Перегляд вихідного коду сторінки Похідна композиції функцій

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
{{Otheruses|Ланцюгове правило (значення)}}
'''Ланцюгове правило''' ('''правило диференціювання складеної функції''') дозволяє обчислити [[похідна|похідну]] [[композиція функцій|композиції]] двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці <math>x_0</math>, а функція g має похідну в точці <math>y_0 = f(x_0)</math>, тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці <math>x_0</math>.
{| class="wikitable"
!Оператор \ Функція
!<math>f(x)</math>
!<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math>
|-
|[[Диференціал (математика)|Диференціал]]
|1: <math>\operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x</math>
|2: <math>\operatorname{d}_x\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
f'_x\operatorname{d}\!x</math>

3: <math>\operatorname{d}\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
f'_x\operatorname{d}\!x + 
f'_y\operatorname{d}\!y + 
f'_u\operatorname{d}\!u +
f'_v\operatorname{d}\!v</math>
|-
|[[Часткова похідна]]
|<math>f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}</math>
|<math>f'_x
\overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=}
\frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} =
{\partial f\over \partial x}</math>
|-
|[[Повна похідна]]
|<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=}
f'_x</math>
|<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=}
f'_x +
f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} +
f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x};
(f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) </math>
|}

== Одновимірний випадок ==
Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, <math>f:U(x_0) \to V(y_0), </math> де <math>y_0 = f(x_0), </math> і <math>g:V(y_0) \to \R</math> Нехай також ці функції диференційовані: <math>f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).</math> Тоді їх композиція також диференційована: <math>h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),</math> і її похідна має вигляд:
: <math> h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).</math>

=== Зауваження ===
У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції <math>y = y(x),</math> де <math>x = x(t),</math> набуває такого вигляду:
: <math>\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.</math>

=== Інваріантність форми першого диференціала ===
Диференціал функції <math>z = g(y)</math> в точці <math>y_0</math> має вигляд:
: <math>dz = g'(y_0) \, dy,</math>
де <math>dy</math> — диференціал тотожного відображення <math>y \to y</math>:
: <math>dy(h) = h,\quad h \in \R.</math>

Нехай тепер <math>y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).</math> Тоді <math>dy = f'(x_0)\, dx</math>, і згідно з ланцюговомим правилом:
: <math>dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.</math>

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

=== Приклад ===
Нехай <math>h(x) = (3x^2 - 5x)^7.</math> Тоді функція <math>h</math> може бути записана у вигляді композиції <math>h = g \circ f ,</math> де
: <math>f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.</math>
Диференціюємо ці функції окремо:
: <math>f'(x) = 6x - 5,\; g'(y) = 7y^6,</math>
отримуємо
: <math>h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).</math>

== Багатовимірний випадок ==
Нехай дані функції <math>f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n,</math> де <math>y_0 = f(x_0),</math> і <math>g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p.</math> Нехай також ці функції диференційовані: <math>f\in \mathcal{D}(x_0)</math> і <math>g \in \mathcal{D}(y_0).</math> Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд
: <math>dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).</math>
Зокрема, матриця Якобі функції <math>h</math> є добутком матриць Якобі функцій <math>g</math> і <math>f:</math>
: <math>\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.</math>

=== Наслідки ===
* Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
*: <math>\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.</math>
Для [[Часткова похідна|часткових похідних]] складеної функції справедливо
*: <math>\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.</math>

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч2}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]