Перегляд вихідного коду сторінки Правило повного математичного сподівання

В [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] твердження відоме як '''закон повного математичного сподівання'''<ref>{{Cite book|url={{Google books |plainurl=yes |id=p-rwJAAACAAJ |page=380 }}|title=A Course in Probability|last=Weiss|first=Neil A.|year=2005|publisher=Addison–Wesley|location=Boston|pages=380–383|isbn=0-321-18954-X}} {{ref-en}}</ref>, '''закон повторних сподівань'''<ref>{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/law-of-iterated-expectation/|title=Law of Iterated Expectation {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|website=brilliant.org|language=en-us|accessdate=2018-03-28}}</ref>, '''правило вежі'''<ref>{{Cite web|url=https://web.stanford.edu/class/cme001/handouts/changhan/Refresher2.pdf|title=Probability and Statistics|last=Rhee|first=Chang-han|date=20 вересня 2011|website=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20230326145644/https://web.stanford.edu/class/cme001/handouts/changhan/Refresher2.pdf|archivedate=2023-03-26|deadurl=|accessdate=}} {{ref-en}}</ref>, '''закон Адама''' чи '''теорема згладжування'''<ref>{{Cite web|url=https://www2.stat.duke.edu/courses/Fall10/sta205/lec/topics/rn.pdf|title=Conditional Expectation|last=Wolpert|first=Robert|date=18 листопада 2010|website=|archiveurl=|archivedate=|deadurl=|accessdate=}} {{ref-en}}</ref> стверджує, що якщо <math>X</math> — [[випадкова величина]], з визначеним матсподіванням <math>\operatorname{E}(X)</math>, а <math>Y</math> — довільна випадкова величина на тому [[Ймовірнісний простір|ймовірнісному просторі]]. 

: <math>\operatorname{E} (X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y)),</math>

тобто [[Математичне сподівання|значення сподівання]] [[Умовне математичне сподівання|умовного матсподівання значення]] <math>X</math> для певного <math>Y</math> дорівнює матсподіванню <math>X</math>. 

У спеціальному випадку, для <math>{\left\{A_i\right\}}_i</math> - скінченного або зліченного [[Розбиття множини|розбиття]] [[Простір елементарних подій|простору елементарних подій]], тоді

: <math>\operatorname{E} (X) = \sum_i{\operatorname{E}(X \mid A_i) \operatorname{P}(A_i)}.</math>

== Приклад ==
Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок [[Електрична лампа|лампочки]]. Лампочки із заводу <math>X</math> працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу <math>Y</math> працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика <math>X</math> постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки? 

Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо: 
: <math>\operatorname{E} (L) = \operatorname{E}(L \mid X) \operatorname{P}(X)+\operatorname{E}(L \mid Y) \operatorname{P}(Y) = 5000(0.6)+4000(0.4)=4600</math>
де 
* <math>\operatorname{E} (L)</math> — тривалість роботи лампочки;
* <math>\operatorname{P}(X)={6 \over 10}</math> — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X;
* <math>\operatorname{P}(Y)={4 \over 10}</math> — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y;
* <math>\operatorname{E}(L \mid X)=5000</math> — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X;
* <math>\operatorname{E}(L \mid Y)=4000</math> — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.

Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.

== Доведення для скінченних і зліченних випадків ==
Нехай випадкові величини <math>X</math> та <math>Y</math> визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що <math>\operatorname{E}[X]</math> визначена, тобто <math>\min (\operatorname{E}[X_+],  \operatorname{E}[X_-]) < \infty</math>. Якщо <math>\{A_i\}</math> — подрібнення ймовірнісного простору  <math>\Omega</math>, то

: <math>\operatorname{E} (X) = \sum_i{\operatorname{E}(X \mid A_i) \operatorname{P}(A_i)}.</math>

=== Доведення ===

: <math>
\begin{align}
\operatorname{E} \left( \operatorname{E} (X \mid Y) \right) &= \operatorname{E} \Bigg[ \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x \mid Y) \Bigg] \\[6pt]
&=\sum_y \Bigg[ \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x \mid Y=y) \Bigg] \cdot \operatorname{P}(Y=y) \\[6pt]
&=\sum_y \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x, Y=y).
\end{align}
</math>

Якщо ряд скінченний, то можемо змінити порядок сумування й попередній вираз запишеться 

: <math>
\begin{align}
\sum_x \sum_y x \cdot \operatorname{P}(X=x, Y=y)&=\sum_x x\sum_y \operatorname{P}(X=x, Y=y)\\[6pt]
&=\sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x)\\[6pt]
&=\operatorname{E}(X).
\end{align}
</math>

Якщо ж, з іншого боку, ряд нескінченний, то його збіжність не може бути [[Умовна збіжність|умовною]] через припущення, що <math>\min (\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-] ) < \infty.</math> Ряд збіжний абсолютно якщо обидвоє, <math>\operatorname{E}[X_+]</math> і <math>\operatorname{E}[X_-]</math> - скінченні і розбіжний до нескінченності, якщо чи <math>\operatorname{E}[X_+]</math>чи <math>\operatorname{E}[X_-]</math> — нескінченне. В обидвох випадках порядок сумування можна змінити не змінюючи суми.

