких чисел, як 4, 12, 16, 20 і 28, зазвичай настільки незручні, що заслуговують заміни степенями 10». Він перевідкрив низку теоретичних властивостей таких чисел і першим спробував класифікувати ці числа, а Стюарт {{Sfn|Stewart|1954}} і [[Вацлав Серпінський|Серпінський]] {{Sfn|Sierpiński|1955}} завершили класифікацію. Визначення практичних чисел уможливлює визначити, чи є число практичним шляхом перегляду розкладу числа на прості множники. Будь-яке парне [[досконале число]] і будь-який [[Степені 2|степінь двійки]] є практичним числом.

Можна показати, що практичні числа аналогічні [[Просте число|простим числам]] у багатьох сенсах<ref>{{Harvtxt|Hausman, Shapiro|1984}}; {{Harvtxt|Margenstern|1991}}; {{Harvtxt|Melfi|1996}}; {{Harvtxt|Saias|1997}}.</ref>.

== Опис практичних чисел ==
У початковому описі Шрінівасан{{Sfn|Srinivasan|1948}} стверджує, що практичне число не може бути [[Недостатні числа|недостатнім числом]], тобто числом, сума всіх дільників якого (включно з 1 і самим числом) менша від подвоєного числа, якщо не брати до уваги нестачу, що дорівнює одиниці. Якщо для практичного числа <math>n</math> виписати впорядковану множину дільників <math>{d_1, d_2,..., d_j}</math>, де <math>d_1=1</math> і <math>d_j=n</math>, то твердження Шрінівасана можна виразити нерівністю

: <math>2n\leqslant 1+\sum_{i=1}^j d_i</math>.

Іншими словами, упорядкована послідовність всіх дільників <math>{d_1<d_2<...<d_j}</math> практичного числа повинна бути {{Нп|Повна послідовність|повною підпослідовністю|ru|Полная последовательность}}.

Це визначення розширили і завершили Стюарт{{Sfn|Stewart|1954}} і [[Вацлав Серпінський|Серпінський]]{{Sfn|Sierpiński|1955}}, які показали, що визначення, чи є число практичним, визначається його [[Факторизація цілих чисел|розкладанням на прості дільники]]. Додатне ціле число, більше від 1 з розкладом <math>n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}</math> (з упорядкуванням простих дільників за зростанням <math>p_1<p_2<\dots<p_k</math>), є практичним [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли кожен його простий дільник <math>p_i</math> досить малий, щоб <math>p_i-1</math> мало подання у вигляді суми менших дільників. Щоб це виконувалось, перше просте число <math>p_1</math> має дорівнювати 2, а для будь-якого {{Math|i}} від 2 до {{Math|k}} для кожного наступного простого числа <math>p_i</math> має виконуватися нерівність

: <math>p_i\leqslant 1+\sigma(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},</math>

де <math>\sigma(x)</math> означає [[Функція дільників|суму дільників]] числа ''<math>x</math>''. наприклад, <math>2 \times 3^2 \times 29 \times 823 = 429606</math> є практичним, оскільки нерівність виконується для кожного з простих дільників: <math>3 \leqslant \sigma(2) + 1 = 4, 29 \leqslant \sigma(2 \times 3^2) + 1 = 40</math> і <math>823 \leqslant \sigma(2 \times 3^2 \times 29) + 1 = 1171</math>.

Умова, наведена вище, є необхідною і достатньою. З одного боку, ця умова є необхідною, щоб можна було подати <math>p_i-1</math> у вигляді суми дільників числа <math>n</math>'','' оскільки в разі порушення нерівності додавання всіх менших дільників дало б суму, занадто малу, щоб отримати <math>p_i-1</math>. З іншого боку, умова є достатньою, що можна отримати за індукцією. Більш строго, якщо розклад числа ''<math>n</math>'' задовольняє наведеній вище умові, то будь-яке число <math>m \leqslant \sigma(n)</math> можна подати у вигляді суми дільників числа ''<math>n</math>'' після таких кроків{{Sfn|Stewart|1954}}{{Sfn|Sierpiński|1955}}:

* нехай <math>q = \min\{\lfloor m/p_k^{\alpha_k}\rfloor, \sigma(n/p_k^{\alpha_k})\}</math>, і нехай <math>r = m - qp_k^{\sigma_k}</math>.
* Оскільки можна показати за індукцією, що <math>q\leqslant\sigma(n/p_k^{\alpha_k})</math> і <math>n/p_k^{\alpha_k}</math> є практичними, можна знайти подання ''q'' у вигляді суми дільників <math>n/p_k^{\alpha_k}</math>.
* Оскільки можна показати за індукцією, що <math>r\leqslant \sigma(n) - p_k^{\alpha_k}\sigma(n/p_k^{\alpha_k}) = \sigma(n/p_k)</math> і <math>n/p_k</math> є практичними, то можна знайти подання ''r'' у вигляді суми дільників <math>n/p_k</math>.
* Подання у вигляді дільників ''r'', разом з коефіцієнтом <math>p_k^{\alpha_k}</math> для кожного дільника подання у вигляді дільників ''q'', разом утворюють подання ''m'' у вигляді суми дільників ''n''.

== Властивості ==

* Єдине непарне практичне число&nbsp;— 1, оскільки якщо ''n>''2 є непарним числом, то 2 можна подати у вигляді суми різних дільників числа ''<math>n</math>.'' Шрінівасан{{Sfn|Srinivasan|1948}} зауважив, що відмінні від 1 і 2 практичні числа діляться на 4 або 6 (або на обидва).
* Добуток двох практичних чисел є також практичним числом{{Sfn|Margenstern|1991}}. Сильніше твердження: [[найменше спільне кратне]] будь-яких двох практичних чисел, є також практичним числом. Еквівалентно, множина всіх практичних чисел [[Замкнута множина|замкнута]] відносно множення.
* З опису чисел Стюартом і Серпінським можна бачити, що в разі, коли ''<math>n</math>'' є практичним числом, а <math>d</math> є одним з його дільників, число ''n*d'' має бути також практичним числом.
* У множині всіх практичних чисел існує множина простих практичних чисел. '''Просте практичне число'''&nbsp;— це або практичне і [[вільне від квадратів число]], або практичне, яке при діленні на будь-який його простий дільник, показник якого в [[Факторизація цілих чисел|розкладі]] більший від 1, перестає бути практичним. Послідовність простих практичних чисел ({{OEIS|A267124|}}) починається з

:: 1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460…

== Зв'язок з іншими класами чисел ==
Кілька інших гідних уваги множин цілих чисел складаються виключно з практичних чисел:

* З властивостей, наведених вище, для практичного числа ''<math>n</math>'' і одного з його дільників <math>d</math> (тобто, ''<math>d</math>'' | ''<math>n</math>)'' число ''<math>n \cdot d</math>'' має також бути практичним, так що помноживши на 6 будь-який степінь числа 3 отримаємо практичне число, як і помноживши на 6 будь-який степінь числа 2.
* Будь-яка [[Степені 2|степінь двійки]] є практичним числом{{Sfn|Srinivasan|1948}}. Степінь двійки тривіально задовольняє опису практичних чисел у термінах розкладання цілих чисел&nbsp;— всі прості числа в розкладі числа, ''p''<sub>1,</sub> дорівнюють двом, що й потрібно.
* Будь-яке парне [[досконале число]] є також практичним числом{{Sfn|Srinivasan|1948}}. Це випливає з результату [[Леонард Ейлер|Ейлера]], що парне досконале число мусить мати вигляд <math>2^{n - 1}(2^n - 1)</math>. Непарна частина цього розкладу дорівнює сумі дільників парної частини, так що будь-який непарний простий дільник такого числа має бути не більшим від суми дільників парної частини числа. Таким чином, це число має задовольняти опису практичних чисел.
* Будь-який [[прайморіал]] (добуток перших ''i'' простих для деякого числа ''i'') є практичним числом{{Sfn|Srinivasan|1948}}. Для перших двох прайморіалов, двійки і шістки це ясно. Кожен наступний прайморіал утворюється множенням простого числа ''p''<sub>''i''</sub> на менший прайморіал, який ділиться як на двійку, так і на попереднє просте число <math>p_{i - 1}</math>. Згідно з [[Постулат Бертрана|постулатом Бертрана]] <math>p_i < 2p_{i - 1}</math>, так що кожен попередній простий дільник прайморіала менший, ніж один з дільників попереднього прайморіала. За індукцією, з цього випливає, що будь-який прайморіал задовольняє опису практичних чисел. Оскільки прайморіал за визначенням вільний від квадратів, він також є простим практичним числом.
* Узагальнюючи прайморіали, будь-яке число, яке є добутком ненульових ступенів перших ''k'' простих чисел, має бути практичним. У цю множину потрапляють [[Надскладене число|надскладені числа]] [[Срініваса Рамануджан|Рамануджана]] (числа з кількістю дільників, більшою від будь-якого меншого додатного числа), а також [[факторіал]]и{{Sfn|Srinivasan|1948}}.