== Доведення у загальному випадку ==
Нехай <math> (\Omega,\mathcal{F},\operatorname{P}) </math>&nbsp;— ймовірнісний простір, з визначеними на ньому [[Сигма-алгебра|σ-алгебрами]] <math> \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{F} </math>. Для випадкової величини <math> X </math> на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо <math>\operatorname{E}[X]</math> - визначене, тобто <math>\min(\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-])<\infty</math>, тоді

: <math> \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] = \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_1]\quad\text{(майже  напевно)}.</math>

'''Доведення'''. Завдяки тому, що умовне матсподівання це [[Теорема Радона — Нікодима|похідна Радона – Нікодима]], доведення закону згладжування зводиться до перевірки таких двох властивостей: 

* <math> \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1]</math> є <math>\mathcal{G}_1</math>-[[Міра множини|вимірною]]
* <math> \int_{G_1} \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] d\operatorname{P} = \int_{G_1} X d\operatorname{P},</math> для всіх <math>G_1 \in \mathcal{G}_1.</math>

Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого, 

: <math>
\begin{align}
\min\left(\int_{G_1}X_+\, d\operatorname{P}, \int_{G_1}X_-\, d\operatorname{P}\right) &\leq \min\left(\int_\Omega X_+\, d\operatorname{P}, \int_\Omega X_-\, d\operatorname{P}\right)\\[4pt]
&=\min(\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-]) < \infty,
\end{align}
</math>

отже інтеграл <math>\textstyle \int_{G_1}X\, d\operatorname{P}</math> визначений (не дорівнює <math>\pm\infty</math>).

Друга властивість правильна, бо з <math>G_1 \in \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2 </math> випливає

: <math>
   \int_{G_1} \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] d\operatorname{P}
= \int_{G_1} \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] d\operatorname{P}
= \int_{G_1} X d\operatorname{P}.
</math>

'''Висновок.''' В особливому випадку, коли <math>\mathcal{G}_1 = \{\empty,\Omega \}</math> і <math>\mathcal{G}_2 = \sigma(Y)</math>, закон згладжування зводиться до 

: <math>
  \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid Y]] = \operatorname{E}[X].
</math>

== Доведення формули розбиття==

: <math>
\begin{align}
\sum\limits_i\operatorname{E}(X\mid A_i)\operatorname{P}(A_i)
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)\operatorname{P}(d\omega\mid A_i)\cdot\operatorname{P}(A_i)\\
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)\operatorname{P}(d\omega\cap A_i)\\
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)I_{A_i}(\omega)\operatorname{P}(d\omega)\\
&=\sum\limits_i\operatorname{E}(XI_{A_i}),
\end{align}
</math>

де <math>I_{A_i}</math> - [[характеристична функція]] множини <math>A_i</math>.

Якщо розбиття <math>{\{A_i\}}_{i=0}^n</math> - скінченне, то, за властивістю лінійності, попередній вираз записується у вигляді

: <math>
\operatorname{E}\left(\sum\limits_{i=0}^n XI_{A_i}\right)=\operatorname{E}(X),
</math>

що й треба було показати. 

Якщо ж розбиття <math>{\{A_i\}}_{i=0}^\infty</math> - нескінченне, то застосовуючи [[Теорема Лебега про мажоровану збіжність|теорему про мажоровану збіжність]] можемо показати

: <math>
\operatorname{E}\left(\sum\limits_{i=0}^n XI_{A_i}\right)\to\operatorname{E}(X).
</math>

Справді, для кожного <math>n\geq 0</math>,

: <math>
\left|\sum_{i=0}^n XI_{A_i}\right|\leq |X|I_{\mathop{\bigcup}\limits_{i=0}^n A_i}\leq |X|.
</math>

Позаяк кожен елемент множини <math>\Omega</math> належить певному елементу подрібнення <math>A_i</math>, легко перевірити що послідовність <math>{\left\{\sum_{i=0}^n XI_{A_i}\right\}}_{n=0}^\infty</math> [[Поточкова збіжність|поточково збіжна]] до X. За припущенням у твердженні, <math>\operatorname{E}|X|<\infty</math>. Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.

== Див. також ==

* {{нп|Основна теорема покеру||en|Fundamental theorem of poker}} для одного практичного застосування. 
* [[Формула повної ймовірності]] 
* [[Закон повної дисперсії]]
* Закон повної коваріації 
* Закон сукупної кумуляції 
* {{нп|Розподіл добутку двох випадкових величин||en|Distribution of the product of two random variables}}, див. підрозділ про сподівання (застосування Закону для доведення того, що сподівання добутку це добуток сподівань)

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{Cite book|title=Probability and measure|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill|last=Billingsley|first=Patrick|year=1995|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|isbn=0-471-00710-2}} {{ref-en}} (Теорема 34.4)
* [[Крістофер Сімс|Christopher Sims]], [http://sims.princeton.edu/yftp/Bubbles2007/ProbNotes.pdf "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales"], especially equations (16) through (18)

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Теорія розподілів імовірності]]
[[Категорія:Математична статистика]]
[[Категорія:Статистичні закони]]