== Практичні числа і єгипетські дроби ==
Якщо ''n'' є практичним, то будь-яке [[Раціональні числа|раціональне число]] вигляду ''m''/''n'' з ''m<n'' можна подати у вигляді суми <math>\sum{\tfrac{d_i}{n}}</math>, де всі ''d<sub>i</sub>'' є різними дільниками числа ''n.'' Кожен член цієї суми зводиться до [[Аліквотний дріб|аліквотного дробу]], так що така сума дає подання числа ''m''/''n'' у вигляді [[Єгипетський дріб|єгипетського дробу]], наприклад,

: <math>\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac12+\frac1{10}+\frac1{20}.</math>

Фібоначчі в своїй книзі 1202 року ''[[Книга абака|Liber Abaci]]''{{Sfn|Sigler|2002}} наводить деякі методи пошуку подання раціонального числа у вигляді єгипетського дробу. З них перший метод полягає в перевірці, чи не є число вже [[Аліквотний дріб|аліквотним дробом]], а другий метод полягає в поданні чисельника у вигляді суми дільників знаменника, як описано вище. Цей метод гарантує успіх тільки в разі, коли знаменник є практичним числом. Фібоначчі навів таблиці таких поданнь для дробів, що мають знаменниками практичні числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 і 100.

Воуз{{Sfn|Vose|1985}} показав, що будь-яке число ''x''/''y'' має подання у вигляді єгипетського дробу з <math>\scriptstyle O(\sqrt{\log y})</math> членами. Доведення використовує пошук послідовності практичних чисел ''n''<sub>''i''</sub> зі властивістю, що будь-яке число, менше від ''n''<sub>''i,''</sub> можна записати у вигляді суми <math>\scriptstyle O(\sqrt{\log n_{i-1}})</math> різних дільників числа ''n''<sub>''i.''</sub> Тоді ''i'' вибирається так, що <math>n_{i - 1} < y \leqslant n_i</math> і <math>xn_i</math> ділиться на ''y,'' даючи частку ''q'' і остачу ''r.'' З цього вибору випливає, що <math>\scriptstyle\frac{x}{y}=\frac{q}{n_i}+\frac{r}{yn_i}</math>. Розклавши чисельники в правій частині формули на суму дільників числа ''n''<sub>''i''</sub> одержимо подання числа у вигляді єгипетського дробу. Тененбаум і Йокота{{Sfn|Tenenbaum, Yokota|1990}} застосували подібну техніку, що використовує іншу послідовність практичних чисел, щоб показати, що будь-яке число <math>\frac {x}{y}</math> має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому найбільший знаменник дорівнює <math>\scriptstyle O(\frac{y\log^2 y}{\log\log y})</math>.

Згідно з гіпотезою Чжи Вей Суня (вересень 2015 року)<ref>[http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/UnitFraction.pdf A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes]</ref>, будь-яке додатне раціональне число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому будь-який знаменник є практичним числом. Існує доведення гіпотези в блозі Девіда Еппштейна<ref>[https://11011110.github.io/blog/2016/11/20/egyptian-fractions-with.html 0xDE: Egyptian fractions with practical denominators]</ref>.

== Аналогія з простими числами ==
Одна з причин інтересу до практичних чисел полягає в тому, що багатьма властивостями вони подібні до [[Просте число|простих чисел]]. Більш того, теореми, аналогічні [[Гіпотеза Гольдбаха|гіпотезі Гольдбаха]] і [[Прості числа-близнюки|гіпотезі про числа-близнюки]], відомі для практичних чисел&nbsp;— будь-яке додатне парне число є сумою двох практичних чисел і існує нескінченно багато трійок практичних чисел <math>x - 2, x, x + 2</math> {{Sfn|Melfi|1996}}. Джузеппе Мелфі показав також, що існує нескінченно багато практичних [[Послідовність Фібоначчі|чисел Фібоначчі]] ({{OEIS|A005153}}). Аналогічне питання про існування нескінченного числа {{Нп|Просте число Фібоначчі|простих чисел Фібоначчі|en|Fibonacci prime}} залишається відкритим. Гаусман і Шапіро{{Sfn|Hausman, Shapiro|1984}} показали, що завжди існує практичне число в інтервалі <math>[x_2,(x + 1)^2]</math> для будь-якого додатного дійсного ''x,'' що є аналогом гіпотези Лежандра для простих чисел.

Нехай <math>p(x)</math> підраховує кількість практичних чисел, що не перевершують <math>x</math>''.'' Маргенштерн{{Sfn|Margenstern|1991}} висловив гіпотезу, що <math>p(x)</math> асимптотично дорівнює <math>\frac {cx}{\log x}</math> для деякої сталої ''c,'' що нагадує формулу в [[Теорема про розподіл простих чисел|теоремі про розподіл простих чисел]] і підсилює раніше твердження [[Пал Ердеш|Ердеша]] і Локстона{{Sfn|Erdős, Loxton|1979}}, що практичні числа мають щільність нуль у множині цілих чисел. Саєс{{Sfn|Saias|1997}} довів, що для відповідних констант ''c''<sub>1</sub> і ''c''<sub>2</sub>

: <math>c_1\frac x{\log x}<p(x)<c_2\frac x{\log x},</math>

Нарешті, Вайнгартнер{{Sfn|Weingartner|2015}} довів гіпотезу Маргенштерна, показавши, що

: <math>p(x) = \frac{c x}{\log x}\left(1 + O\!\left(\frac{\log \log x}{\log x}\right)\right),</math>

для <math>x \geqslant 3</math> і деякої константи <math>c > 0</math>.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{статья
|автор=[[Пал Ердеш|Paul Erdős]], Loxton J. H.
|ref=Erdős, Loxton
|doi = 10.1017/S144678870001243X
|издание= Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)
|страницы= 319–331
|выпуск= 03
|заглавие= Some problems in partitio numerorum
|том= 27
|год= 1979
}}
* {{статья
|ref=Heyworth
|автор = Heyworth M. R.
|выпуск= 1
|издание= New Zealand Math. Mag.
|страницы= 24–28
|заглавие= More on panarithmic numbers
|том= 17
|год= 1980}}. Як процитовано в Маргенштерна {{harv|Margenstern|1991}}.
* {{статья
|автор =Miriam Hausman, Harold N. Shapiro
|ref =Hausman, Shapiro
|заглавие= On practical numbers
|издание= [[Communications on Pure and Applied Mathematics]]
|том= 37
|год= 1984
|выпуск= 5
|страницы= 705–713
|mr = 0752596
|doi = 10.1002/cpa.3160370507
}}
* {{статья
|ref =Margenstern
|автор =Maurice Margenstern
|выпуск= 18
|издание= Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I
|страницы= 895–898
|заглавие= Résultats et conjectures sur les nombres pratiques
|том= 299
|год= 1984
}} Как процитировано у Маргенштерна {{harv|Margenstern|1991}}.
* {{статья
|ref =Margenstern
|автор =Maurice Margenstern
|заглавие= Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures
|издание= [[Journal of Number Theory]]
|том= 37
|год= 1991
|выпуск= 1
|страницы= 1–36
|mr = 1089787
|doi = 10.1016/S0022-314X(05)80022-8
}}
* {{статья
|автор=Giuseppe Melfi
|ref =Melfi|first
|заглавие= On two conjectures about practical numbers
|издание= Journal of Number Theory
|том= 56
|год= 1996
|выпуск= 1
|страницы= 205–210
|mr = 1370203
|doi = 10.1006/jnth.1996.0012
}}
* {{книга-ру
|автор= Dragoslav S. Mitrinović, József Sándor, Borislav Crstici
|ref=Mitrinović, Sándor, Crstici
|часть = III.50 Practical numbers
|isbn = 978-0-7923-3823-9
|страницы= 118–119
|издательство= Kluwer Academic Publishers
|серия = Mathematics and its Applications
|заглавие= Handbook of number theory, Volume 1
|том= 351
|год= 1996
}}
* {{статья
|ref=Robinson
|автор= Robinson D. F.
|выпуск= 2
|издание= New Zealand Math. Mag.
|страницы= 47–52
|заглавие= Egyptian fractions via Greek number theory
|том= 16
|год= 1979
}}. Як процитовано в Маргенштерна {{harv|Margenstern|1991}} і Митриновича {{harvtxt|Mitrinović|Sándor|Crstici|1996}}.
* {{статья
|ref=Saias
|автор Eric Saias
|заглавие= Entiers à diviseurs denses, I
|издание= Journal of Number Theory
|том= 62
|выпуск= 1
|год= 1997
|страницы= 163–191
|mr = 1430008
|doi = 10.1006/jnth.1997.2057
}}
* {{книга-ру
|заглавие= Fibonacci's Liber Abaci
|ответственный = Laurence E. Sigler (перевод)
|ref=Sigler
|издательство= Springer-Verlag
|год= 2002
|isbn = 0-387-95419-8
|страницы= 119–121
}}
* {{статья
|автор =[[Вацлав Серпінський|Wacław Sierpiński]]
|ref=Sierpiński
|doi = 10.1007/BF02410762
|выпуск= 1
|издание= Annali di Matematica Pura ed Applicata
|страницы= 69–74
|заглавие= Sur une propriété des nombres naturels
|том= 39
|год= 1955
}}
* {{статья
|ref=Srinivasan
|автор =Srinivasan A. K.
|заглавие= Practical numbers
|издание= [[Current Science]]
|том= 17
|год= 1948
|страницы= 179–180
|mr = 0027799
|ссылка = http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf
}}
* {{статья
|автор =Stewart B. M.
|ref=Stewart
|заглавие= Sums of distinct divisors
|издание= [[American Journal of Mathematics]]
|том= 76
|год= 1954
|страницы= 779–785
|mr = 0064800
|doi = 10.2307/2372651
|jstor = 2372651
|выпуск= 4
|издательство= The Johns Hopkins University Press
}}
* {{статья
|автор =Tenenbaum G., Yokota H.
|ref=Tenenbaum, Yokota
|doi = 10.1016/0022-314X(90)90109-5
|mr = 1057319
|издание= Journal of Number Theory
|страницы= 150–156
|выпуск= 2
|заглавие= Length and denominators of Egyptian fractions
|том= 35
|год= 1990
}}
* {{статья
|ref=Vose
|автор= Vose M.
|doi = 10.1112/blms/17.1.21
|mr = 0766441
|издание= [[London Mathematical Society|Bulletin of the London Mathematical Society]]
|страницы = 21
|заглавие= Egyptian fractions
|выпуск= 1
|том= 17
|год= 1985
}}
* {{статья
|автор= Weingartner A.
|ref=Weingartner
|выпуск= 2
|издание= The Quarterly Journal of Mathematics
|страницы= 743–758
|заглавие= Practical numbers and the distribution of divisors
|том= 66
|год= 2015
|doi = 10.1093/qmath/hav006| arxiv = 1405.2585
 }}
{{refend}}

== Посилання ==
* [http://www.dm.unipi.it/gauss-pages/melfi/public_html/pratica.html Tables of practical numbers] compiled by Giuseppe Melfi.
* {{PlanetMath|urlname=PracticalNumber|title=Practical Number}}
* {{MathWorld|urlname=PracticalNumber|title=Practical Number}}
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]